Dopplereffekt: formel, eksempler og rødforskydning

Du står på fortovet, og en ambulance kører forbi med fuld sirene. Tonen falder brat i samme øjeblik, bilen passerer dig, selvom sirenen aldrig skifter lyd. Det mærkelige fænomen hedder dopplereffekt, og det handler om, at en tone ikke kun afhænger af kilden, men også af, hvordan du og kilden bevæger jer i forhold til hinanden.

Samme princip ligger bag politiets fartmåling, lægens ultralydsscanning af blodårer og astronomernes målinger af, hvor hurtigt fjerne galakser bevæger sig. Når du først har regnet på en ambulance, har du i virkeligheden regnet på alle tre. Der skal kun to formler til: én for lyd og én for lys.

Hvad er dopplereffekt?

Navnet kommer fra den østrigske fysiker Christian Doppler, som i 1842 påviste, at en bølges frekvens afhænger af den relative hastighed mellem kilde og iagttager. Du kan læse en kort oversigt over fænomenets historie i Wikipedias artikel om Doppler effect. Ifølge Den Store Danske på Lex er sirenen på et udrykningskøretøj det klassiske eksempel: Tonen er højere, når køretøjet nærmer sig, end når det fjerner sig.

Hvad du mærker, afhænger af bølgetypen. Lyd opfatter du som tonehøjde: Høj frekvens giver en lys tone, lav frekvens en dyb tone. Lys opfatter du som farve: Høj frekvens ligger mod det blå, lav frekvens mod det røde. Fysikken er den samme bag begge dele, men formlerne er ikke ens.

Frekvens er antallet af svingninger pr. sekund, målt i hertz. Et klaver spiller kammertonen A ved 440 Hz, altså 440 svingninger i sekundet. Bølgelængden er afstanden mellem to bølgetoppe, og de to størrelser hænger sammen via bølgens hastighed. Husk den sammenhæng, for den er nøglen til hele udledningen senere.

Læg mærke til rækken nederst. Står du og kilden stille i forhold til hinanden, sker der intet. Dopplereffekt handler altid om relativ bevægelse, aldrig om bevægelse i sig selv.

Du kender effekten fra mere end sirener. Et tog, der brager forbi perronen. En racerbil på tv, hvor motorlyden knækker over i en dybere tone, lige når bilen passerer kameraet. Et fly, der kommer ind til landing og lyder højere, end det gør, når det letter væk. I alle tilfælde er der ikke noget galt med kilden. Det er afstanden, der ændrer sig, og dermed hvor tæt bølgetoppene lander på dit øre.

Et vigtigt punkt er, at dopplereffekt ændrer tonehøjden og ikke lydstyrken. Ambulancen lyder naturligvis kraftigere, når den er tæt på, men det skyldes afstanden og er en helt anden effekt. Dopplereffekten er den lille, men tydelige ændring i tonen, som du kan måle med en frekvensmåler og forudsige med en formel.

Fra trompeter på et tog til galakser: dopplereffektens historie

Doppler havde sin idé i 1842, men ingen kunne umiddelbart høre, om den passede. Lyden fra et tog forsvinder, før man når at tænke over tonen. Svaret kom i 1845, da den hollandske fysiker Buys Ballot lod en gruppe trompetister spille en vedvarende tone på et tog i fart, mens musikere med fint gehør stod på perronen og lyttede. De hørte tonen blive højere, når toget kom imod dem, og lavere, når det kørte væk. Det var et af de første eksperimenter, der bekræftede teorien.

Doppler selv tænkte faktisk først og fremmest på stjerner. Han argumenterede for, at lyset fra en stjerne, der bevæger sig væk fra os, måtte rykke mod den røde ende af spektret. Idéen var forud for sin tid, og i dag er målinger af rødforskydning en af astronomiens vigtigste metoder. Det hele startede med et spørgsmål om, hvorfor toner skifter, når kilden bevæger sig.

Hvorfor skifter tonen, når ambulancen kører forbi?

Lad sirenen sende ti bølgetoppe ud hvert sekund. Står ambulancen stille, rammer de dig med en jævn takt: ti toppe i sekundet, altså 10 Hz. Kører ambulancen mod dig, er den rykket lidt tættere på, hver gang en ny bølgetop forlader sirenen. Toppene starter derfor med mindre afstand imellem sig, og de ankommer til dig med kortere mellemrum. Du får flere toppe pr. sekund, og dit øre hører en højere tone.

Efter passagen vender det hele. Nu kører ambulancen væk, og hver ny bølgetop skal tilbagelægge en lidt længere vej end den forrige. Mellemrummet mellem toppene vokser, du får færre toppe pr. sekund, og tonen falder. Det er den overgang, du hører som et skarpt knæk i sirenens lyd.

