Komplekse tal: imaginære tal, regneregler og polær form

Komplekse tal ser ud som et trick. Du har lært, at man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal, din lommeregner svarer med en fejlmeddelelse, og så kommer din lærer alligevel med en løsning til ligningen \( x^2 = -1 \). Løsningen hedder \( i \), og den åbner en hel gren af matematikken, som du møder i gymnasiet og igen på ethvert teknisk studie.

Det mærkelige er, at det virker. Du kan regne med \( i \) ligesom med et hvilket som helst bogstav, du kan tegne tallene i et koordinatsystem, og du kan løse alle andengradsligninger, også dem, der tidligere manglede en løsning. Vi tager det i den rækkefølge, du møder det i undervisningen: først tallet \( i \), derefter regnereglerne, modulus og argument, polær form og Eulers formel. Alt er regnet igennem med konkrete tal, så du kan følge med på papir. Mangler du forudsætninger fra de tidligere år, kan du finde overblik under lektiehjælp i matematik.

Hvad er komplekse tal?

Prøv at løse \( x^2 + 4 = 0 \). Du får \( x^2 = -4 \), og intet reelt tal giver et negativt resultat, når du ganger det med sig selv. Men hvis du accepterer et nyt tal \( i \) med egenskaben \( i^2 = -1 \), bliver løsningerne \( x = 2i \) og \( x = -2i \). Du kan tjekke det: \( (2i)^2 = 2^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4 \). Det stemmer.

Tallet \( a \) kaldes realdelen og skrives \( \text{Re}(z) \). Tallet \( b \) kaldes imaginærdelen og skrives \( \text{Im}(z) \). Læg mærke til, at imaginærdelen er \( b \) og ikke \( bi \). I tallet \( 3 + 5i \) er realdelen 3 og imaginærdelen 5. Er \( b = 0 \), er tallet helt almindeligt reelt. Er \( a = 0 \), kaldes det et rent imaginært tal, for eksempel \( 7i \). De reelle tal er altså ikke væk. De er bare en lille delmængde af de komplekse.

Navnet er historisk uheldigt. Ifølge Aarhus Universitets noter om komplekse tal opstod behovet i 1500-tallet, da Cardano skulle finde en formel til tredjegradsligninger og måtte regne med opdigtede tal på vejen. Ordet imaginær betyder i bund og grund: det kunne man ikke forestille sig dengang. I dag er de lige så veldefinerede som brøker og negative tal. Der er også en dansk vinkel: ifølge Søren Buhls noter fra Aalborg Universitet var Caspar Wessel den første, der beskrev de komplekse tal som punkter i planen, og han publicerede det på dansk.

Den imaginære enhed i og dens potenser

Hvad sker der, hvis du bliver ved med at gange \( i \) med sig selv? Første gang får du \( i \). Anden gang \( i^2 = -1 \). Tredje gang \( i^3 = i^2 \cdot i = -i \). Fjerde gang \( i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 \). Så er du tilbage ved start, og mønsteret gentager sig for evigt. Potenserne af \( i \) kører rundt i en cyklus på fire.

Det gør store potenser nemme. Vil du finde \( i^{27} \), dividerer du 27 med 4 og ser på resten. \( 27 = 6 \cdot 4 + 3 \), så resten er 3, og \( i^{27} = i^3 = -i \). De seks hele cyklusser giver bare 1 hver og forsvinder.

Den store gevinst kommer, når du bruger \( i \) til andengradsligninger. Kender du løsningsformlen, ved du, at en negativ diskriminant betyder ingen reelle løsninger. Med komplekse tal betyder det i stedet to komplekse løsninger. Se på ligningen \( z^2 - 2z + 5 = 0 \).

Du får to løsninger, \( z = 1 + 2i \) og \( z = 1 - 2i \). Bemærk, at de er spejlbilleder af hinanden. Det er ikke tilfældigt, og vi vender tilbage til det, når vi når til det konjugerede tal.

Den komplekse talplan: realdel og imaginærdel i et koordinatsystem

De reelle tal bor på en tallinje, hvor ethvert tal har én plads. Et komplekst tal består af to reelle tal, og så er én linje ikke nok. Løsningen er at bruge to: en vandret til realdelen og en lodret til imaginærdelen. Sammen danner de den komplekse talplan.

Tallet \( 4 + 3i \) tegner du ved at gå 4 enheder ud ad den reelle akse og 3 op ad den imaginære. Tallet \( -2 + i \) ligger to enheder til venstre og én op. Et rent reelt tal som 5 ligger på den vandrette akse, og et rent imaginært tal som \( 3i \) ligger på den lodrette. Hvert komplekst tal svarer til netop ét punkt, og hvert punkt svarer til netop ét komplekst tal.

