Boksplot er et af de mest nyttige redskaber i deskriptiv statistik. Forestil dig, at din lærer sætter to klasser op til sammenligning: klasse A har en median på 52 point til matematikprøven, klasse B en median på 55 point. 'B er bedre,' tænker du. Men er det nu rigtigt? Måske er B's resultater spredt over et bredere interval, eller måske trak et par høje scorer medianen op. Med fem tal giver boksplottet dig øjeblikkeligt overblik over fordelingen af et datasæt fra bund til top og viser præcis det, medianen alene ikke kan fortælle.

Boksplot er pensum fra 8. klasse til gymnasiets A- og B-niveau. Som UVMs vejledning til matematik B-læreplanen præciserer, skal du kunne producere søjlediagram og boksplot til den skriftlige delprøve. Du møder boksplot til FP9, HTX, STX og i statistikprojekter. Denne guide tager dig igennem alle dele: de fem nøgleværdier, tegning trin for trin, aflæsning, variationsbredde, kvartilbredde, outliers, sammenligning af to datasæt og brug af GeoGebra.

Hvad er et boksplot?

Et søjlediagram viser hvert enkelt tal for sig. For en klasse på 28 elever giver det 28 søjler og overblikket forsvinder hurtigt. Et boksplot kniber hele datasættet ned til fem tal, der tilsammen beskriver, om data er tæt samlet i midten, eller om der er stor spredning fra de laveste til de højeste observationer.

Nøglebegreb

Boksplot

Et boksplot, også kaldet et kassediagram, er et statistisk diagram, der viser fordelingen af et observationssæt ved hjælp af det udvidede kvartilsæt. Boksen dækker de midterste 50 % af observationerne fra nedre kvartil Q1 til øvre kvartil Q3, en lodret streg markerer medianen m, og to antenner (haler) strækker sig ud til henholdsvis minimum og maksimum.

Eksempel: I et boksplot for testresultaterne 40, 50, 55, 60, 65, 70, 80 er medianen 60, Q1 = 50 og Q3 = 70. Boksen spænder fra 50 til 70, og antennerne peger mod henholdsvis 40 og 80.

Bemærk: boksplottets højde er ligegyldig. Y-aksens position har ingen matematisk betydning. Alle informationer aflæses langs den vandrette tallinje. Boksplot tilhører det fagområde, der hedder deskriptiv statistik. Du kan dykke dybere ned i emnet med vores noter om sandsynlighed og statistik, som går igennem hyppighed, frekvens, middelværdi og meget mere.

De fem nøgleværdier: det udvidede kvartilsæt

Tag datasættet: 4, 7, 9, 12, 14, 17, 19, 22, 25. Det er 9 observationer, allerede sorteret i stigende orden. Lad os finde de fem nøgleværdier, du skal bruge til boksplottet.

Medianen m er det midterste tal. Med 9 observationer er det tal nr. 5 i rækken: m = 14. Nedre kvartil Q1 er medianen af de 4 tal til venstre for medianen (4, 7, 9, 12). Med et lige antal tager vi gennemsnittet af de to midterste: Q1 = (7 + 9) / 2 = 8. Øvre kvartil Q3 er medianen af de 4 tal til højre for medianen (17, 19, 22, 25): Q3 = (19 + 22) / 2 = 20,5. Minimum er 4, maksimum er 25. Det udvidede kvartilsæt er dermed (4, 8, 14, 20,5, 25).

Formel

Det udvidede kvartilsæt

\[(min,\; Q_1,\; m,\; Q_3,\; max)\]

Variable

SymbolNavn
\(min\)Mindste observation
\(Q_1\)Nedre kvartil (25 %-fraktilen)
\(m\)Median (50 %-fraktilen)
\(Q_3\)Øvre kvartil (75 %-fraktilen)
\(max\)Største observation
Hvornår: Bruges til at tegne og aflæse et boksplot. Hvert af de fem punkter afgrænser en fjerdedel (25 %) af observationerne.
\[(min,\; Q_1,\; m,\; Q_3,\; max)\]

Boksplot for datasættet (4, 8, 14, 20,5, 25)

Sådan tegner du et boksplot trin for trin

Når du kender de fem værdier, er selve tegningen en direkte procedure. Brug altid en passende skæla, så afstanden mellem tallene afspejler de faktiske forskelle i datasættet.