Prøv at mærke forskellen i fantasien. Tænk på en ven, der løber forbi dig og hele tiden råber den samme tone. Hastigheden er lav, så du hører næsten ingen forskel. Sæt vennen på en motorcykel, og skiftet bliver tydeligt. Sæt vedkommende i et jetfly, og du får chokbølger. Jo større kildens fart er i forhold til lydens, jo større er dopplereffekten.

Bemærk, at lydens egen hastighed ikke ændrer sig. Den bestemmes af luften, som du kan læse mere om i vores guide til lydens hastighed. Det, der ændrer sig, er bølgelængden: Bølgetoppene presses sammen foran kilden og strækkes ud bagved. Da \( v = f \cdot \lambda \), og \( v \) er fast, må en kortere bølgelængde give en højere frekvens. Det er hele forklaringen.

Dopplereffekt formel: sådan regner du på lyd

Lad os starte med tal. Ambulancen kører 72 km/t, som svarer til 20 m/s, og sirenen udsender 800 Hz. Én svingningstid er \( T = 1/800 \) sekund, og på den tid flytter ambulancen sig \( 20 \cdot \frac{1}{800} = 0{,}025 \) m. Bølgetoppene starter altså 2,5 cm tættere på hinanden. Uden bevægelse er bølgelængden \( 343/800 \approx 0{,}429 \) m, så med bevægelse bliver den \( 0{,}429 - 0{,}025 \approx 0{,}404 \) m. Frekvensen, du hører, er derfor \( 343/0{,}404 \approx 850 \) Hz.

Samme tankegang virker i alle tilfælde, og du kan skrive den som formler. Kilden flytter sig strækningen \( v_s \cdot T \) mellem to bølgetoppe, så den nye bølgelængde bliver den gamle minus den strækning. Indsætter du \( T = 1/f \) og \( \lambda = v/f \), får du udtrykket nedenfor. Udledningen følger samme vej som i Erik Vestergaards noter til dopplereffekt.

Bevæger du dig selv mod kilden, møder du bølgetoppene hurtigere, og din hastighed \( v_o \) lægges til lydens hastighed i tælleren. Samlet giver det den generelle formel for lyd:

Fortegnene er det sted, de fleste går galt. Brug denne regel: \( v_o \) er positiv, når du bevæger dig mod kilden, og \( v_s \) er positiv, når kilden bevæger sig mod dig. Bevæger en af jer sig væk, skifter den hastighed fortegn. Tjek bagefter dit svar med sund fornuft: Nærmer I jer hinanden, skal \( f' \) være større end \( f \).

1. 1

   Omregn til m/s

   Del hastigheder i km/t med 3,6. Brug 343 m/s for lydens hastighed i luft ved 20 grader, medmindre opgaven oplyser andet.

2. 2

   Find ud af, hvem der bevæger sig hvorhen

   Afgør, om kilden og iagttageren nærmer sig eller fjerner sig, og giv hastighederne fortegn efter reglen ovenfor.

3. 3

   Indsæt i formlen

   Sæt den hastighed, der ikke er i spil, til nul. Indsæt tallene og regn nævner og tæller hver for sig.

4. 4

   Tjek svaret

   Nærmer I jer hinanden, skal den hørte frekvens være højere end den udsendte. Fjerner I jer, skal den være lavere.

Forholdet mellem de to toner er cirka 1,12, og det svarer til næsten to halvtoner på et klaver. Det er altså ikke et subtilt skift. En ambulance på 72 km/t får sirenen til at falde et godt stykke ned ad skalaen, når den kører forbi dig.

Vil du have et hurtigt overslag, kan du springe det store brøkregnestykke over. Ved hastigheder, der er små i forhold til lydens, er frekvensændringen cirka \( \Delta f \approx f \cdot \frac{v_s}{v} \). Med ambulancen får du \( 800 \cdot \frac{20}{343} \approx 47 \) Hz, hvor den nøjagtige beregning giver 49,5 Hz. Tilnærmelsen er god til at tjekke, om dit svar ligger i nærheden, men den bliver dårligere, jo hurtigere kilden kører. Til eksamen skal du bruge den fulde formel, medmindre opgaven siger andet.

Bevæger kilden sig, eller bevæger du dig?

Prøv at regne på to scenarier med samme hastighed. I det første kører ambulancen mod dig med 20 m/s, mens du står stille. I det andet står ambulancen stille, og du løber mod den med 20 m/s. Intuitivt burde det give samme resultat, for I nærmer jer jo hinanden lige hurtigt. Det gør det bare ikke helt.

