Du køber et månedligt mobilabonnement: 99 kr. i grundpris og 2 kr. pr. ekstra gigabyte. Bruger du 5 ekstra GB, betaler du 109 kr. Bruger du 10, betaler du 119 kr. Bruger du 20, betaler du 139 kr. For hvert ekstra gigabyte stiger prisen med præcis 2 kr., og det sker hver eneste gang. Den sammenhæng har en klar matematisk beskrivelse, og det er den, vi kalder en lineær funktion.

Lineær funktion med forskriften \( f(x) = ax + b \) møder du første gang i 7. klasse, og emnet er med til folkeskolens afgangsproøve. Ifólge matematikdidaktisk forskning fra NCUM er lineære funktioner grundlaget for differentialregning, regression og matematisk modellering i gymnasiet. I denne artikel gennemgår vi alt fra definition til topunktsformel.

Hvad er en lineær funktion?

Mobileksemplet illustrerer det godt. Du betaler 99 kr. uanset hvad. For hvert ekstra GB tilføjer du 2 kr. For 10 ekstra GB er prisen \( f(10) = 2 \cdot 10 + 99 = 119 \) kr. For 50 ekstra GB er prisen \( f(50) = 2 \cdot 50 + 99 = 199 \) kr. x er antallet af ekstra GB, du bruger. f(x) er det, du betaler. x vælger du selv; f(x) er konsekvensen.

Nøglebegreb

Lineær funktion

En lineær funktion har forskriften f(x) = ax + b, hvor a og b er konstanter, og x er en variabel. For hver x-værdi giver funktionen præcis én f(x)-værdi. Grafen for en lineær funktion er altid en ret linje.

Eksempel: f(x) = 3x + 5 er en lineær funktion med hældningskoefficient a = 3 og konstantled b = 5. Sætter du x = 2 ind, får du f(2) = 3 · 2 + 5 = 11.

Det er det, der adskiller en funktion fra en ligning. En ligning som \( 2x + 99 = 119 \) søger den ene x-værdi, der gør udtrykket sandt (svar: x = 10). En funktion beskriver derimod sammenhængen for alle mulige x-værdier på én gang. Funktionsnotationen \( f(x) \) læses 'f af x' og markerer, at y-værdien afhænger af, hvad du sætter ind på x's plads.

Hældningskoefficienten a: grafens hældning

Hvad sker der, hvis taxaselskabet hæver kilometerprisen fra 10 kr. til 15 kr.? Du betaler mere for den samme tur. Grafen, der viser prisen som funktion af kilometre, bliver stejlere. Sænker de prisen til 5 kr., flades grafen ud. Det, der styrer grafens hældning, er \( a \), og det er grunden til, at \( a \) kaldes hældningskoefficienten.

Formel

Hældningskoefficienten a

\[a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Variable

SymbolNavn
\(a\)Hældningskoefficient
\(\Delta y\)Ændring i y (y₂ minus y₁)
\(\Delta x\)Ændring i x (x₂ minus x₁)
Hvornår: Brug denne formel, når du kender koordinaterne til to punkter på grafen og vil finde hældningskoefficienten. Kræver at x₂ ≠ x₁.
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Du kan aflæse \( a \) direkte fra grafen. Gå præcis 1 skridt til højre langs x-aksen og registrér, hvor mange skridt grafen bevæger sig opad eller nedad. Er det 3 op, er \( a = 3 \). Er det 2 ned, er \( a = -2 \). Er det 0, er \( a = 0 \), og grafen er vandret. Fortegnet på \( a \) er altafgørende: positiv \( a \) giver en voksende funktion, negativ \( a \) giver en aftagende.

Tre lineære funktioner med forskellig hældning

Eksempelopgave

Find hældningskoefficienten for den lineære funktion, der går igennem punkterne (1, 3) og (4, 9).

Vis løsning
  1. 1

    Identificer de to punkter

    Vi navngiver punkterne: (x₁, y₁) = (1, 3) og (x₂, y₂) = (4, 9).

    \[x_1 = 1,\quad y_1 = 3,\quad x_2 = 4,\quad y_2 = 9\]
  2. 2

    Beregn Δy og Δx

    Vi finder forskellen i y-værdier og forskellen i x-værdier.

    \[\Delta y = 9 - 3 = 6\qquad \Delta x = 4 - 1 = 3\]
  3. 3

    Beregn a

    Vi dividerer Δy med Δx for at få hældningskoefficienten.

    \[a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6}{3} = 2\]

Konstantleddet b: skæringen med y-aksen

Sæt \( x = 0 \) i taxafunktionen \( f(x) = 10x + 40 \). Du er ikke kørt en eneste kilometer. Hvad betaler du? \( f(0) = 10 \cdot 0 + 40 = 40 \) kr. Det er startgebyret, det beløb der falder, uanset hvor langt du kører. Matematisk er det det punkt, hvor grafen skærer y-aksen, og det er altid \( b \). Formlen bekræfter: \( f(0) = a \cdot 0 + b = 0 + b = b \).

