Du og en ven kaster en terning. Han slår 6 og påstår nu, at han har "varme hænder" og vil slå 6 igen. Sandsynlighedsregning giver dig det præcise svar på, om det faktisk ændrer noget, at han ramte 6 første gang. Spoiler: det gør det ikke, og efter denne guide kan du bevise det.

I gymnasiet er sandsynlighedsregning en central del af matematik B og A på STX og HF. Du møder udfaldsrum, hændelser, betinget sandsynlighed, kombinatorik og stokastiske variable. Denne guide gennemgår alle vigtige begreber og formler med konkrete eksempler, så du er klar til eksamen. Har du brug for ekstra støtte undervejs, kan du få lektiehjælp i matematik hos en af vores certificerede tutorer.

Hvad er sandsynlighedsregning?

Nøglebegreb

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er den matematiske disciplin, der beregner, hvor sandsynligt det er, at et bestemt udfald intræffer i et tilfældigt eksperiment. Sandsynligheder angives som tal fra 0 til 1, hvor 0 betyder umuligt og 1 betyder sikkert.

Eksempel: Sandsynligheden for at slå en 6 med en fair terning er 1/6 ≈ 16,7%. Sandsynligheden for at trække et rødt kort fra et kortspil er 26/52 = 1/2 = 50%.

Sandsynlighedsregning og statistik er to sider af samme mønt, men de arbejder fra hver sin retning. Statistik tager udgangspunkt i observerede data og forsøger at sige noget om verden bagudrettet. Sandsynlighedsregning beregner, hvad du forventer fremad, inden du har data. Som Wikipedias artikel om sandsynlighedsregning beskriver det, er disciplinen tæt knyttet til kombinatorikken og udgør det teoretiske fundament for al statistisk teori.

Sandsynligheder kan udtrykkes som brøker (1/6), decimaltal (0,167) eller procent (16,7%). En sandsynlighed på 0 betyder, at hændelsen aldrig sker. En sandsynlighed på 1 betyder, at den sker med sikkerhed. Alt imellem er grader af mulighed.

Udfaldsrum, udfald og hændelser

Hvad kan faktisk ske, når du kaster en mønt? Du kan få plat eller krone. De to mulige resultater udgør det, vi kalder udfaldsrummet, betegnet U. Udfaldsrummet U = {plat, krone} indeholder alle mulige resultater. Kaster du i stedet en seksidet terning, er udfaldsrummet U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Nøglebegreb

Udfaldsrum og hændelse

Udfaldsrummet U er mængden af alle mulige udfald for et givet eksperiment. Et udfald er ét enkelt resultat i U. En hændelse A er en delmængde af U, det vil sige de udfald, der opfylder et bestemt kriterium.

Eksempel: Eksperiment: kast med en terning. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hændelse A = "slå et lige tal" = {2, 4, 6}. De gunstige udfald for A er 2, 4 og 6.

Når du kender udfaldsrummet og din hændelse, kan du bruge grundformlen til at beregne sandsynligheden. Formlen virker i et symmetrisk sandsynlighedsfelt, hvor alle udfald er lige sandsynlige.

Formel

Grundformlen (symmetrisk sandsynlighedsfelt)

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}\]

Variable

SymbolNavnEnhed
\(P(A)\)Sandsynlighed for hændelse Atal fra 0 til 1
\(n(A)\)Antal gunstige udfald-
\(n(U)\)Samlet antal mulige udfald i udfaldsrummet-
Hvornår: Brug kun denne formel i et symmetrisk sandsynlighedsfelt, hvor alle udfald er lige sandsynlige.
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}\]

Eksempelopgave

En seksidet terning kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for at slå et ulige tal?

Vis løsning
  1. 1

    Opstil udfaldsrummet

    Alle mulige resultater: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Det giver n(U) = 6.

  2. 2

    Identificer de gunstige udfald

    Ulige tal i U er 1, 3 og 5. Hændelsen A = {1, 3, 5}, n(A) = 3.

  3. 3

    Beregn sandsynligheden

    Insæt i grundformlen:

    \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\% \]

Det symmetriske sandsynlighedsfelt

Der er forskel på en fair terning og en terning, der er lavet ulovligt tung på den ene side. Den fair terning er symmetrisk: hvert tal har præcis samme sandsynlighed, nemlig \( \frac{1}{6} \). Det er et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Den snydeterning er ikke symmetrisk, og her kan du ikke bruge grundformlen direkte.