Forskellen er kun 3 Hz her, men den vokser, jo tættere hastigheden kommer på lydens. Årsagen er luften. Lyd er en trykbølge i et medium, og mediet har en fast hvilestilling. En kilde, der bevæger sig gennem luften, presser selv bølgelængden sammen. En iagttager, der bevæger sig gennem luften, ændrer ikke bølgelængden, men samler bølgetoppene op hurtigere. To forskellige mekanismer giver to lidt forskellige formler.

I opgaver bliver du ofte bedt om at regne på én situation ad gangen, men den generelle formel dækker begge. Sæt bare den hastighed, der ikke er i spil, til nul. Står du stille, er \( v_o = 0 \), og står kilden stille, er \( v_s = 0 \).

Bevæger begge sig, bruger du bare begge tal. To biler kører mod hinanden med 20 m/s hver, og den ene dytter med 800 Hz. Den anden chauffør hører \( 800 \cdot \frac{343 + 20}{343 - 20} \approx 899 \) Hz. Begge hastigheder er positive, fordi begge bevæger sig mod den anden.

Dopplereffekt for lys: rødforskydning og blåforskydning

Lyd har luft at bevæge sig i. Lys har ikke noget medium, og det ændrer reglerne. Lysets hastighed er den samme, uanset hvor hurtigt kilden eller du bevæger jer, og derfor kan man ikke sige, at kilden bevæger sig, mens du står stille. Kun den relative hastighed tæller. Forklaringen ligger i den specielle relativitetsteori, og derfor bruger man en anden formel end til lyd.

Princippet er alligevel det samme. Nærmer en lyskilde sig, rykker lysets frekvens opad mod det blå. Fjerner den sig, rykker frekvensen nedad mod det røde. Astronomer udnytter det hver dag. Lyset fra en stjerne indeholder mørke linjer, fordi stjernens ydre lag absorberer helt bestemte bølgelængder, og linjerne fungerer som grundstoffets fingeraftryk. Ses de forskudt mod rød, bevæger stjernen sig væk fra os.

Du har måske undret dig over, hvorfor en rød bil ikke ser blå ud, når den kører mod dig. Svaret er, at lysets hastighed er så enorm, at hverdagshastigheder ikke rykker en farve mærkbart. Skulle rødt lys på 700 nm ændre sig til grønt på 550 nm, skal kilden nærme sig med omkring 24 procent af lysets hastighed, altså cirka 71.000 km/s. Det er millioner af gange hurtigere end en bil. Derfor er dopplereffekt for lys et værktøj til astronomi og præcisionsmålinger, ikke noget du oplever på vejen.

I praksis kigger astronomer sjældent på frekvenser. De sammenligner i stedet bølgelængder og regner ud, hvor meget en spektrallinje er rykket i forhold til laboratoriet. Den størrelse hedder rødforskydningen \( z \). Er \( z \) mindre end 0,1, kan hastigheden findes med en simpel tilnærmelse.

Giv ikke formlen for meget ansvar. Ved virkelig fjerne galakser skyldes rødforskydningen ikke kun galaksernes bevægelse, men at selve rummet udvider sig, og så er der ikke tale om en egentlig dopplerforskydning. Ifølge Lex støtter den kraftige rødforskydning i fjerne galaksers spektre netop teorien om, at universet udvider sig. Til galakser i nærheden og stjerner i Mælkevejen duer tilnærmelsen fint.

Blåforskydning findes også, men er sjældnere i astronomiens store billede, fordi universet udvider sig. Lex nævner enkelte eksempler på himmellegemer, der nærmer sig os, og som derfor kan observeres blåforskudt. Princippet er spejlbilledet af det, du har regnet på: Linjerne rykker mod kortere bølgelængder, og \( z \) bliver negativ.

Chokbølger og lydmuren: når kilden overhaler sin egen lyd

Hvad sker der, hvis ambulancen kører 343 m/s? Prøv at sætte tallet ind i formlen. Nævneren bliver \( 343 - 343 = 0 \), og så løber frekvensen mod uendelig. Formlen bryder sammen, og grafen herunder viser hvorfor: Jo tættere kildens fart kommer på lydens, jo kraftigere stiger den hørte frekvens.

I virkeligheden bliver frekvensen ikke uendelig. Når kilden når lydens hastighed, følger den hele tiden med de bølger, den selv sender ud, og bølgetoppene hober sig op lige foran den. Det giver en meget kraftig trykændring, og det er den, der kaldes lydmuren. Flyver kilden hurtigere end lyden, ligger den foran sine egne bølger, og bølgetoppene samler sig i en kegleformet chokbølge, som tegningerne i Erik Vestergaards noter viser.

