Du og en ven slår med en terning. Vennen påstår, at chancen for at slå en sekser to gange i træk er næsten nul. Du har en fornemmelse af, at han tager fejl, men du kan ikke bevise det. Det er præcis her sandsynlighedsregning kommer ind: matematikkens redskab til at give præcise svar på spørgsmål, der ellers ender som diskussioner ingen vinder.

I gymnasiet er sandsynlighedsregning en central del af matematik B og A på STX og HF. Du støder på udfaldsrum, hændelser, betinget sandsynlighed og stokastiske variable. Denne guide gennemgår alle de vigtige formler og begreber med konkrete eksempler. Vil du have en komplet oversigt over sandsynlighed og statistik noter, har vi samlet det hele til dig.

Hvad er sandsynlighedsregning?

Nøglebegreb

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er den matematiske disciplin, der handler om at beregne sandsynligheder for mulige udfald af et eksperiment. Sandsynligheder angives som tal fra 0 til 1, hvor 0 betyder umuligt og 1 betyder sikkert. Sandsynlighedsregning er et af de teoretiske fundamenter for statistik.

Eksempel: En sekssidet terning viser et bestemt tal med sandsynlighed 1/6.

Tag terningen igen. Den har seks sider, og du leder efter en 3'er. Der er præcis ét gunstigt udfald ud af seks mulige, så sandsynligheden er \( \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% \). Det er grundideen: jo flere gunstige udfald i forhold til alle mulige, desto højere sandsynlighed. Resultatet kan altid skrives som en brøk, et decimaltal eller en procentdel.

Som Wikipedias artikel om sandsynlighedsregning beskriver det, er sandsynlighedsregning tæt forbundet med kombinatorikken og udgør det teoretiske grundlag for statistik. De to discipliner er uadskillelige: statistik analyserer data, mens sandsynlighedsregning beregner, hvad vi forventer på forhånd.

Udfaldsrum og hændelser

Hvad kan overhovedet ske, når du kaster en terning? Du kan lande på 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Den komplette liste over alle mulige resultater kaldes udfaldsrummet og betegnes typisk U. Hvert enkelt resultat kalder man et udfald, og en samling af udfald, der opfylder et kriterium, kalder man en hændelse.

  1. 1

    Beskriv eksperimentet

    Fastslå præcist, hvad der sker. Eksempel: 'Jeg kaster en sekssidet terning én gang.'

  2. 2

    List alle mulige udfald

    Skriv hvert enkelt muligt resultat ned. For terningen: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  3. 3

    Skriv udfaldsrummet op

    Saml udfaldene i en mængde: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt er alle udfald lige sandsynlige.

  4. 4

    Definér din hændelse

    En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet. De udfald, der opfylder dit kriterium, kaldes gunstige udfald.

Eksempelopgave

Vi kaster to mønter. Hvad er sandsynligheden for, at begge lander på krone?

Vis løsning
  1. 1

    Opstil udfaldsrummet

    Hvert kast kan give krone (k) eller plat (p). For to mønter er der 4 udfald i alt.

    \[U = \{(k,k),\ (k,p),\ (p,k),\ (p,p)\}\]
  2. 2

    Find hændelsen

    Hændelse A: begge mønter viser krone.

    \[A = \{(k,k)\}\]
  3. 3

    Beregn sandsynlighed

    1 gunstigt udfald ud af 4 mulige.

    \[P(A) = \frac{1}{4} = 25\%\]

Sandsynlighedsformlen: gunstige og mulige udfald

Forestil dig, at du trækker et kort fra et spil på 52 kort. Hvad er sandsynligheden for et billedkort? Der er 12 billedkort (knægt, dame og kongen i fire farver). Svaret er \( \frac{12}{52} = \frac{3}{13} \approx 23{,}1\% \). Det er sandsynlighedsformlen i brug: antal gunstige udfald divideret med det samlede antal mulige udfald.

Formel

Sandsynlighedsformlen

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A)\)Sandsynlighed for hændelse A
\(n(A)\)Antal gunstige udfald
\(n(U)\)Samlet antal mulige udfald
Hvornår: Gælder, når alle udfald i udfaldsrummet er lige sandsynlige (symmetrisk sandsynlighedsfelt).
\[P(A) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}}\]

Eksempelopgave

Vi kaster en sekssidet terning. Hvad er sandsynligheden for et lige øjental?