Sandsynlighedsfordeling for et kast med en fair seksidet terning

Et vigtigt kendetegn for ethvert gyldigt sandsynlighedsfelt: summen af alle sandsynlighederne er altid præcis 1. For terningen er det 6 gange 1/6 = 1. Altid. Ole Witt-Hansens noter om sandsynlighedsregning fra Køge Gymnasium understreger netop dette punkt: det er en grundlæggende betingelse for et korrekt opstillet sandsynlighedsfelt. Sandsynligheder kan angives som brøker, decimaltal eller procent: 1/6 ≈ 0,167 ≈ 16,7%.

Hurtig tjek

Læg alle dine beregnede sandsynligheder for et eksperiment sammen. Giver de ikke 1 (svarende til 100%), er der en fejl et sted i din opstilling.

Additionssætningen og komplementhændelsen

Du trækker ét kort fra et kortspil. Du vil vide sandsynligheden for at trække enten et hjerter eller et billedkort. Her holder grundformlen ikke alene. De to hændelser overlapper delvist: hjerter knægt, hjerter dame og hjerter konge tæller med i begge grupper. Lægger du bare sandsynlighederne sammen, tæller du de tre kort dobbelt.

Formel

Additionssætningen

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A ∪ B)\)Sandsynlighed for at A eller B (eller begge) sker
\(P(A ∩ B)\)Sandsynlighed for at A og B begge sker (snittet)
Hvornår: Brug denne formel, når du vil finde sandsynligheden for, at mindst én af to hændelser sker. Hvis A og B er disjunkte (kan ikke ske samtidig), er P(A ∩ B) = 0, og formlen forenkles til P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Formel

Komplementhændelsen

\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]

Variable

SymbolNavn
\(P(Ā)\)Sandsynlighed for at A IKKE sker
\(P(A)\)Sandsynlighed for hændelse A
Hvornår: Brug komplementhændelsen, når det er nemmere at beregne sandsynligheden for det modsatte og trække fra 1. Klassisk: sandsynlighed for mindst ét givet udfald i flere forsøg.
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]

Eksempelopgave

Et standard kortspil med 52 kort. Hvad er sandsynligheden for at trække enten et hjerter eller et billedkort?

Vis løsning
  1. 1

    Find P(hjerter)

    Der er 13 hjerterkort ud af 52 kort i alt.

    \[ P(\text{hjerter}) = \frac{13}{52} \]
  2. 2

    Find P(billedkort)

    Billedkort er knægt, dame og konge i alle 4 kulører: 12 kort i alt.

    \[ P(\text{billedkort}) = \frac{12}{52} \]
  3. 3

    Find P(hjerter OG billedkort)

    Hjerter knægt, hjerter dame og hjerter konge: 3 kort, der er med i begge grupper.

    \[ P(\text{hjerter} \cap \text{billedkort}) = \frac{3}{52} \]
  4. 4

    Brug additionssætningen

    Træk snittet fra, så de tre kort ikke tælles dobbelt.

    \[ P(\text{hjerter} \cup \text{billedkort}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} \approx 42\% \]

Komplementhændelsen bruger du, når det er nemmere at beregne sandsynligheden for det modsatte. Vil du finde sandsynligheden for at slå mindst én 6'er i tre terningkast, er det enklere at beregne P(ingen 6'er) og trække fra 1. Du får P(mindst én 6'er) = 1 - (5/6)³ ≈ 42,1%.

Betinget sandsynlighed: ny information ændrer regnestykket

Forestil dig, at du har et kortspil med 52 kort. Sandsynligheden for at trække et es er 4/52 = 1/13. Nu fortæller en ven dig, at kortet er sort. Pludselig ændres regnet: der er kun 2 sorte esser ud af 26 sorte kort. Sandsynligheden er nu 2/26 = 1/13. Betinget sandsynlighed fanger præcis det: sandsynlighed givet at noget bestemt allerede er sket.

Formel

Betinget sandsynlighed

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A|B)\)Sandsynlighed for A givet at B er intrådt
\(P(A ∩ B)\)Sandsynlighed for at A og B begge sker
\(P(B)\)Sandsynlighed for hændelse B, skal være større end 0
Hvornår: Brug betinget sandsynlighed, når du kender udfaldet af en første hændelse og vil finde sandsynligheden for en anden under den betingelse. Typisk: trækning uden tilbelægning, kortspil, urner.
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Eksempelopgave

En urne indeholder 3 røde og 3 hvide kugler. Vi trækker to kugler uden tilbelægning. Hvad er sandsynligheden for at begge er røde?

Vis løsning
  1. 1

    Find P(første kugle er rød)

    Der er 3 røde kugler ud af 6 i alt.

    \[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
  2. 2

    Find P(anden rød | første var rød)

    Nu er der 2 røde tilbage ud af 5 kugler, fordi den første røde kugle er fjernet.

    \[ P(B \mid A) = \frac{2}{5} \]
  3. 3

    Brug multiplikationssætningen

    Multiplicer de to sandsynligheder for at finde P(begge røde).

