Tag en bakteriekoloni. Klokken 10 er der 1.000 bakterier, klokken 11 er der 2.000, klokken 12 er der 4.000. Du kan beskrive det med en eksponentiel funktion, hvis du kender mønsteret i forvejen. Men hvad nu, hvis problemet er formuleret anderledes: antallet af bakterier vokser med en hastighed proportional med det antal, der allerede er til stede? Det er ikke en funktion, du er bedt om at finde. Det er et mønster for forandringen selv, og det er præcis, hvad en differentialligning udtrykker. Den ubekendte er ikke et tal, men en hel funktion.

Differentialligninger optræder overalt, hvor noget forandrer sig med en hastighed, der afhænger af situationens nuværende tilstand: medicin der nedbrydes i blodet, temperaturen på en kop kaffe der afkøles, eller en dyreart der lever med begrænsede ressourcer. På Matematik A møder du tre standardtyper med kendte løsningsformler, plus metoden separation af variable til mere generelle ligninger. Denne guide gennemgår dem alle med trin-for-trin løsninger og grafer.

Hvad er en differentialligning?

Nøglebegreb

Differentialligning

En differentialligning er en ligning, der indeholder en ukendt funktion og dens afledte. Den angiver en sammenhæng mellem en funktions aktuelle værdi y og dens forandringshastighed y'. Den ubekendte er ikke et tal, men en funktion.

Eksempel: Ligningen y' = ky siger: afledte af y er proportional med y selv. Løsningen er en eksponentialfunktion y = c·e^(kx), ikke et enkelt tal.

I en normal ligning er den ubekendte et tal. Du løser 2x + 3 = 7 og finder x = 2. I en differentialligning er den ubekendte en funktion. Ligningen y' = y siger: find en funktion, hvis afledte er lig med sig selv. Det er ikke ét svar, men en hel familie: \( y = c \cdot e^x \) for enhver konstant c. Differentialligningen specificerer en regel for, hvordan funktionen forandrer sig, og løsningen er den funktion, der følger reglen.

Notationen varierer. y' og \( \frac{dy}{dx} \) bruges begge for den afledte af y med hensyn til x. I vækstmodeller skriver man tit y'(t) eller \( \frac{dN}{dt} \), når den uafhængige variabel er tid. Uanset notation er strukturen den samme: ligningen beskriver en regel for forandringen, og løsningen er den funktion, der overholder reglen.

Fuldstændig og partikulær løsning

Prøv differentialligningen y' = y. Gæt: hvad slags funktion er lig med sin egen afledte? \( y = e^x \) virker, for \( (e^x)' = e^x \). Men \( y = 3e^x \) virker også, og \( y = -2e^x \) ligeså. Der er uendelig mange løsninger, alle af formen \( y = c \cdot e^x \), hvor c er en vilkårlig konstant. Den samlede familie kaldes den fuldstændige løsning.

Den fuldstændige løsning indeholder konstanten c. Vil du finde én bestemt kurve, den partikulære løsning, skal du kende et punkt på grafen, en begyndelsesbetingelse. Er y(0) = 5, indsætter du: \( 5 = c \cdot e^0 = c \), altså c = 5. Den partikulære løsning er \( y = 5e^x \). Som Mike Vandal Auerbach forklarer i sine gymnasienotes om differentialligninger, har en differentialligning aldrig præcis én løsning: den har i virkeligheden uendelig mange. Det er konstanten c, der adskiller dem fra hinanden.

Eksempelopgave

Vis at y = 4e^(3x) er en løsning til differentialligningen y' = 3y, og find den partikulære løsning, hvis graf går igennem punktet (0, 8).

Vis løsning
  1. 1

    Differentier y

    Vi differentierer y = 4e^(3x) og får y' = 12e^(3x).

    \[y' = 12e^{3x}\]
  2. 2

    Gør prøve: tjek om y' = 3y

    3y = 3 · 4e^(3x) = 12e^(3x). Da y' = 12e^(3x) = 3y, er funktionen en løsning.

    \[3y = 12e^{3x} = y'\]
  3. 3

    Den fuldstændige løsning er y = c·e^(3x)

    Alle løsninger til y' = 3y er af formen y = c·e^(3x) for vilkårlig c.

    \[y = c \cdot e^{3x}\]
  4. 4

    Find den partikulære løsning

    Vi indsætter punktet (0, 8): 8 = c·e^0 = c. Den partikulære løsning er y = 8e^(3x).

    \[c = 8, \quad y = 8e^{3x}\]

