I april 1986 eksploderede reaktor nr. 4 i Tjernobyl. Det radioaktive cæsium-137, der spredte sig over store dele af Europa, har en halveringstid på 30 år. Det betyder, at der i dag, knå 40 år efter ulykken, stadig er over halvdelen af det udslupne cæsium tilbage i miljøet. Et enkelt tal udgør forskellen på, om et område er sikkert at bo i eller stadig afspærret.

Halveringstid er et centralt begreb i kernefysik og atomfysik. Det samme begreb bruges til at datere knogler fra stenalderen, beregne medicindoser og planlægge opbevaring af kerneaffald. Her får du formlen, to gennemregnede beregningseksempler og en oversigt over alfa-, beta- og gammastråling.

Hvad er halveringstid?

Nøglebegreb

Halveringstid (T½)

Halveringstiden er den tid, det tager for halvdelen af atomkernerne i et radioaktivt stof at henfalde. Efter én halveringstid er 50 % af de oprindelige kerner tilbage. Efter to halveringstider er 25 % tilbage. Efter tre er 12,5 % tilbage.

Uran-238 har en halveringstid på 4,5 milliarder år, omtrent samme alder som Jordens. Radon-222 er det modsatte ekstrem med en halveringstid på blot 3,82 dage. Hvad enten halveringstiden er på brøkdele af et sekund eller milliarder af år, gælder det for alle radioaktive isotoper, at hverken temperatur, tryk eller kemiske bindinger kan ændre den. Det er et træk ved atomkernens indre opbygning alene.

Henfaldsloven: den matematiske model bag radioaktivt henfald

Start med at forestille dig, at du har 80 radioaktive kerner. Efter én halveringstid er der 40 tilbage. Efter to er der 20. Efter tre er der 10. Det er ikke et fast antal kerner, der forsvinder per tidsskridt, men en fast brøkdel. Tallet halveres gang på gang. Matematisk er det eksponentielt henfald, og det beskrives præcist af henfaldsloven.

Formel

Henfaldsloven

\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Variable

SymbolNavn
\(N(t)\)Antal radioaktive kerner til tiden t
\(N_0\)Startmængden: antal kerner til t = 0
\(t\)Forløbet tid (i samme enhed som T½)
\(T_{1/2}\)Halveringstiden for den pågældende isotop
\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Formlen kan også skrives som N(t) = N₀ · e^(−k·t), hvor k er henfaldskonstanten. Begge giver identiske resultater. I gymnasiets formelsamling bruges typisk halveringsformen, fordi T½ kan aflæses direkte fra databogen uden at beregne k først.

Henfaldskonstanten k og aktiviteten A

Hvad sker der, hvis du kender henfaldskonstanten k fra en opgave i stedet for T½? Konstanten k angiver sandsynligheden for, at en enkelt kerne henfalder pr. tidsenhed. Jo større k er, desto kortere er halveringstiden. De to størrelser hænger fast sammen:

Formel

Henfaldskonstanten

\[k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}\]

Variable

SymbolNavn
\(k\)Henfaldskonstanten (enhed: s⁻¹, min⁻¹ eller år⁻¹)
\(\ln(2)\)Naturlig logaritme af 2, ≈ 0,693
\(T_{1/2}\)Halveringstiden i samme tidsenhed som k
\[k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}\]

Aktiviteten A måler, hvor mange kerner der henfalder pr. sekund, og angives i becquerel (Bq). Sammenhængen er A = k · N. En aktivitet på 15 Bq betyder, at 15 kerner henfalder hvert sekund. Aktiviteten aftager med præcis den samme halveringstid som antallet af kerner, fordi de er direkte proportionale.

Beregn halveringstid trin for trin: Jod-131

Jod-131 er en radioaktiv isotop, der bruges i medicin til at behandle skjoldbruskkirtelsygdomme. Det er betaradioaktivt med en halveringstid på 8 dage. Forestil dig, at du får en dosis svarende til 100 g Jod-131. Hvor meget er der tilbage i kroppen efter 24 dage?

  1. 1

    Identificer kendte størrelser

    N₀ = 100 g, T½ = 8 dage, t = 24 dage.

  2. 2

    Beregn eksponenten

    t / T½ = 24 / 8 = 3. Der er gået præcis 3 halveringstider.