Mach 1 er lydens hastighed, mach 2 er det dobbelte, og så fremdeles. Den brag, du hører fra et jetfly, er chokbølgen, der fejer hen over dig, efter flyet er passeret. Derfor hører du ofte flyet dér, hvor det var, og ikke dér, hvor det er.

Mach-tallet bruges også til at beskrive, hvor tæt et fly flyver på lydens hastighed. Et passagerfly i marchhøjde ligger typisk omkring mach 0,8, altså lige under lydmuren. I ti kilometers højde er luften så kold, at lydens hastighed kun er omkring 300 m/s, så flyet flyver langt hurtigere i forhold til jorden, end tallet 0,8 antyder. Mach siger noget om forholdet til lyden i netop den luft, flyet befinder sig i.

Mål dopplereffekt selv med din telefon

Du behøver ikke et laboratorium for at se effekten. Stil dig ved en vej og optag en bil, der kører forbi med en konstant lyd, for eksempel et horn. Åbn optagelsen i en app, der kan vise lydens frekvensspektrum, og aflæs den dominerende frekvens lige før og lige efter passagen. Nu har du to tal, og dem kan du bruge til noget.

Lad os sige, at du måler 1020 Hz, før bilen når dig, og 930 Hz, efter den er kørt forbi. Du kender ikke hornets egentlige frekvens, men det behøver du heller ikke. Dividerer du de to formler med hinanden, forsvinder \( f \) fra regnestykket, og du kan isolere kildens fart direkte:

Med tallene fra før får du \( v_s = 343 \cdot \frac{1020 - 930}{1020 + 930} \approx 15{,}8 \) m/s, altså omkring 57 km/t. Prøv metoden på de 850 Hz og 756 Hz fra ambulancen, og du lander igen på 20 m/s. Metoden forudsætter, at bilen kører direkte mod dig og direkte væk. Passerer den tæt forbi på siden, bliver skiftet mindre, fordi kun den del af farten, der peger mod dig, tæller.

Dopplereffekt i hverdagen: radar, ultralyd og astronomi

Politiets fartpistol sender radarbølger mod en bil. Bølgerne reflekteres, og fordi bilen bevæger sig, vender de tilbage med en anden frekvens. Blandes de udsendte og de reflekterede bølger, opstår en svævning, hvis frekvens kan måles. For biler, der kører langsomt i forhold til lysets hastighed, gælder \( v \approx \frac{f_{\text{stød}} \cdot c}{2f} \).

Et eksempel: En radar sender 10,0 GHz ud, og svævningen måles til 2800 Hz. Så er bilens hastighed \( \frac{2800 \cdot 3{,}0 \cdot 10^8}{2 \cdot 10{,}0 \cdot 10^9} = 42 \) m/s, altså 151 km/t. Faktoren 2 i nævneren skyldes, at bølgen både rammer bilen og vender tilbage, så dopplerskiftet sker to gange.

Politiet kan altså regne bilens fart ud uden at kende noget til bilen. Det eneste, radaren skal kende, er sin egen frekvens og forskellen til det, der kommer tilbage. Det er den samme tankegang som i din telefonmåling ovenfor, bare med elektromagnetiske bølger i stedet for lyd. Og fordi radarbølger svinger så hurtigt, skal apparatet måle meget små frekvensforskelle: nogle få tusind hertz ud af ti milliarder.

På hospitalet bruges princippet til ultralyd. Ifølge Lex om dopplerultralydsscanning sender et lydhoved bølger med en frekvens mellem 1 og 10 MHz ind i kroppen. Rammer de blodceller i bevægelse, kommer ekkoet tilbage med et dopplerskift, og lægen kan regne blodets hastighed ud. I astronomien er det rødforskydningen, du lige har regnet på, der afslører, hvordan stjerner og galakser bevæger sig.

Alle tre anvendelser bygger på tankeeksperimentet fra fortovet: Sammenlign den frekvens, der blev sendt, med den, der kommer frem, og forskellen fortæller, hvor hurtigt noget bevæger sig. Skal du videre til atomfysikken bagefter, er halveringstid et godt næste emne.

Typiske fejl i opgaver om dopplereffekt

De fleste fejl opstår ikke i selve regnestykket, men i opsætningen. Her er fire, der koster point igen og igen. Får du brug for en at regne dem igennem sammen med, finder du lektiehjælp i fysik hos Toptutors, og første time er gratis.

Til eksamen er det en fordel at skrive formlen op med navngivne størrelser, angive hvilken hastighed der er kildens, og hvilken der er iagttagerens, og huske enheder i hvert trin. Så kan en censor se, hvor du tænkte rigtigt, selvom en decimal skulle gå galt.