Familien af løsningskurver til y' = y

Linjeelementer og retningsfelter

Kender du differentialligningen, men endnu ikke løsningen? Du kan stadig kortlægge terrænet. Tag et vilkårligt punkt \( (x_0, y_0) \) i koordinatsystemet og indsæt koordinaterne i differentialligningens udtryk for y'. Du får hældningen på den løsningskurve, der passerer igennem det punkt. Et lille linjestykke med den hældning tegnet i punktet er et linjeelement. Gentager du processen for hundredvis af punkter, opstår et retningsfelt, der viser løsningskurvernes forløb, inden du overhovedet har løst ligningen. Som UVM's vejledning til læreplan i matematik A, stx fastslår, hører kendskab til linjeelementer til kernestoffet: du skal både kunne bestemme og tegne dem.

  1. 1

    Vælg et punkt

    Vælg koordinaterne (x₀, y₀), f.eks. (1, 2), som linjeelementet skal tegnes i.

  2. 2

    Beregn hældningen

    Indsæt x₀ og y₀ i differentialligningens udtryk for y'. For y' = 2y - x ved (1, 2): y' = 2·2 - 1 = 3.

  3. 3

    Angiv linjeelementet

    Linjeelementet angives som (x₀, y₀ ; y'₀) = (1, 2 ; 3). Det er et linjestykke igennem (1, 2) med hældning 3.

  4. 4

    Gentag for mange punkter

    Tegner du linjestykket i koordinatsystemet og gentager processen for mange punkter, opstår det fulde retningsfelt, som viser alle løsningskurvernes retning.

Retningsfeltet er nyttigt, fordi det giver dig en grafisk fornemmelse for løsningerne uden at løse ligningen algebraisk. Løsningskurverne er de kurver, der til enhver tid er tangente til linjestykket i hvert punkt. Kender du begyndelsesbetingelsen, ved du, hvilket punkt kurven starter i, og retningsfeltet viser, hvordan den forløber derfra.

Eksponentiel vækst: y' = ky

Tilbage til bakterierne. Antallet N(t) vokser med en hastighed proportional med N selv: jo flere der er, jo hurtigere formerer de sig. Matematisk skrives det N' = k·N. Samme logik gælder radioaktivt henfald, men med negativt k: jo mere stof der er tilbage, jo hurtigere henfalder det. Det er grundtanken bag eksponentiel funktion. Differentialligningen y' = ky har en løsning, du kan aflæse direkte fra formelsamlingen.

Formel

Eksponentiel vækst: y' = ky

\[y = c \cdot e^{kx}\]

Variable

SymbolNavn
\(k\)Proportionalitetskonstant: k > 0 giver vækst, k < 0 giver henfald
\(c\)Vilkårlig konstant, bestemt af begyndelsesbetingelsen
\(x\)Uafhængig variabel (tid, position osv.)
Hvornår: Bruges når forandringshastigheden y' er proportional med funktionens aktuelle værdi y. Eksempler: bakterievækst (k > 0), radioaktivt henfald (k < 0), rentetilskrivning.
\[y = c \cdot e^{kx}\]

Eksempelopgave

En bakteriekultur starter med 500 bakterier til t = 0. Antallet vokser med en hastighed proportional med antal tilstedeværende: y' = 0,04y. Bestem en forskrift for y(t) og find antallet efter 30 minutter.

Vis løsning
  1. 1

    Identificer typen og konstanten

    Differentialligningen y' = 0,04y er af typen y' = ky med k = 0,04. Da k > 0, er der tale om vækst.

    \[k = 0{,}04\]
  2. 2

    Skriv den fuldstændige løsning

    Den fuldstændige løsning er y = c·e^(0,04t).

    \[y = c \cdot e^{0{,}04t}\]
  3. 3

    Find c med begyndelsesbetingelsen

    y(0) = 500 giver: 500 = c·e^0 = c. Altså c = 500.

    \[c = 500\]
  4. 4

    Indsæt t = 30

    y(30) = 500·e^(0,04·30) = 500·e^(1,2) ≈ 500·3,32 ≈ 1.660 bakterier.

    \[y(30) = 500 \cdot e^{1{,}2} \approx 1660\]

Eksponentiel vækst og henfald: y = c·e^(kx)

Forskudt eksponentiel vækst: y' = b - ay

Eksponentiel vækst antager, at der ingen grænser er. Men en kop kaffe i et koldt rum afkøles ikke uendeligt. Den nærmer sig stuetemperaturen og stopper. Jo tættere temperaturen T er på stuetemperaturen, jo langsommere sker afkølingen, fordi der er mindre temperaturforskel at trække på. Her er forandringshastigheden proportional med forskellen fra ligevægten, ikke med T selv. Differentialligningen for den adfærd er y' = b - ay.