Vis løsning
  1. 1

    Skriv udfaldsrummet

    En sekssidet terning har 6 mulige udfald.

    \[U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},\quad n(U) = 6\]
  2. 2

    Find de gunstige udfald

    De lige tal er: 2, 4, 6.

    \[A = \{2, 4, 6\},\quad n(A) = 3\]
  3. 3

    Beregn sandsynlighed

    Indsæt i formlen:

    \[P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%\]

Sandsynlighedsfordeling for en sekssidet terning (P = 1/6 for hvert udfald)

Komplementær hændelse og additionssætningen

Nogle gange er det nemmere at beregne sandsynligheden for det modsatte af det, du er interesseret i. Sandsynligheden for at slå mindst én sekser med to terninger er svær at beregne direkte. Til gengæld er det nemt at beregne sandsynligheden for slet ingen seksere og trække det fra 1. Det er komplementsætningens styrke.

Formel

Komplementær hændelse

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A^c)\)Sandsynlighed for komplementet til A
\(P(A)\)Sandsynlighed for hændelse A
Hvornår: Bruges, når det er nemmere at beregne sandsynlighed for det modsatte af hændelsen.
\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

Additionssætningen bruger du, når du vil beregne sandsynligheden for enten hændelse A eller hændelse B. Er de to hændelser disjunkte (de kan ikke ske på samme tid), er formlen enkel. Kan de godt ske samtidig, skal du trække den fælles sandsynlighed fra én gang, ellers tæller du den med to gange.

Formel

Additionssætningen

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A \cup B)\)Sandsynlighed for A eller B
\(P(A \cap B)\)Sandsynlighed for A og B samtidig
Hvornår: For disjunkte hændelser (A og B kan ikke ske samtidig) er P(A ∩ B) = 0, og formlen reduceres til P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Eksempelopgave

Hvad er sandsynligheden for at slå mindst én sekser, når du kaster to terninger?

Vis løsning
  1. 1

    Beregn sandsynlighed for ingen seksere

    Sandsynlighed for at én terning ikke viser 6 er 5/6. De to kast er uafhængige.

    \[P(\text{ingen seksere}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\]
  2. 2

    Brug komplementsætningen

    Sandsynlighed for mindst én sekser:

    \[P(\text{mindst én sekser}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\%\]

Uafhængige hændelser og multiplikationssætningen

Du kaster to terninger. Påvirker det første kast resultatet af det næste? Nej, overhovedet ikke. Hvad terning nr. 1 viser, ændrer ikke sandsynlighederne for terning nr. 2. De er uafhængige hændelser, og det giver os en meget bekvem regnregel: vi kan simpelthen gange sandsynlighederne med hinanden.

Formel

Multiplikationssætningen for uafhængige hændelser

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A \cap B)\)Sandsynlighed for at både A og B sker
\(P(A)\)Sandsynlighed for hændelse A
\(P(B)\)Sandsynlighed for hændelse B
Hvornår: Gælder KUN for uafhængige hændelser, hvor den ene hændelse ikke påvirker sandsynligheden for den anden.
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad (\text{for uafhængige hændelser})\]

Eksempelopgave

Din ven påstår, at sandsynligheden for to seksere i træk er næsten nul. Hvad er den præcise sandsynlighed?

Vis løsning
  1. 1

    Identificér sandsynlighederne

    Lad A = 'første kast er 6' og B = 'andet kast er 6'. De er uafhængige.

    \[P(A) = \frac{1}{6},\quad P(B) = \frac{1}{6}\]
  2. 2

    Multiplicér sandsynlighederne

    For uafhængige hændelser:

    \[P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 2{,}8\%\]
  3. 3

    Vurdér svaret

    Din ven har ret i, at det er ualmindeligt. Men 1/36 er ikke næsten nul: det sker ca. én gang for hver 36 forsøg.

Vigtigt: afhængige hændelser

Multiplikationssætningen P(A ∩ B) = P(A) · P(B) gælder KUN for uafhængige hændelser. Trækker du to kort fra en bunke uden at lægge det første tilbage, er de to træk afhængige. Brug da betinget sandsynlighed: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).

Betinget sandsynlighed

Du trækker et kort fra en kortbunke. En ven fortæller dig, at det er rødt. Hvad er nu sandsynligheden for, at det er en hjerter? Uden oplysningen ville du svare 13/52. Men nu ved du, at der kun er 26 røde kort, og 13 af dem er hjerter. Sandsynligheden ændrer sig til 13/26 = 1/2. Det er betinget sandsynlighed: sandsynlighed givet ny information.

Formel

Betinget sandsynlighed

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Variable

SymbolNavn
\(P(A \mid B)\)Sandsynlighed for A givet B
\(P(A \cap B)\)Sandsynlighed for at både A og B sker
\(P(B)\)Sandsynlighed for hændelse B (skal være > 0)
Hvornår: Bruges, når du ved, at hændelse B er indtruffet, og vil beregne sandsynlighed for A under den forudsætning. P(B) skal være større end 0.
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0\]

Eksempelopgave

En urne indeholder 3 røde og 3 hvide kugler. Vi trækker to kugler uden tilbagelægning. Hvad er sandsynligheden for, at begge er røde?

