Tyngdeacceleration: alt du skal vide om g og frit fald

Slip en sten fra toppen af en bro, og den rammer vandet med markant mere fart end hvis du blot holdt den ud fra hoften og slap. For hvert sekund stenen tilbringer i luften, øger den sin fart med præcis 9,82 m/s her i Danmark. Ikke 9 m/s, ikke 10 m/s: netop 9,82 m/s² er tyngdeaccelerationen, symboliseret g, og det er en af de mest fundamentale konstanter i mekanik og gravitationsfysik.

Uanset om du møder tyngdeaccelerationen for første gang i en folkeskoleopgave om tyngdekraft, eller du er i gymnasiets mekanik og skal beregne stedfunktioner og hastigheder ved frit fald, er g nøglen. Guiden her viser dig definitionen, formlerne F = m·g, v = g·t og s = ½·g·t², to gennemregnede eksempler og en sammenligning af g på Jordens overflade, Månen og Mars. Har du brug for personlig hjælp med fysiklektier, matcher Toptutors dig med en godkendt tutor fra 229 kr./time med gratis prøvetime.

Hvad er tyngdeacceleration?

Tyngdeaccelerationen gælder ikke kun for tunge genstande. En bold på 10 gram og en kugle på 10 kg accelererer med nøjagtig den samme g, når de falder frit i vakuum. Tyngdekraften trækker ganske vist hårdere i den tunge kugle, men fordi kuglen også er sværere at accelerere, udligner de to effekter hinanden præcist. Resultatet er, at g er den samme for alle legemer ved Jordens overflade.

Symbolet g stammer fra det engelske ord 'gravity'. Lex.dk forklarer i samarbejde med professor Poul Henrik Damgaard fra Københavns Universitets Institut for Teoretisk Fysik, at tyngdeaccelerationen ikke er helt konstant overalt på Jordens overflade: den varierer afhængigt af breddegrad og lokale massefordelinger i jordskorpen, fordi Jordens form og indre densitet ikke er ensartet overalt.

Det var Galileo Galilei, der i 1600-tallet eksperimentelt viste, at alle legemer falder med den samme acceleration i vakuum uanset masse. Legenden siger, at han slap to kugler af forskellig masse fra det skæve tårn i Pisa og opdagede, at de ramte jorden på samme tid. Newton formaliserede resultatet siden med sin gravitationslov, og tyngdeaccelerationen stod herefter som en grundlæggende konstant i klassisk mekanik.

Formlen for tyngdekraft: F = m·g

Tag en fyldt rygsæk på 8 kg og forestil dig, at du løfter den. Den kraft, du mærker i armene, er tyngdekraften, som Jordens tyngdefelt trækker rygsækken nedad med. Formlen der giver dig tallet, er F = m·g: en direkte konsekvens af Newtons 2. lov F = m·a, hvor accelerationen er g. Her er F tyngdekraften i newton (N), m er massen i kilogram og g er tyngdeaccelerationen i m/s².

Rygsækken trækker altså med næsten 79 newton. Bemærk: massen (8 kg) ændrer sig ikke, uanset om rygsækken befinder sig på Jordens overflade, Månen eller Mars. Tyngdekraften derimod afhænger af det lokale g. På Månen ville tyngdekraften kun være F = 8 · 1,62 ≈ 13 N. Distinktionen mellem masse og tyngdekraft er et af de steder flest elever blander kortene.

Hvad er g i Danmark?

Danmark ligger på ca. 56° nordlig bredde. Fordi Jordens rotation giver planeten en svag fladtrykning ved polerne, er afstanden fra overfladen til Jordens centrum kortere der, og tyngdefeltet er lidt kraftigere mod polerne end ved ækvator. Lex.dk angiver, at tyngdeaccelerationen i Danmark er 9,816 m/s², mens den ved ækvator er 9,780 m/s² og ved Nordpolen 9,832 m/s². I skoleberegninger rundes g til 9,82 m/s².

Bag tallene gemmer sig formlen g = 9,80612 – 0,025865·cos(2φ) + 0,000058·cos²(2φ), hvor φ er breddegraden. Indsætter du 56° for Danmarks position, lander du på de 9,816 m/s² fra tabellen nedenfor. Det viser, at Jordens rotation og geografiske form har en reel, målbar effekt på tyngdeaccelerationen.