  1. 1

    Tegn en vandret tallinje

    Vælg en skæla, der mindst rækker fra minimum til maksimum. Markér afstande jævnt.

  2. 2

    Afsæt Q1 og Q3 og tegn boksen

    Tegn en lodret streg ved Q1 og en ved Q3. Forbind dem med to vandrette linjer, så de danner en lukket boks.

  3. 3

    Afsæt medianen m

    Tegn en lodret streg inde i boksen ved medianen m. Den deler boksen i to dele.

  4. 4

    Tegn venstre antenne

    Træk en vandret linje fra Q1 ud til minimum. Afslut med en lodret streg (cap) ved minimum.

  5. 5

    Tegn højre antenne

    Træk en vandret linje fra Q3 ud til maksimum. Afslut med en lodret streg (cap) ved maksimum.

Til prøven

Husk at påføre tal på tallinjen, så sensor kan aflæse skalaen. Angiv 'boksplot' eller 'kassediagram' som diagram-overskrift. Y-aksens højde er ligegyldig, men tegn boksen i en rimelig proportionel højde.

Aflæsning: hvad kan du se i et boksplot?

Hvad fortæller boksplottet dig, ud over de fem tal? Faktisk en del. Positionen af medianstregen afslører, om de fleste observationer samler sig i den lave eller høje ende. Antennernes relative længde afslører, om der er stor variation i de yderste kvartiler. Og en usvært skæv boks signalérer, at datasættet ikke er symmetrisk.

Eksempelopgave

Aflæs boksplottet for datasættet (4, 8, 14, 20,5, 25) og forklar, hvad de fem værdier fortæller.

Vis løsning
  1. 1

    Centrum

    Medianen m = 14 fortæller, at halvdelen af observationerne ligger under 14 og halvdelen over 14.

  2. 2

    Den midterste halvdel

    Boksen spænder fra Q1 = 8 til Q3 = 20,5. De midterste 50 % af observationerne ligger altså i intervallet 8 til 20,5.

  3. 3

    Venstre kvartil

    Den venstre antenne strækker sig fra 4 til 8. De 25 % laveste observationer ligger i dette interval.

  4. 4

    Højre kvartil

    Den højre antenne strækker sig fra 20,5 til 25. De 25 % højeste observationer ligger her.

  5. 5

    Procentfortolkning

    Mellem hvert par af de fem punkter (min, Q1, m, Q3, max) befinder der sig præcis 25 % af observationerne.

Variationsbredde og kvartilbredde

Variationsbredden og kvartilbredden er begge mål for spredning i datasættet, men de kigger på meget forskellige dele af det. Variationsbredden beskriver det samlede spænd fra den mindste til den største observation. Kvartilbredden, også skrevet ΔQ, beskriver bredden af den midterste halvdel fra Q1 til Q3. En enkelt ekstremt høj observation trækker variationsbredden op, men påvirker slet ikke kvartilbredden.

Formel

Variationsbredde

\[max - min\]

Variable

SymbolNavn
\(max\)Største observation
\(min\)Mindste observation
Hvornår: Bruges til at beskrive det samlede spænd af datasættet fra bund til top.
\[\text{Variationsbredde} = max - min\]

Formel

Kvartilbredde (IQR)

\[\Delta Q = Q_3 - Q_1\]

Variable

SymbolNavn
\(Q_3\)Øvre kvartil
\(Q_1\)Nedre kvartil
Hvornår: Bruges til at beskrive spredningen i den midterste halvdel af datasættet. Kvartilbredden er robust over for outliers.
\[\Delta Q = Q_3 - Q_1\]

For vores datasæt (4, 8, 14, 20,5, 25) bliver: Variationsbredde = 25 - 4 = 21. Kvartilbredde ΔQ = 20,5 - 8 = 12,5. Kvartilbredden 12,5 fortæller, at den midterste halvdel af observationerne spænder over 12,5 enheder. Variationsbredden 21 viser det samlede spænd. Er du i tvivl om de grundlæggende regneoperationer bag disse beregninger, kan du genopfriske dem med vores guide til procentregning og de bagvedliggende aritmetiske principper.

Outliers: hvornår er en observation usædvanlig?