Fortegnet på \( b \) fortæller dig, om grafen starter over eller under origo. Positiv \( b \): grafen skærer y-aksen ovenfor x-aksen. Negativ \( b \): den skærer under. Er \( b = 0 \), går grafen direkte igennem origo. Det specialtilfælde hedder ligefrem proportionalitet: funktionen er da \( f(x) = ax \), og der er ingen fast grundpris. Prisen er simpelthen \( a \) gange antallet.

Sildeben: tegn grafen trin for trin

En ret linje er fastlagt af bare to punkter. Har du to punkter, kan du tegne linjen. Mange vælger alligevel tre punkter og bruger det tredje som kontrol: hvis de tre punkter ikke ligger på linjen, er der en regnefejl et sted. Metoden hedder et sildeben, fordi tabellen med x og f(x)-værdier minder om benene på en fisk. Vælg x-værdier, der giver hele tal i f(x), så er grafen lettest at tegne nøjagtigt.

  1. 1

    Skriv forskriften op

    F.eks. f(x) = 2x + 1. Notér a = 2 og b = 1.

  2. 2

    Vælg tre x-værdier

    Vælg f.eks. x = 0, x = 2 og x = 4. De giver som regel pæne hele tal i f(x).

  3. 3

    Beregn f(x) for hver x-værdi

    f(0) = 2 · 0 + 1 = 1, f(2) = 2 · 2 + 1 = 5, f(4) = 2 · 4 + 1 = 9. Skriv tallene i tabellen.

  4. 4

    Plot punkterne i koordinatsystemet

    Afsæt punkterne (0, 1), (2, 5) og (4, 9) i koordinatsystemet.

  5. 5

    Tegn linjen

    Forbind punkterne med en ret linje og forlæng den i begge retninger. Er alle tre punkter på linjen, er beregningerne korrekte.

Eksempelopgave

Opstil et sildeben og tegn grafen for f(x) = 2x + 1.

Vis løsning
  1. 1

    Beregn f(x) for x = 0, 2 og 4

    Vi sætter vores tre valgte x-værdier ind i forskriften.

    \[f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1\qquad f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\qquad f(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9\]
  2. 2

    Skriv sildebenet op

    Vi organiserer tallene i en tabel med x øverst og f(x) nederst: x = 0, 2, 4 giver f(x) = 1, 5, 9.

  3. 3

    Plot og tegn grafen

    Vi sætter punkterne (0, 1), (2, 5) og (4, 9) ind i koordinatsystemet og trækker en ret linje igennem dem.

Graf for f(x) = 2x + 1

Find a og b ud fra to punkter: topunktsformlen

Kender du ikke forskriften, men har to punkter på grafen, kan du altid finde \( a \) og \( b \). Punkterne kan komme fra en tabel i opgaven, fra en aflæsning i et koordinatsystem, eller fra to målte observationer. Processen er to trin: beregn \( a \) med hældningsformlen, og brug derefter et af punkterne til at isolere \( b \). Rækkefølgen er fast.

Formel

Topunktsformlen for a

\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Variable

SymbolNavn
\((x_1,\, y_1)\)Første punkt på grafen
\((x_2,\, y_2)\)Andet punkt på grafen
\(a\)Hældningskoefficient
Hvornår: Brug formlen, når du kender koordinaterne til to punkter og vil finde hældningskoefficienten a. Kræver x₁ ≠ x₂.
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Formel

Find b fra et punkt og a

\[b = y_1 - a \cdot x_1\]

Variable

SymbolNavn
\(b\)Konstantled (y-akseskæring)
\(a\)Hældningskoefficient (beregnet i trin 1)
\((x_1,\, y_1)\)Et af de to kendte punkter
Hvornår: Brug formlen efter du har beregnet a. Indsæt det ene punkt og den fundne a-værdi. Tjek altid med det andet punkt.
\[b = y_1 - a \cdot x_1\]

Eksempelopgave

En lineær funktion går igennem punkterne (2, 7) og (5, 16). Find forskriften f(x) = ax + b.

Vis løsning
  1. 1

    Beregn a med topunktsformlen

    Vi indsætter de to punkter: (x₁, y₁) = (2, 7) og (x₂, y₂) = (5, 16).

    \[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3\]
  2. 2

    Beregn b

    Vi bruger punktet (2, 7) og a = 3.

    \[b = y_1 - a \cdot x_1 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1\]
  3. 3

    Skriv forskriften op

    Vi har nu både a og b og kan skrive den fulde forskrift.

    \[f(x) = 3x + 1\]
  4. 4

    Tjek med det andet punkt

    Sæt (5, 16) ind: f(5) = 3 · 5 + 1 = 15 + 1 = 16. Det stemmer.

    \[f(5) = 3 \cdot 5 + 1 = 16 \checkmark\]

Tjekket i det sidste trin er ikke valgfrit. Sæt altid det andet punkt ind i den fundne forskrift og se, om du får den rigtige y-værdi. En regnefejl afsløres øjeblikkeligt. Ti sekunder sparer dig for en forkert opgave.