  3. 3

    Sæt ind i formlen

    N(24) = 100 · (1/2)³ = 100 · 1/8 = 12,5 g.

  4. 4

    Aflæs svaret

    Der er 12,5 g Jod-131 tilbage i kroppen efter 24 dage.

Eksempelopgave

Jod-131 har en halveringstid på 8 dage. En dosis på 100 g gives til en patient. Hvor meget er der tilbage i kroppen efter 24 dage?

Vis løsning
  1. 1

    Kendte værdier

    N₀ = 100 g, T½ = 8 dage, t = 24 dage

  2. 2

    Antal halveringstider

    t / T½ = 24 / 8 = 3

    \[\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{24}{8} = 3\]
  3. 3

    Insæt i henfaldsloven

    N(24) = 100 · (1/2)³ = 100 · 1/8 = 12,5 g

    \[N(24) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \cdot \frac{1}{8} = 12{,}5 \text{ g}\]
  4. 4

    Svar

    Der er 12,5 g Jod-131 tilbage efter 24 dage. Mængden er reduceret til 1/8 af startmængden.

Radioaktivt henfald af Jod-131 over 40 dage (N₀ = 100 g, T½ = 8 dage)

Kulstof-14 og datering af historiske fund

Da arkeøloger i 2008 fandt en massegrav i England med 35 skeletter, var et af de første spørgsmål: Hvornår levede disse mennesker? Svaret kom fra kulstof-14-datering. Levende organismer optager løbende kulstof fra atmosfæren, og en lille brøkdel er den radioaktive isotop C-14 med halveringstiden 5.730 år. Når organismen dør, stopper optagelsen, og C-14 henfalder stille og roligt. Jo mindre C-14 der er tilbage sammenlignet med det stabile C-12, desto ældre er fundet.

Som Niels Bohr Institutets spørg-om-fysik-side forklarer, er halveringstiden en pålidelig tidsmåler netop fordi hvert radioaktivt atom henfalder fuldstændigt tilfældigt og uafhængigt af de øvrige. Det er statistikkens love, der gør kulstof-14-datering mulig.

Eksempelopgave

En knogle indeholder kun 25 % af den C-14-mængde, der var til stede ved dødstidspunktet. Hvornår levede personen? (T½ for C-14 = 5.730 år)

Vis løsning
  1. 1

    Opstil ligningen

    25 % = (1/2)² betyder, at der er gået præcis 2 halveringstider

    \[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}} = 0{,}25 = \left(\frac{1}{2}\right)^2\]
  2. 2

    Beregn alderen

    t = 2 × 5.730 år = 11.460 år

    \[t = 2 \times 5730 = 11.460 \text{ år}\]
  3. 3

    Svar

    Knoglen er ca. 11.460 år gammel. Personen levede i slutningen af stenalderen.

Alfa-, beta- og gammastråling: hvad er forskellen?

Radioaktivt henfald sker ikke på én måde. Afhængigt af isotopen kan det ske ved tre typer stråling. Alle tre er ioniserende, men de adskiller sig kraftigt i, hvad de består af, og hvor langt de kan trænge igennem stof.

TypePartikelLadningRækkevidde i luftStoppes af
Alfastråling (α)Heliumkerne (2p + 2n)+2Ca. 4 cmPapir eller hud
Betastråling (β)Elektron (e⁻)−1Op til ca. 30 mFå mm aluminium
Gammastråling (γ)Foton (elektromagnetisk)0Hundredvis af meterTykt bly eller beton

Alfastråling er den tungeste og mest ioniserende af de tre: en alfapartikel er en hel heliumkerne med fire nukleoner. Den stoppes af et stykke papir, men er farligst, hvis kilden indåndes eller sluges. Betastråling er lettere og rækker langt videre, men stoppes af et tyndt stykke aluminium. Gammastråling er en form for elektromagnetisk stråling, som Niels Bohr Institutets Fysikleksikon beskriver, og den kræver centimetres tykt bly for at afskærmes effektivt.