Formel

Forskudt eksponentiel vækst: y' = b - ay

\[y = \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}\]

Variable

SymbolNavn
\(b/a\)Ligevægtsværdi (steady state): den værdi y nærmer sig asymptotisk
\(a\)Proportionalitetskonstant (a > 0)
\(c\)Vilkårlig konstant, bestemt af begyndelsesbetingelsen
Hvornår: Bruges når væksten har en naturlig ligevægtsværdi. Eksempler: Newtons afkølingslov, medicinnedbrydning med løbende tilskud, spredningsmodeller med mætning.
\[y = \frac{b}{a} + c \cdot e^{-ax}\]

Eksempelopgave

En kop kaffe har temperaturen 90°C, da den sættes i et rum med stuetemperatur 20°C. Temperaturen falder iflg. Newtons afkølingslov: T'(t) = -0,1·(T - 20). Bestem en forskrift for T(t).

Vis løsning
  1. 1

    Omskriv til standardform y' = b - ay

    T' = -0,1·(T - 20) = -0,1T + 2. Det er formen y' = b - ay med a = 0,1 og b = 2.

    \[a = 0{,}1, \quad b = 2\]
  2. 2

    Beregn ligevægtsværdien b/a

    b/a = 2/0,1 = 20. Ligevægtstemperaturen er 20°C, som forventet.

    \[\frac{b}{a} = \frac{2}{0{,}1} = 20\]
  3. 3

    Skriv den fuldstændige løsning

    T(t) = 20 + c·e^(-0,1t).

    \[T(t) = 20 + c \cdot e^{-0{,}1t}\]
  4. 4

    Find c med begyndelsesbetingelsen T(0) = 90

    90 = 20 + c·e^0 = 20 + c, altså c = 70. Partikulær løsning: T(t) = 20 + 70·e^(-0,1t). Når t vokser mod uendelig, nærmer T sig 20°C.

    \[T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}\]

Bemærk mønsteret: ligevægtsværdien b/a er det tal, y nærmer sig asymptotisk. Konstanten c bestemmer afstanden fra ligevægten ved t = 0. Denne type differentialligning er særligt hyppig i eksamenssæt med opgaver om temperatur, medicinkoncentration og prisudvikling mod en markedsligevægt.

Logistisk vækst: y' = k·y·(M - y)

Hvad sker der, når væksten har en naturlig øvre grænse? Sæt 10 kaniner ud på en ø. Til at begynde med formerer de sig nærmest eksponentielt, fordi der er rigelig med føde og plads. Men øen kan kun brødføde et begrænset antal dyr. Efterhånden som befolkningstallet nærmer sig bærekapaciteten M, falder vækstraten. Differentialligningen for den adfærd er \( y' = k \cdot y \cdot (M - y) \). Når y er lille, dominerer faktoren k·y, og væksten ligner eksponentiel. Når y nærmer sig M, sender faktoren (M - y) væksten mod nul.

Formel

Logistisk vækst: y' = k·y·(M - y)

\[y = \frac{M}{1 + c \cdot e^{-kMx}}\]

Variable

SymbolNavn
\(M\)Bærekapacitet (maksimalværdi for y)
\(k\)Vækstrate-konstant (k > 0)
\(c\)Positiv konstant, bestemt af begyndelsesbetingelsen
Hvornår: Bruges til modeller med begrænset vækst: populationer, spredning af sygdomme, adoption af teknologi. M er den øvre grænse (bærekapaciteten), og løsningen danner en S-formet kurve.
\[y = \frac{M}{1 + c \cdot e^{-kMx}}\]

Eksempelopgave

En ø har bærekapacitet M = 200 kaniner. Til t = 0 er der 20 kaniner. Modellen er y' = 0,01·y·(200 - y). Bestem en forskrift for y(t).

