Koordinatsystemer - alt du skal vide

Efter at have læst denne guide, vil du kunne forstå, hvad et koordinatsystem er, hvordan man bruger det, og hvorfor det er vigtigt.

Indhold

• Hvad er et koordinatsystem?

• Hvorfor er koordinatsystemer vigtige?

• X-akse vs. y-akse

• Sådan finder du et punkt

• Hvad er en kvadrant?

• De fire kvadranter forklaret

• Skæringspunkt mellem to linjer

• Hældningskoefficienten

• Sjove fakta

Hvad er et koordinatsystem?

Et koordinatsystem er et system, der bruges til at placere og identificere punkter på en flade ved hjælp af to akser:

• X-aksen: vandret linje

• Y-aksen: lodret linje

De to akser mødes i midten i punktet origo, som har koordinaterne (0,0)(0, 0).
Eksempelvis betyder punktet (3,2)(3, 2), at man skal gå 3 enheder til højre og 2 enheder op.

Hvorfor er koordinatsystemer vigtige?

Koordinatsystemer anvendes i grafer, spil, GPS-teknologi, statistik og meget mere.
De danner grundlaget for at forstå bevægelse, afstand og relationer mellem data i matematik og naturvidenskab.

Hvad er forskellen på x-akse og y-akse?

X-aksen

• Løber vandret

• Angiver, hvor langt til højre eller venstre et punkt ligger

Y-aksen

• Løber lodret

• Viser, hvor højt oppe eller nede et punkt er

For at finde et punkt starter man altid med x-koordinaten og derefter y-koordinaten.

Eksempel: Find et punkt

Punktet (4,−3)(4, -3) betyder:

• Gå 4 enheder til højre

• Gå 3 enheder ned

Hvad er en kvadrant?

Koordinatsystemet er inddelt i fire områder, kaldet kvadranter, som nummereres mod uret fra øverste højre hjørne.

De fire kvadranter forklaret

1. Første kvadrant: x>0,y>0x > 0, y > 0 — f.eks. (3,2)(3, 2)

2. Anden kvadrant: x<0,y>0x < 0, y > 0 — f.eks. (−3,2)(-3, 2)

3. Tredje kvadrant: x<0,y<0x < 0, y < 0 — f.eks. (−3,−2)(-3, -2)

4. Fjerde kvadrant: x>0,y<0x > 0, y < 0 — f.eks. (3,−2)(3, -2)

Sådan finder du skæringspunktet mellem to linjer

To linjer krydser hinanden i ét punkt – dette kaldes skæringspunktet.

Eksempel:
Givet to linjer med ligningerne

• y=2x+1y = 2x + 1

• y=−x+3y = -x + 3

Sæt dem lig med hinanden:
2x+1=−x+32x + 1 = -x + 3

Løs for xx:
3x=2⇒x=233x = 2 x = \(\frac{2}{3}\)

Find yy ved at indsætte xx i en af ligningerne:
y=2⋅23+1=73y = 2 \(\cdot \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3}\)

Skæringspunktet er (23,73) \(\frac{2}{3}\), \(\frac{7}{3}\)

Hvad er hældningskoefficienten?

Hældningskoefficienten beskriver, hvor stejl en linje er, og beregnes som:

a=y2−y1x2−x1a = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Hvor:

• \(\x1,y1x_1, y_1 og x2,y2x_2, y_2\) er koordinaterne for to punkter på linjen

• Tælleren viser den lodrette ændring

• Nævneren viser den vandrette ændring

Eksempel på hældning

To punkter: (1,2)(1, 2) og (3,6)(3, 6)

Beregn hældningen:
a=6−23−1=42=2a = \(\frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\)

Det betyder, at linjen stiger med 2 enheder for hver 1 enhed til højre.

Hvad betyder hældningen?

• Positiv hældning: linjen stiger

• Negativ hældning: linjen falder

• Hældning på 0: linjen er vandret

Sjove fakta om koordinatsystemer

• Koordinatsystemet blev opfundet af René Descartes i 1600-tallet

• Din mobiltelefon bruger et 3D-koordinatsystem til at finde din position via GPS

• Koordinatsystemer bruges i alt fra matematik og fysik til arkitektur og computerspil