En jumpscore på 245 cm, mens alle andre i klassen lander mellem 160 og 195 cm. Er det en fejlregistrering, eller bare en exceptionel præstation? Statistikken har et formelt svar. En observation er en outlier, hvis den ligger mere end halvanden kvartilbredde under Q1 eller over Q3. Outliers markeres ofte som individuelle punkter uden for antennerne i boksplottet.

Formel

Outlier-grænser

\[Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta Q \quad \text{og} \quad Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta Q\]

Variable

SymbolNavn
\(Q_1\)Nedre kvartil
\(Q_3\)Øvre kvartil
\(\Delta Q\)Kvartilbredde (Q3 - Q1)
Hvornår: Bruges til at afgøre, om en observation er så ekstrem, at den betragtes som en outlier og måske bør undersøges nærmere.
\[\text{Nedre grænse} = Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta Q\]
\[\text{Øvre grænse} = Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta Q\]

Eksempelopgave

Undersøg om datasættet (4, 8, 14, 20,5, 25) har nogen outliers, når Q1 = 8, Q3 = 20,5 og ΔQ = 12,5.

Vis løsning
  1. 1

    Beregn nedre grænse

    Nedre grænse = Q1 - 1,5 · ΔQ

    \[8 - 1{,}5 \cdot 12{,}5 = 8 - 18{,}75 = -10{,}75\]
  2. 2

    Beregn øvre grænse

    Øvre grænse = Q3 + 1,5 · ΔQ

    \[20{,}5 + 1{,}5 \cdot 12{,}5 = 20{,}5 + 18{,}75 = 39{,}25\]
  3. 3

    Tjek observationerne

    Alle observationer (4 til 25) ligger inden for intervallet [-10,75 ; 39,25]. Der er ingen outliers i dette datasæt. Havde vi haft en observation på 42, ville den være en outlier, da 42 > 39,25.

Når en outlier er identificeret, slår antennerne i boksplottet fast ved den yderste observation, der ikke er en outlier. Outlieren markeres som et separat punkt (typisk en lille cirkel) uden for antennen. Det signalerer, at værdien er usvært ekstrem og bør kommenteres særskilt i opgaven.

Sammenligning af to boksplot

Din klasse og parallelklassen har taget den samme prøve. Læreren tegner et boksplot for hver klasse over hinanden i samme koordinatsystem. Giver median A og median B dig svaret? Næsten, men ikke helt. Du får et langt mere nuanceret billede ved at kigge på fire aspekter:

Hvad du kigger påHvad det fortæller
MedianenMidtpunktet i de to fordelinger. Klassen med højest median scorede typisk bedst.
Kvartilbredde (ΔQ)Jo større kvartilbredde, jo mere spredte er resultaterne i midterfeltet.
Overlap af bokseneStor overlap tyder på, at de to fordelinger ligner hinanden. Ingen overlap viser en tydelig forskel.
Antennernes længdeLange antenner viser stor variation i de yderste 25 % af observationerne.

Medianen er et bedre sammenligningsgrundlag end gennemsnittet, når der er outliers i datasættet. Som Karsten Juuls statistikhæfte om boksplot beskriver det, er medianen 'robust' over for ekstremt høje eller lave værdier, mens et enkelt ekstremt tal kan trække gennemsnittet langt fra det, der er typisk for datasættet.

Højreskæv, venstreskæv eller symmetrisk?

Se på boksen i dit boksplot. Sidder medianstregen midt i boksen, og er antennerne nogenlunde ens lange? Så er fordelingen symmetrisk. Er den højre antenne klart længere, og medianen tæt på Q1? Så er fordelingen højreskæv. Du kan aflæse skævheden direkte i diagrammet uden at beregne noget.

FordelingKendetegn i boksplottetEksempel
SymmetriskMedianstregen sidder midt i boksen. Antenner nogenlunde ens lange.Karakterfordeling i en stor velbalanceret eksamen
HøjreskævLang højre antenne, median tæt på Q1. Middelværdi > median.Indkomster: de fleste lavt, få meget højt
VenstreskævLang venstre antenne, median tæt på Q3. Middelværdi < median.Alder ved pension: de fleste sent, når få er førtidspensionister

Et klassisk eksempel på en højreskæv fordeling er indkomster i et land: de fleste lønnede samler sig i et lavere til middels interval, mens en lille gruppe med meget høje indkomster trækker den højre antenne langt ud. Her er medianen et mere retvisende mål for det typiske end gennemsnittet.