Frit fald trin for trin

Forestil dig, at du slipper en sten fra en bro 45 meter over vandet. Ingen kast, ingen luftmodstand: stenen falder lodret ned med stadig stigende fart. To spørgsmål melder sig: hvornår rammer den vandet, og hvor hurtigt? Det er præcis, hvad frit fald-formlerne besvarer. Vi antager, at legemet starter fra hvile (startfart = 0) og accelereres konstant af tyngdeaccelerationen g.

Den første formel viser, at hastigheden vokser lineært med tiden: for hvert sekund øger den sig med g. Den anden viser, at strækningen vokser med kvadratet af tiden: falder du dobbelt så længe, falder du fire gange så langt. Det er Galileo Galileis 2. faldlov. Niels Bohr Instituttet bekræfter begge udtryk: \( v = g \cdot t \) og \( s = \frac{1}{2} g t^2 \) gælder i alle frit fald-beregninger, der ser bort fra luftmodstand.

1. 1

   Identificér kendte og ukendte størrelser

   Skriv s (faldlængde i m), t (faldtid i s) og g = 9,82 m/s² op. Notér, hvad opgaven spørger efter.

2. 2

   Vælg den rigtige formel

   Søger du faldtid? Brug s = ½·g·t² og isolér t. Søger du hastighed efter et givet tidsrum? Brug v = g·t.

3. 3

   Indsæt og beregn

   Sæt tallene ind og udregn. Tjek enheder: strækning i m, tid i s, hastighed i m/s.

Når legemet rammer underlaget, forvandles bevægelsesenergien til andre energiformer. Vil du beregne den kinetiske energi i landingsøjeblikket, bruger du \( E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2 \), som vi gennemgår grundigt i artiklen om kinetisk energi. Det er en naturlig videreførelse af frit fald-beregninger.

Tyngdeacceleration på Månen og Mars

Astronauter på Månen kan hoppe tre meter i vejret. Det er ikke enestående atletikpræstationer: det er en direkte konsekvens af, at Månens tyngdeacceleration er g = 1,62 m/s², seks gange lavere end Jordens 9,82 m/s². Et hop, der på Jordens overflade løfter dig en halv meter, sender dig tre meter op i luften på Månen. På Mars er g = 3,71 m/s², kun 38 % af Jordens, og tyngdekraften er tilsvarende lavere.

Sæt tallene ind i F = m·g for rygsækken (m = 8 kg): på Mars er tyngdekraften F = 8 · 3,71 ≈ 29,7 N, på Månen kun F = 8 · 1,62 ≈ 13,0 N mod 78,6 N på Jordens overflade. Samme masse, meget forskellig tyngdekraft. Det er præcis det, formlen F = m·g viser med tre forskellige g-værdier.

Forklaringen ligger i Newtons gravitationslov: tyngdeaccelerationen på en planets overflade er g = G·M/R², hvor G er gravitationskonstanten, M er planetens masse og R er dens radius. Mars har lavere masse og mindre radius end Jorden, og begge faktorer bidrager til et lavere g. Som seniorforsker Hans Ulrik Nørgaard Nielsen fra DTU Space forklarer, kan man bestemme en planets g ved at observere, hvordan nærliggende objekter bevæger sig i dens tyngdefelt.

Forskel på tyngdeacceleration og acceleration

Hvad er egentlig forskellen? Det er et klassisk forvirringspunkt. Acceleration er en generel størrelse: enhver ændring i fart pr. tidsenhed. En bil, der kører fra 0 til 100 km/h på 10 sekunder, accelererer med a = Δv/Δt = 27,8/10 ≈ 2,78 m/s². Det er acceleration, men det har intet med tyngdekraft at gøre.

Tyngdeacceleration (g) er den specifikke acceleration, som tyngdekraften alene giver et frit faldende legeme. Den er bestemt af Jordens masse og radius, ikke af legemets masse. En fjerfugl og en mursten falder med nøjagtig samme g i vakuum. Niels Bohr Instituttet bekræfter med udgangspunkt i Galileos klassiske eksperiment: g er uafhængig af legemets masse. Tyngdeacceleration er altså et specialtilfælde af acceleration.

Alle tyngdeaccelerationer er accelerationer, men ikke alle accelerationer er tyngdeaccelerationer. Ligesom F = m·g er en enkel proportionalitet, kender du måske tilsvarende formler fra ellæren, fx Ohms lov U = R·I. I frit fald-opgaver på folkeskole- og gymnasieniveau er det altid g = 9,82 m/s² du arbejder med.

Typiske fejl med tyngdeacceleration

Tre fejl dukker op igen og igen, første gang man regner med tyngdeaccelerationen. Her er de, og hvad du gør i stedet.