Vis løsning
  1. 1

    Identificer k og M

    Differentialligningen er på formen y' = k·y·(M - y) med k = 0,01 og M = 200.

    \[k = 0{,}01, \quad M = 200\]
  2. 2

    Skriv den fuldstændige løsning

    y = M/(1 + c·e^(-kMt)) = 200/(1 + c·e^(-0,01·200·t)) = 200/(1 + c·e^(-2t)).

    \[y = \frac{200}{1 + c \cdot e^{-2t}}\]
  3. 3

    Find c med begyndelsesbetingelsen y(0) = 20

    20 = 200/(1 + c). Det giver 1 + c = 10, altså c = 9.

    \[c = 9\]
  4. 4

    Den partikulære løsning

    y(t) = 200/(1 + 9·e^(-2t)). Kurven starter ved 20, stiger hurtigt, og nærmer sig asymptotisk 200.

    \[y(t) = \frac{200}{1 + 9e^{-2t}}\]

Logistisk vækst: S-kurven nærmer sig M = 200

Separation af variable

Hvad gør du, hvis differentialligningen ikke passer til nogen af de tre standardtyper? Ofte kan den løses med separation af variable. Ideen: flyt alt hvad der indeholder y til venstre side og alt hvad der indeholder x til højre, og integrer begge sider. Som Erik Vestergaard forklarer i sine noter om separation af variable, er det formelt set en slags snyd at behandle dy/dx som en brøk, men metoden giver det korrekte resultat. Den forudsætter, at du behersker integralregning, da du skal beregne to integraler.

  1. 1

    Skriv på formen f(y)·y' = g(x)

    Omskriv differentialligningen, så alle led med y (og y') er på venstre side og alle led med x på højre side. F.eks. y' = x·y² bliver y^(-2)·y' = x.

  2. 2

    Integrer begge sider

    Integrer venstre side med hensyn til y og højre side med hensyn til x: ∫f(y) dy = ∫g(x) dx. Husk integrationskonstanten c på den ene side.

  3. 3

    Isoler y

    Løs det resulterende udtryk for y. Det kan kræve algebraisk manipulation, logaritmer eller eksponentialfunktioner.

  4. 4

    Brug begyndelsesbetingelsen

    Indsæt punktet (x₀, y₀) i den fuldstændige løsning og find den specifikke konstant c.

Eksempelopgave

Løs differentialligningen y' = x·y med begyndelsesbetingelsen y(0) = 3.

Vis løsning
  1. 1

    Separer variablerne

    Divider begge sider med y (forudsat y ≠ 0): y'/y = x, dvs. (1/y)·y' = x.

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = x\]
  2. 2

    Integrer begge sider

    ∫(1/y) dy = ∫x dx giver: ln|y| = x²/2 + K (K er integrationskonstanten).

    \[\ln|y| = \frac{x^2}{2} + K\]
  3. 3

    Isoler y

    Tag e-potens på begge sider: |y| = e^(x²/2 + K) = e^K·e^(x²/2). Da e^K er en positiv konstant, skriver vi c = ±e^K: y = c·e^(x²/2).

    \[y = c \cdot e^{x^2/2}\]
  4. 4

    Find c med begyndelsesbetingelsen

    y(0) = 3: 3 = c·e^0 = c. Den partikulære løsning er y = 3·e^(x²/2).

    \[y(x) = 3e^{x^2/2}\]

Opstil en differentialligning fra en tekst

Et medicindepot på 250 mg nedbrydes med en hastighed proportional med den mængde, der er til stede. Halveringstiden er 6 timer. Inden du løser noget som helst, skal du oversætte den sætning til en differentialligning. Processen er den samme uanset emnet: find den ubekendte funktion, find et udtryk for dens forandringshastighed, og sæt dem sammen til en ligning.

  1. 1

    Navngiv din funktion

    Beslut, hvad den ukendte funktion y(t) repræsenterer. Skriv det ned eksplicit: f.eks. y(t) = mængde medicin (mg) til tidspunktet t (timer).

  2. 2

    Find forandringshastigheden

    Hvad er y'? Teksten siger 'nedbrydes med en hastighed proportional med den mængde, der er til stede'. Det giver y' = ky, og da mængden aftager, er k < 0.

  3. 3

    Opskriv differentialligningen og find løsningen

    y' = ky, k < 0. Den fuldstændige løsning er y = c·e^(kt). Begyndelsesbetingelsen y(0) = 250 giver c = 250.

  4. 4

    Brug tilgængelig information til at bestemme k

    Halveringstiden er 6 timer: y(6) = 125. Indsæt: 125 = 250·e^(6k), dvs. e^(6k) = 0,5, altså k = ln(0,5)/6.

Eksempelopgave

Et medicindepot på 250 mg nedbrydes proportionalt med tilstedeværende mængde, og halveringstiden er 6 timer. Bestem y(t) og find mængden efter 12 timer.