Hvis tallene ligner pile fra origo, er det med god grund. Komplekse tal opfører sig på mange måder som vektorer i planen. Det gør addition særligt enkel at tegne, som du får at se i næste afsnit.

Regneregler for komplekse tal: plus, minus, gange og division

Du har to komplekse tal, \( 3 + 2i \) og \( 1 - 4i \), og skal lægge dem sammen. Du behandler \( i \) som en almindelig ubekendt og samler ens led: realdel med realdel og imaginærdel med imaginærdel. \( (3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i \). Subtraktion fungerer på samme måde. Tegner du tallene som pile, svarer addition til at sætte den ene pil i forlængelse af den anden, præcis som med vektorer.

Multiplikation er lidt mere besværlig, fordi du skal gange hvert led med hvert led. Det går dog fint, hvis du husker én ting: hver gang der dukker et \( i^2 \) op, erstatter du det med \( -1 \).

1. 1

   Gang parenteserne ud

   Gang hvert led i den første parentes med hvert led i den anden, helt som i almindelig algebra.

2. 2

   Erstat i i anden med minus 1

   Led med \( i^2 \) bliver til et reelt tal, fordi \( i^2 = -1 \).

3. 3

   Saml real og imaginærdel

   Læg de reelle led sammen, og læg de led sammen, der indeholder \( i \). Så står resultatet på formen \( a + bi \).

Så til division, og her får du brug for et nyt begreb. Det konjugerede tal til \( z = a + bi \) er \( \bar{z} = a - bi \). Du skifter bare fortegn på imaginærdelen. Det konjugerede til \( 3 + 4i \) er \( 3 - 4i \). Tegner du begge tal, ligger de som spejlbilleder om den reelle akse. Det forklarer også, hvorfor løsningerne \( 1 + 2i \) og \( 1 - 2i \) til andengradsligningen tidligere var spejlbilleder: har en andengradsligning med reelle koefficienter en kompleks løsning, er den konjugerede også en løsning.

Tjek med \( 3 + 4i \): \( (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 \). Produktet er altid et reelt tal, og det er netop pointen. Når et komplekst tal står i en nævner, forlænger du brøken med nævnerens konjugerede, så \( i \) forsvinder fra nævneren.

Modulus og argument: længde og retning

Hvor langt fra origo ligger tallet \( 3 + 4i \)? Du går 3 til siden og 4 op, og det giver en retvinklet trekant med kateterne 3 og 4. Pythagoras giver hypotenusen \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). Den længde kalder man modulus, eller den numeriske værdi, og skriver \( |z| \).

Retningen kaldes argumentet og skrives \( \arg(z) \). Det er vinklen mellem den positive reelle akse og pilen til tallet, målt mod uret. Der er en lille hage: ifølge DTUs kursusmateriale om komplekse tal er argumentet kun bestemt op til et heltalsmultiplum af \( 2\pi \), fordi en fuld omgang bringer dig tilbage til samme sted. Man vælger derfor ofte hovedargumentet i intervallet \( ]-\pi, \pi] \). Sammenhængen mellem tallet og dets modulus og argument er den her:

Det lyder som en oplagt opgave at bruge \( \tan(\theta) = b/a \) til at finde vinklen. Men den formel snyder dig, hvis tallet ligger til venstre for den imaginære akse. Se på tallet \( -1 + \sqrt{3}\,i \).

Polær form: når du ganger og dividerer

Hvis du kender en pils længde og retning, kender du pilen. Det er hele ideen bag den polære form. Fordi \( a = r\cos\theta \) og \( b = r\sin\theta \), kan du skrive \( z = a + bi \) som \( r\cos\theta + i\,r\sin\theta \), og så sætter du \( r \) uden for parentes.

Tallet \( 1 + i \) har modulus \( \sqrt{2} \) og argument \( \pi/4 \), fordi realdel og imaginærdel er lige store. På polær form er det \( \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \). Den form er klodset til addition, men fremragende til multiplikation. Når du ganger to komplekse tal, ganger du deres moduli og lægger deres argumenter sammen. Geometrisk drejer og strækker du pilen på samme tid.

Division er spejlbilledet: du dividerer modulus og trækker argumenterne fra hinanden. Det er markant hurtigere end at forlænge med det konjugerede, når tallene allerede står på polær form. Men husk, at argumentet kan ende uden for hovedintervallet efter en multiplikation, og så lægger eller trækker du \( 2\pi \), indtil vinklen ligger, hvor den skal.

Eulers formel og den eksponentielle form

Der findes en tredje måde at skrive det samme tal på, og den er den korteste. Regnereglen om at gange moduli og lægge argumenter ligner nemlig noget, du kender fra eksponentialfunktioner: \( e^x \cdot e^y = e^{x+y} \). Det er ikke tilfældigt. Euler viste, at du kan sætte et imaginært tal ind som eksponent, og at resultatet er en enhedsvektor med vinklen \( \theta \).