    \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = 20\% \]

Uafhængige hændelser er hændelser, hvor den ene ikke påvirker sandsynligheden for den anden. To terningkast er uafhængige: resultatet af det første kast siger ingenting om det andet. For uafhængige hændelser er P(A|B) = P(A), og multiplikationssætningen forenkles til P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Uafhængige hændelserAfhængige hændelser
EksempelTo terningkastKugler uden tilbelægning
P(A ∩ B)P(A) · P(B)P(A) · P(B|A)
Ændrer første hændelse sandsynligheden?NejJa

Kombinatorik og sandsynlighed: tæl dine muligheder

I et pokerspil med 52 kort er der over 2,5 millioner mulige pokerkændelser på 5 kort. At tælle dem manuelt er umuligt. Her er binomialkoefficienten K(n,r) dit redskab: en formel, der tæller præcis det antal måder, du kan vælge r elementer fra n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning.

  1. 1

    Identificer n og r

    n er det samlede antal elementer at vælge imellem. r er det antal elementer, du vælger. Rækkefølgen er irrelevant.

  2. 2

    Beregn fakulteter

    Beregn n!, r! og (n-r)!. Husk: 0! = 1.

  3. 3

    Sæt ind i formlen

    Del n! med produktet af r! og (n-r)!. Du får antallet af kombinationer.

Formel

Binomialkoefficienten K(n,r)

\[K(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}\]

Variable

SymbolNavn
\(n\)Antal elementer i alt
\(r\)Antal elementer der vælges
\(n!\)n-fakultet: 1 · 2 · 3 · ... · n
Hvornår: Brug K(n,r) til at tælle antallet af måder at vælge r elementer fra n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning. Bruges i sandsynlighedsregning til at bestemme antallet af gunstige og mulige udfald.
\[K(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}\]

Eksempelopgave

En pose indeholder 5 røde og 3 blå kugler (8 i alt). Du trækker 2 kugler uden at kigge. Hvad er sandsynligheden for at begge er røde?

Vis løsning
  1. 1

    Antal mulige måder at trække 2 ud af 8

    Alle kombinationer af 2 kugler fra posen:

    \[ K(8,2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]
  2. 2

    Antal gunstige måder: 2 røde ud af 5

    Kombinationer af 2 røde kugler fra de 5 røde:

    \[ K(5,2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
  3. 3

    Beregn sandsynligheden

    Brug grundformlen med de to tal:

    \[ P(\text{begge røde}) = \frac{K(5,2)}{K(8,2)} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\% \]

Kombinatorik danner grundlag for binomialfordelingen, hvor du beregner sandsynligheden for præcis k succeser i n forsøg. DTU's kursus 02405 i sandsynlighedsregning bruger netop kombinatorik som en af de første byggesten i en formel sandsynlighedsteori.

Stokastisk variabel og forventningsværdi

Du betaler 3 kr. for at deltage i et spil. Slår du en 6'er, vinder du 12 kr. Slår du alt andet, vinder du ingenting. Er det et fair spil? Det er præcis det spørgsmål, forventningsværdien besvarer. En stokastisk variabel X knytter et tal til hvert muligt udfald i et eksperiment. Her er X din nettogevinst: enten 9 kr. (du vinder 12, men har betalt 3) eller -3 kr. (du vinder ingenting, men har stadig betalt 3).

Formel

Forventningsværdi E(X)

\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Variable

SymbolNavn
\(E(X)\)Forventningsværdi: teoretisk gennemsnit over mange forsøg
\(xi\)Mulig værdi for den stokastiske variabel X
\(P(X = xi)\)Sandsynlighed for at X antager værdien xi
Hvornår: Brug E(X) til at beregne det teoretiske gennemsnit for en stokastisk variabel. Relevant i spil, forsikringsmatematik og økonomi, overalt hvor du vil vide det forventede resultat over mange gentagelser.
\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Eksempelopgave

Du betaler 3 kr. for at deltage i et spil. Slår du en 6'er med en terning, vinder du 12 kr. Ellers vinder du 0 kr. Hvad er forventningsværdien af din nettogevinst?

Vis løsning
  1. 1

    Opstil de mulige udfald

    X = 9 kr. med P(X = 9) = 1/6. (12 kr. i gevinst minus 3 kr. indskud.) X = -3 kr. med P(X = -3) = 5/6. (0 kr. i gevinst minus 3 kr. indskud.)