Lineær funktion i hverdagen

Lineære funktioner er ikke kun noget, du møder i matematikhæftet. Tænk på din næste taxatur: 40 kr. i startgebyr og 10 kr. pr. km giver \( f(x) = 10x + 40 \). Et strømabonnement med 150 kr./måned og 0,80 kr. pr. kWh er \( f(x) = 0{,}80x + 150 \). Sparer du 25 kr. af din ugeløn og starter fra nul, er det \( f(x) = 25x \), et eksempel på ligefrem proportionalitet. Alle tre er lineære funktioner, fordi y stiger med et fast beløb for hvert skridt x tager.

Hurtig test

Kan sammenhængen skrives som f(x) = ax + b med en fast a og en fast b? Så er det en lineær funktion. Stiger y med et forskelligt beløb for hvert skridt i x, er det ikke lineært.

Situationa (pr. enhed)b (grundpris)Forskrift
Mobilabonnement2 kr./GB99 kr.f(x) = 2x + 99
Taxa10 kr./km40 kr.f(x) = 10x + 40
Strøm0,80 kr./kWh150 kr.f(x) = 0,80x + 150
Ugepenge25 kr./uge0 kr.f(x) = 25x

Har du brug for en genopfriskning af koordinatsystemet, inden du tegner graferne, finder du en komplet forklaring i vores artikel om koordinatsystemer. Vil du se, hvordan lineær funktion hænger sammen med funktionsbegrebet generelt, har vi en artikel om funktioner, der opbygger forståelsen fra bunden. Og behøver du personlig hjælp, står vores matematiklærere klar til en gratis prøvetime.

Typiske fejl med lineær funktion

Tre fejl går igen i opgaverne om lineær funktion. Alle tre er nemme at undgå, når du kender dem.

Typiske fejl

❌ Typisk fejl✓ Korrekt
a og b byttes om: eleven ser f(x) = 3x + 5 og antager, at b = 3 og a = 5.Husk: a er altid koefficienten foran x. I f(x) = 3x + 5 er a = 3 (foran x) og b = 5 (konstantleddet uden x).
Negativ hældning opgives som positiv. Eleven aflæser en faldende graf og skriver a = 2 i stedet for a = -2.Aflæser du hældningen fra en faldende graf, er a negativ. Gå 1 til højre: falder grafen 2, er a = -2. Fortegnet er afgørende.
b beregnes forkert, fordi eleven skriver b = y₁ i stedet for b = y₁ - a · x₁.Brug altid formlen b = y₁ - a · x₁ og sæt de konkrete tal ind. Tjek altid ved at indsætte det andet punkt i den fundne forskrift.

Quiz

Test din viden om lineær funktion

0/5 besvaret

Prøv de fem spørgsmål og se, om du har styr på det. Du kan se forklaringen, efter du har svaret.

1. Hvad er hældningskoefficienten for f(x) = 4x - 7?

2. En lineær funktion har a = -2 og b = 6. Hvad er f(3)?

3. En funktion går igennem punkterne (0, 5) og (2, 11). Hvad er a?

4. Grafen for f(x) = -3x + 2 er ...

5. En lineær funktion går igennem punkterne (1, 4) og (3, 10). Hvad er b?

Ofte stillede spørgsmål om lineær funktion

Hvad er en lineær funktion?
En lineær funktion er en funktion med forskriften f(x) = ax + b, hvor a og b er konstanter. Grafen er altid en ret linje. a styrer hældningen, og b er det punkt, hvor grafen skærer y-aksen.
Hvad er forskellen på a og b i en lineær funktion?
a er hældningskoefficienten: det beløb y vokser eller aftager med, for hvert skridt x tager til højre. b er konstantleddet: den y-værdi, du får, når x = 0, det vil sige det punkt, hvor grafen skærer y-aksen.
Hvordan finder jeg forskriften ud fra to punkter?
Beregn først a med formlen a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Beregn derefter b med formlen b = y₁ - a · x₁. Tjek altid ved at sætte det andet punkt ind i forskriften.
Kan hældningskoefficienten være nul?
Ja. Hvis a = 0, er funktionen f(x) = b, dvs. en konstant. Grafen er en vandret linje. Y-værdien er den samme for alle x-værdier.
Hvad er ligefrem proportionalitet?
Ligefrem proportionalitet er et specialtilfælde af lineær funktion, hvor b = 0. Funktionen skrives f(x) = ax, og grafen går igennem origo. Eksempel: prisen på 3 kr. pr. styk er f(x) = 3x.
Hvonnår bruger jeg lineær funktion til afgangsprøven?
Lineær funktion er kernestof i folkeskolens afgangsprøve i matematik. Du skal typisk kunne aflæse a og b fra en graf, opstille en forskrift fra to punkter, beregne en funktionsværdi og bruge funktionen til at løse en praktisk opgave.

Har du brug for hjælp til lineær funktion?

Over 1.000 certificerede matematiklærere er klar til at hjælpe dig. Book en gratis prøvetime uden binding og mærk forskellen.

Book gratis prøvetime