Sæt \( \theta = \pi \) ind. Cosinus til \( \pi \) er \( -1 \), og sinus til \( \pi \) er 0, så \( e^{i\pi} = -1 \). Flytter du \( -1 \) over på den anden side, står der \( e^{i\pi} + 1 = 0 \), den berømte Eulers identitet, der binder tallene 0, 1, \( e \), \( i \) og \( \pi \) sammen i én ligning. Med Eulers formel kan ethvert komplekst tal skrives som \( z = re^{i\theta} \), og så ser multiplikationsreglen sådan ud:

Det er den samme regel som før, bare uden de lange cosinus og sinusparenteser. Tallet \( 1 + i \) bliver til \( \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} \), og det er hurtigt at tage i anden: \( \left(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\right)^2 = 2\,e^{i\pi/2} = 2i \). Prøv at tjekke det ved at gange \( (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 = 2i \). Samme svar.

Potenser og rødder med de Moivres formel

Prøv at beregne \( (1 + i)^8 \) ved at gange ud. Du skal gange otte gange, og regnearbejdet vokser for hvert skridt. På polær form tager det tre linjer.

Samme idé virker baglæns, når du skal finde rødder. Hvilke tal opfylder \( z^3 = 8 \)? Det ene gæt er 2, men der er to mere gemt i de komplekse tal. Fordi argumentet kun er bestemt op til \( 2\pi \), har tallet 8 mange argumenter: \( 0 \), \( 2\pi \), \( 4\pi \) og så videre. Dividerer du dem med 3, får du tre forskellige vinkler, før det gentager sig.

Løsningerne danner hjørnerne i en ligesidet trekant, og det er et generelt mønster: de \( n \) rødder til \( z^n = w \) ligger jævnt fordelt på en cirkel. Det hænger sammen med noget større. Som Aarhus Universitets noter viser, har enhver ligning af \( n \)-te grad præcis \( n \) komplekse løsninger, når du tæller multipliciteter med. Blandt de reelle tal kan en andengradsligning have to, én eller ingen. Blandt de komplekse er der altid to.

Hvad bruger man komplekse tal til?

Det er et rimeligt spørgsmål, hvis du har brugt en time på at regne med et tal, der ikke findes. Svaret er, at tallene er ekstremt nyttige, selv om du sjældent møder dem i hverdagen. I elektronik beskriver ingeniører kondensatorer og spoler med komplekse tal, fordi de forskyder strømmen i forhold til spændingen, og forskydningen er netop en vinkel, altså et argument. I kvantefysikken er selve teorien formuleret med komplekse tal, som Aarhus Universitets noter påpeger. Og i de differentialligninger, du møder på A niveau, dukker komplekse løsninger op, når systemet svinger. Du kan læse mere om differentialligninger og se, hvor de komplekse rødder gør en forskel. Eulers formel gør det også betydeligt lettere at integrere produkter af eksponential og trigonometriske funktioner, og her møder du igen integralregning.

Sådan vælger du skrivemåde i en opgave

Hvornår skal du bruge hvilken form? Det afgøres af det regnetegn, der står mellem tallene. Opgaven \( (4 + 3i) + (2 - 5i) \) løser du på rektangulær form på to sekunder: \( 6 - 2i \). Opgaven \( (1 + i)^{10} \) ville tage en halv side uden polær form, men med den er det hele en kort udregning. Modulus er \( \sqrt{2} \), argumentet er \( \pi/4 \), og så er \( (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32 \) og \( 10 \cdot \pi/4 = 5\pi/2 \). Fordi \( 5\pi/2 = 2\pi + \pi/2 \), er vinklen ækvivalent med \( \pi/2 \), og svaret er \( 32i \).

Lad den samme tommelfingerregel guide dig hver gang. Skal du lægge sammen eller trække fra, bliver du på formen \( a + bi \). Skal du gange, dividere, tage en potens eller finde en rød, skifter du til polær eller eksponentiel form og skifter tilbage til sidst, hvis opgaven beder om svaret som \( a + bi \). Starter du med at tegne tallet i den komplekse talplan, er du desuden næsten sikker på at undgå kvadrantfejlen, fordi du kan se, om vinklen skal være stump eller spids.

Til eksamen bliver du ofte bedt om at løse en ligning, tegne løsningerne i talplanen og skrive dem på både rektangulær og polær form. Det er tre små opgaver i én, og de bygger på hinanden. Har du styr på modulus, argument og de tre skrivemåder, er der ikke noget nyt tilbage at lære.

Typiske fejl med komplekse tal

De fleste fejl opstår ikke, fordi emnet er svært, men fordi gamle vaner fra de reelle tal sniger sig ind. Her er de fem, der oftest koster point.