Kendte radioaktive isotoper og deres halveringstider

IsotopHalveringstidHenfaldtypeRelevans
Kulstof-14 (¹⁴C)5.730 årBeta (β)Kulstof-14-datering
Jod-131 (¹³¹I)8 dageBeta (β) + gamma (γ)Medicinsk behandling
Cæsium-137 (¹³⁷Cs)30 årBeta (β)Kerneaffald, Tjernobyl
Radon-222 (²²²Rn)3,82 dageAlfa (α)Naturlig kælderluft-stråling
Uran-238 (²³⁸U)4,5 mia. årAlfa (α)Geologisk datering, kernekraft

Spændet er enormt. Som lex.dks artikel om halveringstid påpeger, strækker halveringstiderne sig fra brøkdele af et sekund til mere end 10³⁰ sekunder for de langsomste isotoper. Radon-222 siver op af jordbund og byggematerialer og er en af de største naturlige strålingsbidrag i danske boliger. Energien, der frigives ved henfald, kan beregnes som kinetisk energi på alfapartiklen, som du kan læse mere om i vores guide til kinetisk energi. Vil du styrke hele din fysikforståelse, kan du også se vores gennemgang af Ohms lov.

Typiske fejl ved beregning af halveringstid

Tre fejl dukker op igen og igen i opgaver og til eksamener. Ingen af dem er åbenlyse, og alle tre koster point.

Pas på disse fejl

❌ Typisk fejl✓ Korrekt
Blande tidsenheder: T½ er i dage, men t er angivet i timerSørg for at t og T½ er i samme tidsenhed, inden du sætter ind i formlen. Omregn den ene, hvis det er nødvendigt.
At tro, at det radioaktive stof fuldstændigt forsvinder efter f.eks. 10 halveringstiderHenfaldsloven beskriver en eksponentiel funktion, der nærmer sig nul men aldrig når det. Efter 10 halveringstider er ca. 0,1 % stadig tilbage.
Forveksle k og T½: høj k skulle betyde lang halveringstidDet er det modsatte. Et stof med høj henfaldskonstant k henfalder hurtigt og har en kort halveringstid: k = ln(2)/T½.

Quiz

Test din viden om halveringstid

0/5 besvaret

1. Et radioaktivt stof har halveringstiden 12 timer. Hvor meget er der tilbage efter 36 timer?

2. Hvad stoppes alfastråling af?

3. Hvad er henfaldskonstanten k, når T½ = 5 år?

4. Halveringstiden for en isotop ændres, når temperaturen stiger.

5. En C-14-prøve indeholder 12,5 % af den originale mængde. C-14 har T½ = 5.730 år. Hvad er prøvens alder?

Ofte stillede spørgsmål om halveringstid

Hvad er halveringstid i fysik?
Halveringstid (T½) er den tid, det tager for halvdelen af atomkernerne i et radioaktivt stof at henfalde. Den beskrives af henfaldsloven N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T½). Halveringstiden er en konstant for hver isotop og bruges til at beregne, hvor meget radioaktivt stof der er tilbage til et givet tidspunkt.
Hvad er formlen for halveringstid?
Formlen er N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T½), hvor N₀ er startmængden, t er den forløbne tid og T½ er halveringstiden. Alternativt: N(t) = N₀ · e^(−k·t), hvor k = ln(2)/T½ er henfaldskonstanten.
Hvad er forskellen på alfa-, beta- og gammastråling?
Alfastråling består af heliumkerner og stoppes af papir. Betastråling består af elektroner og stoppes af aluminium. Gammastråling er elektromagnetisk stråling, der kræver tykt bly som afskærmning. Alfa er mest ioniserende, gamma rækker langest.
Hvad er henfaldskonstanten k?
Henfaldskonstanten k angiver sandsynligheden for, at en enkelt atomkerne henfalder pr. tidsenhed. Den er relateret til halveringstiden ved k = ln(2)/T½. Et stof med høj k henfalder hurtigt og har en kort halveringstid.
Hvordan bruges halveringstid til at datere fund?
Kulstof-14-datering udnytter, at levende organismer optager C-14 fra atmosfæren. Når organismen dør, stopper optagelsen, og C-14 henfalder med T½ = 5.730 år. Ved at måle den tilbageværende mængde C-14 kan man beregne fundets alder.
Påvirker temperatur halveringstiden?
Nej. Halveringstiden afhænger udelukkende af atomkernens indre opbygning. Hverken temperatur, tryk eller kemiske reaktioner kan ændre den.

Brug for hjælp til kernefysik?

Vores privatundervisere i fysik hjælper dig med henfaldsloven, beregninger og eksamensforberedelse. Over 1.000 godkendte undervisere er klar til din gratis prøvetime.

Find en fysiktutor