Boksplot i GeoGebra: trin-for-trin vejledning

Til prøven og i dit projektarbejde laver du boksplot i GeoGebra. Det tager under et minut, når du kender proceduren. Brug GeoGebra Classic, som du finder på geogebra.org, eller tal med din matematikhjaelp hos Toptutors, hvis du har brug for hjælp til at få alle CAS-værktøjerne til at spille på eksamenstidspunktet.

  1. 1

    Åbn GeoGebra Regneark

    Åbn GeoGebra Classic og klik på 'Regneark' i venstre navigationsmenu.

  2. 2

    Indtæst data i kolonne A

    Skriv dine observationer i kolonne A, én observation pr. celle. Du behøver ikke sortere dem.

  3. 3

    Markér alle celler

    Klik på den øverste celle og træk ned til den nederste, så alle data er markeret.

  4. 4

    Klik på Enkeltvariabelanalyse

    Klik på ikonet 'Enkeltvariabelanalyse' øverst i regnearksvisningen (det ligner et lille histogram).

  5. 5

    Vælg Boksplot

    I det nye vindue vælger du 'Boksplot' fra diagrammenuen. GeoGebra tegner boksplottet automatisk.

  6. 6

    Aflæs kvartilsættet

    Klik på statistik-ikonet (Σ) for at se min, Q1, median, Q3 og max direkte i GeoGebra. Du kan også aflæse kvartilbredden og variationsbredden herfra.

Tip: kvartilsdefinition

GeoGebra bruger den opdaterede kvartilsdefinition, som også bruges ved folkeskolens prøver siden 2013 og ved gymnasiets skriftlige prøver. Vær opmærksom, hvis du bruger ældre lærebogsmateriale, da den ældre definition kan give lidt andre værdier for Q1 og Q3.

Brug for hjælp til statistik eller boksplot?

Toptutors har over 1.000 certificerede tutorer klar til at hjælpe dig med matematik. Få en gratis prøvetime uden binding, og kom i gang allerede i dag. 96 % af vores elever giver positive anmeldelser.

Få en gratis prøvetime

Quiz

Test din viden om boksplot

0/5 besvaret

Svar på spørgsmålene nedenfor og se, om du har styr på boksplot.

1. Hvad viser stregen inde i boksen på et boksplot?

2. Hvad er kvartilbredden ΔQ, hvis Q1 = 8 og Q3 = 20?

Opgave 3

Variationsbredden beregnes som minus .

4. Y-aksens højde på et boksplot har ingen matematisk betydning.

5. En observation er en outlier, hvis den ligger mere end ______ kvartilbredde fra nærmeste kvartil.

Ofte stillede spørgsmål om boksplot

Hvad er forskellen på et boksplot og et histogram?
Et histogram viser, hvor mange observationer der falder i hvert interval (hyppighed). Et boksplot viser de fem nøgleværdier (min, Q1, median, Q3, max), men ikke den præcise hyppighed pr. interval. Boksplot er bedre til at sammenligne to datasæt i samme diagram.
Hvad er et kassediagram?
Kassediagram er et andet dansk ord for boksplot. Begge betegnelser bruges i matematik og refererer til nøjagtig samme type diagram.
Kan man aflæse gennemsnittet fra et boksplot?
Nej, et boksplot viser medianen, ikke gennemsnittet. Medianen er den lodrette streg inde i boksen. For at beregne gennemsnittet skal du kende alle enkeltobservationer.
Hvad sker der med antennerne, når der er outliers?
Når der er outliers, slutter antennerne ved den yderste observation, der ikke er en outlier. Outliers markeres som individuelle punkter (typisk små cirkler) uden for antennerne. Det signalerer, at disse værdier er ekstremt afvigende.
Hvornår bruges boksplot frem for et søjlediagram?
Boksplot bruges, når du vil sammenligne fordelingen af to eller flere datasæt, eller når du vil se, om data er skæv eller har outliers. Søjlediagrammet bruges, når du vil vise hyppighed eller frekvens for kategorier.