Vis løsning
  1. 1

    Find sandsynlighed for første træk

    Lad B = 'første kugle er rød'. Der er 3 røde ud af 6 i alt.

    \[P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
  2. 2

    Find betinget sandsynlighed for andet træk

    Givet at første kugle var rød, er der nu 2 røde ud af 5 tilbage.

    \[P(A \mid B) = \frac{2}{5}\]
  3. 3

    Beregn samlet sandsynlighed

    Brug multiplikationsformlen for afhængige hændelser:

    \[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} = 20\%\]

Stokastisk variabel og sandsynlighedsfordeling

Forestil dig, at du spiller et spil, hvor du kan vinde 0 kr., 10 kr. eller 20 kr. afhængigt af, hvad du slår. For at holde styr på gevinsten bruger vi en stokastisk variabel, typisk kaldet X. En stokastisk variabel knytter et tal til hvert muligt udfald i udfaldsrummet. Betegnes med stort bogstav, mens konkrete værdier skrives med lille bogstav.

Sandsynlighedsfordelingen for X viser, hvilke værdier X kan antage og med hvilke sandsynligheder. Fordelingen angives typisk i en tabel, og det er afgørende, at alle sandsynlighederne summerer til 1, fordi ét af udfaldene altid vil ske.

x (gevinst i kr.)P(X = x)Fortolkning
00,50Ingen gevinst, sker halvdelen af gangene
100,30Lille gevinst, sker 3 ud af 10 gange
200,20Stor gevinst, sker 2 ud af 10 gange
Sum:1,00Sandsynlighederne summerer altid til 1

Sandsynlighedsfordeling for X (gevinst i spil)

Middelværdi, varians og spredning

Spillet fra den forrige tabel koster 5 kr. at spille. Er det en god handel? For at svare på det skal du kende middelværdien, som fortæller, hvad du i gennemsnit vinder pr. spil, hvis du spiller mange gange. I sandsynlighedsregning er middelværdien ikke et gennemsnit af data, men et vægtet gennemsnit af de mulige værdier.

Formel

Middelværdi af stokastisk variabel

\[\mu = E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Variable

SymbolNavn
\(\mu\)Middelværdi (udtales my)
\(x_i\)En mulig værdi af X
\(P(X = x_i)\)Sandsynlighed for den pågældende værdi
Hvornår: Bruges til at finde den forventede gennemsnitsværdi over mange gentagelser af eksperimentet. E(X) kommer fra det engelske 'expectation'.
\[\mu = E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Formel

Varians og spredning

\[\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)\]

Variable

SymbolNavn
\(\text{Var}(X)\)Variansen af X
\(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\)Spredningen (standardafvigelse)
Hvornår: Variansen måler, hvor spredt sandsynlighedsfordelingen er om middelværdien. Spredningen er kvadratroden af variansen og har samme enhed som X.
\[\sigma(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\sum_{i}(x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)}\]

Eksempelopgave

Spillet koster 5 kr. X angiver gevinsten. P(X=0)=0,5, P(X=10)=0,3, P(X=20)=0,2. Er spillet profitabelt i det lange løb?

Vis løsning
  1. 1

    Opsæt beregning af middelværdi

    Multiplicér hver mulig gevinst med dens sandsynlighed og læg dem sammen.

    \[E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}3 + 20 \cdot 0{,}2\]
  2. 2

    Beregn

    \[E(X) = 0 + 3 + 4 = 7 \text{ kr.}\]
  3. 3

    Vurdér om det kan betale sig

    Middelværdien er 7 kr. Spillet koster 5 kr. I det lange løb vinder du i gennemsnit 2 kr. pr. spil.

    \[E(X) - \text{pris} = 7 - 5 = +2 \text{ kr. pr. spil (i gennemsnit)}\]

Kombinatorik og sandsynlighedsregning

Kombinatorik handler om at tælle mulige kombinationer og arrangementer. Ifølge Gyldendals Den Store Danske er kombinatorik 'kunsten at tælle endelige mængder'. Det er præcis den kunst, du har brug for, når udfaldsrummet er for stort til at opskrive manuelt, for eksempel ved valg fra en gruppe på mange elementer.