  2. 2

    Beregn forventningsværdien

    Multiplicer hver x-værdi med dens sandsynlighed og læg dem sammen.

    \[ E(X) = 9 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{5}{6} = \frac{9}{6} - \frac{15}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \text{ kr.} \]
  3. 3

    Fortolk resultatet

    Forventningsværdien er -1 kr. Du taber i gennemsnit 1 kr. per spil. Spillet er ikke fair.

Forventningsværdien er ikke det samme som det gennemsnit, du beregner fra observerede data i statistik. E(X) er et teoretisk mål, beregnet ud fra sandsynlighederne. Det næste store emne i sandsynlighedsteorien er normalfordelingen, som beskriver fordelingen af mange tilfældige fænomener og er fundamentet for statistisk hypotesetest.

Typiske fejl i sandsynlighedsregning

❌ Typisk fejl✓ Korrekt
Bruger P(A ∩ B) = P(A) · P(B) selv om hændelserne er afhængige.Multiplikationssætningen i denne simple form gælder KUN for uafhængige hændelser. Trækker du kort uden tilbelægning, skal du bruge P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) i stedet.
Glemmer at trække P(A ∩ B) fra i additionssætningen, når hændelserne overlapper.Brug altid P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Det sidste led er kun 0, hvis A og B er disjunkte og umuligt kan ske på samme tid.
Forveksler forventningsværdien E(X) med et gennemsnit fra observerede data.E(X) er et teoretisk mål beregnet fra sandsynligheder. Det gennemsnit du udregner fra data i statistik er et empirisk estimat og ikke det samme begreb.
Glemmer at specificere, om der trækkes med eller uden tilbelægning.Uden tilbelægning: sandsynlighederne ændrer sig for hvert træk, brug betinget sandsynlighed. Med tilbelægning: sandsynlighederne er de samme for hvert træk og hændelserne er uafhængige.

Quiz

Test dig selv: sandsynlighedsregning

0/5 besvaret

Prøv de fem spørgsmål herunder og se, om du har styr på kernen i sandsynlighedsregning.

1. En seksidet terning kastes. Hvad er sandsynligheden for at slå et tal større end 4?

2. Hvis P(A) = 0,3, hvad er så P(Å)?

3. For to uafhængige hændelser A og B gælder P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

4. Hvad er K(5,2)?

5. En pose indeholder 4 røde og 6 blå kugler. Du trækker 1 kugle. Hvad er P(rød)?

Ofte stillede spørgsmål om sandsynlighedsregning

Hvad er et udfaldsrum?
Et udfaldsrum U er mængden af alle mulige udfald for et givet eksperiment. Kaster du en terning, er udfaldsrummet U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kaster du en mønt, er udfaldsrummet U = {plat, krone}.
Hvornår bruger jeg betinget sandsynlighed?
Du bruger betinget sandsynlighed, når du kender resultatet af én hændelse og vil finde sandsynligheden for en anden under den betingelse. Formlen er P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Det er typisk relevant ved trækning uden tilbelægning.
Hvad er forskellen på permutationer og kombinationer?
Permutationer bruges, når rækkefølgen er vigtig: på hvor mange måder kan tre elever stille op i en kø? Kombinationer bruges, når rækkefølgen ikke har betydning: på hvor mange måder kan vi vælge 3 elever af en gruppe på 10? Kombinationsformlen er K(n,r) = n! / (r! · (n-r)!).
Hvad er en stokastisk variabel?
En stokastisk variabel X er en variabel, der knytter et tal til hvert muligt udfald i et eksperiment. Eksempel: i et terningkast kan X repræsentere din gevinst. Stokastiske variable er udgangspunktet for binomialfordelingen og normalfordelingen.
Hvad er sandsynlighedsregning relevant for i gymnasiet?
Sandsynlighedsregning er kernestof på matematik B og A på STX og HF. Du møder emnet i forbindelse med udfaldsrum, hændelser, betinget sandsynlighed, kombinatorik, stokastiske variable, binomialfordeling og normalfordeling. Det er desuden et hyppigt emne til eksamen.
Hvordan hænger sandsynlighedsregning og statistik sammen?
Sandsynlighedsregning er det teoretiske fundament: du beregner, hvad du forventer at ske ud fra matematiske modeller. Statistik analyserer faktiske data og forsøger at drage konklusioner om verden. De to discipliner bruger de samme begreber, men arbejder fra hver sin retning.

Sidder du fast i sandsynlighedsregning?

Vores matematiktutorer gennemgår alt fra udfaldsrum til stokastiske variable i dit eget tempo. Mere end 1.000 certificerede tutorer, 4,7 stjerner på Trustpilot og gratis prøvetime uden binding.

Få en gratis prøvetime