Formel

Kombinationsformlen (binomialkoefficienten)

\[K(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}\]

Variable

SymbolNavn
\(n\)Samlet antal elementer
\(r\)Antal der vælges
\(n!\)n-fakultet: n multiplied by (n-1) multiplied by ... multiplied by 1
Hvornår: Bruges til at finde antallet af måder at vælge r elementer fra n elementer, når rækkefølgen ikke er vigtig.
\[K(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}\]

Eksempelopgave

En skål indeholder 5 røde og 3 blå bolde. Du trækker 2 bolde tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at begge er røde?

Vis løsning
  1. 1

    Find det samlede antal mulige udfald

    Du trækker 2 ud af 8 bolde, og rækkefølge er ligegyldig.

    \[n(U) = K(8, 2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\]
  2. 2

    Find de gunstige udfald

    Begge bolde skal være røde: vælg 2 ud af de 5 røde.

    \[n(A) = K(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]
  3. 3

    Beregn sandsynlighed

    \[P(A) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%\]

Kombinatorik er desuden grundlaget for binomialfordelingen, som er en af de vigtigste sandsynlighedsfordelinger i gymnasiets pensum. Her bruger du kombinationsformlen til at beregne, hvor sandsynligt det er at få præcis r succeser i n uafhængige forsøg med samme primærsandsynlighed p.

Typiske fejl i sandsynlighedsregning

❌ Typisk fejl✓ Korrekt
Bruger multiplikationssætningen P(A ∩ B) = P(A) · P(B) på afhængige hændelserMultiplikationssætningen gælder kun for uafhængige hændelser. Trækker du kort uden tilbagelægning, skal du bruge betinget sandsynlighed: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).
Glemmer at trække P(A ∩ B) fra i additionssætningen, når hændelserne ikke er disjunkteBrug altid den fulde formel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Det sidste led er kun 0, hvis A og B umuligt kan ske på samme tid.
Forveksler middelværdien E(X) med gennemsnittet af observerede data fra statistikMiddelværdien i sandsynlighedsregning er et teoretisk vægtet gennemsnit over alle mulige værdier, ikke et gennemsnit af faktiske observationer fra data.

Quiz

Test dig selv i sandsynlighedsregning

0/5 besvaret

1. Du kaster en sekssidet terning. Hvad er sandsynligheden for at slå et ulige tal?

2. Hvad er sandsynligheden for to seksere i træk med en terning?

3. P(A) + P(A^c) = 1 for alle hændelser A.

4. En stokastisk variabel X har P(X=2)=0,4 og P(X=8)=0,6. Hvad er E(X)?

Opgave 5

Kombinationsformlen K(5, 2) = .

Ofte stillede spørgsmål om sandsynlighedsregning

Hvad er forskellen på sandsynlighedsregning og statistik?
Statistik tager udgangspunkt i observerede data og forsøger at drage konklusioner om verden. Sandsynlighedsregning er det teoretiske fundament: du definerer et eksperiment og beregner sandsynligheder på forhånd, uden at have data. De to discipliner er tæt forbundne: statistik bruger sandsynlighedsregning som sit matematiske grundlag.
Hvad er et symmetrisk sandsynlighedsfelt?
Et symmetrisk sandsynlighedsfelt er et udfaldsrum, hvor alle udfald er lige sandsynlige. En fair terning er et eksempel: alle seks sider har sandsynlighed 1/6. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan du bruge grundformlen P(A) = n(A)/n(U) direkte.
Hvornår bruger man betinget sandsynlighed?
Du bruger betinget sandsynlighed, når ny information ændrer dit sandsynlighedsrum. Det er typisk relevant i situationer uden tilbagelægning, for eksempel kortspil eller kugler i en urne, eller situationer, hvor du ved, at en bestemt hændelse allerede er indtruffet. Formlen er P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Hvad er sandsynlighedsregning relevant for i gymnasiet?
Sandsynlighedsregning er pensum på matematik B og A på STX og HF. Du møder emnet i forbindelse med stokastiske variable, binomialfordeling, binomialtest og normalfordeling. Det er desuden et hyppigt eksamensmne, og grundbegreberne som udfaldsrum og hændelse er udgangspunktet for alt, der følger.
Hvad er forskellen på permutationer og kombinationer?
Permutationer bruges, når rækkefølgen er vigtig: på hvor mange måder kan vi sætte 3 elever op på 3 pladser? Kombinationer bruges, når rækkefølgen ikke spiller en rolle: på hvor mange måder kan vi vælge 3 elever af en gruppe på 10? Kombinationsformlen er K(n,r) = n! / (r! · (n-r)!).

Brug for hjælp til sandsynlighedsregning?

Vores matematiklærere gennemgår alt fra udfaldsrum til stokastiske variable i dit eget tempo. Over 1.000 certificerede tutorer, 4,7 stjerner på Trustpilot og gratis prøvetime uden binding.

Få en gratis prøvetime