Vis løsning
  1. 1

    Differentialligningen og fuldstændig løsning

    y' = ky med y(0) = 250 giver y = 250·e^(kt).

    \[y(t) = 250e^{kt}\]
  2. 2

    Find k via halveringstiden

    y(6) = 125: 125 = 250·e^(6k) giver e^(6k) = 1/2, dvs. 6k = ln(1/2), altså k = ln(0,5)/6 ≈ -0,1155.

    \[k = \frac{\ln 0{,}5}{6} \approx -0{,}1155\]
  3. 3

    Den partikulære løsning

    y(t) = 250·e^(ln(0,5)/6·t) = 250·(1/2)^(t/6). Formlen angiver mængden til ethvert tidspunkt.

    \[y(t) = 250 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}\]
  4. 4

    Find mængden efter 12 timer

    y(12) = 250·(1/2)^(12/6) = 250·(1/2)² = 250·0,25 = 62,5 mg.

    \[y(12) = 250 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 62{,}5 \text{ mg}\]

Typiske fejl

❌ Typisk fejl✓ Korrekt
At glemme integrationskonstanten c i den fuldstændige løsningDen fuldstændige løsning indeholder altid en vilkårlig konstant c. Uden c kan du ikke tilpasse løsningen til en begyndelsesbetingelse.
At indsætte begyndelsesbetingelsen i y' i stedet for i yBegyndelsesbetingelsen (f.eks. y(0) = 5) indsættes i den fuldstændige løsning y, ikke i differentialligningen y'.
At forveksle ligevægtsværdien b/a med konstanten c i y' = b - ayLigevægtsværdien (steady state) er b/a. Konstanten c er et andet størrelse: den bestemmes af begyndelsesbetingelsen og påvirker startpunktet.
At stoppe ved den fuldstændige løsning uden at bruge begyndelsesbetingelsenOpgaver spørger typisk om en partikulær løsning. Sørg altid for at indsætte begyndelsesbetingelsen og finde den konkrete c-værdi.

Quiz

Test dig selv: differentialligninger

0/5 besvaret

1. Hvad er den fuldstændige løsning til differentialligningen y' = 3y?

2. En differentialligning y' = b - ay har ligevægtsværdien (steady state) y = ?

3. Hvilken differentialligning beskriver logistisk vækst?

4. En bakteriekultur starter med y(0) = 100 og følger y' = 0,05y. Hvad er y(20)?

5. Hvad er formålet med et linjeelement?

Ofte stillede spørgsmål om differentialligninger

Hvad er en differentialligning?
En differentialligning er en ligning, der indeholder en ukendt funktion og dens afledte. Den beskriver, hvordan en størrelse forandrer sig, frem for at angive en fast værdi. F.eks. siger y' = ky, at funktionens afledte er proportional med funktionen selv, og løsningen er en eksponentiel funktion.
Hvad er forskellen på en fuldstændig og en partikulær løsning?
Den fuldstændige løsning indeholder en vilkårlig konstant c og beskriver hele familien af mulige løsningskurver. Den partikulære løsning er den specifikke kurve, der opfylder en given begyndelsesbetingelse, f.eks. y(0) = 5. Du finder den partikulære løsning ved at indsætte begyndelsesbetingelsen i den fuldstændige løsning og beregne c.
Hvad er et linjeelement og et retningsfelt?
Et linjeelement er et lille linjestykke i koordinatsystemet, der angiver hældningen på løsningskurven i et bestemt punkt. Du beregner hældningen ved at indsætte punktets koordinater i differentialligningens udtryk for y'. Et retningsfelt består af mange sådanne linjeelementer og giver et visuelt billede af, hvordan alle løsningskurver forløber.
Hvornår bruges separation af variable?
Separation af variable bruges, når differentialligningen kan omskrives til formen f(y)·y' = g(x), dvs. et produkt af en funktion i y og en funktion i x. Metoden går ud på at integrere begge sider: venstre side med hensyn til y og højre side med hensyn til x.
Hvad er forskellen på eksponentiel og logistisk vækst?
Eksponentiel vækst (y' = ky) har ingen øvre grænse og vokser ubegrænset, når k > 0. Logistisk vækst (y' = k·y·(M - y)) har en bærekapacitet M. Væksten er hurtigst tidligt og aftager asymptotisk mod M. Logistisk vækst er realistisk for populationer med begrænsede ressourcer.
Hvad er Newtons afkølingslov?
Newtons afkølingslov siger, at en genstands temperatur aftager med en hastighed proportional med forskellen fra omgivelsernes temperatur. Matematisk er det T' = -a(T - T_omg), som er en forskudt eksponentiel differentialligning. Løsningen nærmer sig asymptotisk omgivelsernes temperatur.

Kæmper du med differentialligninger til eksamen?

Vores tutorer i matematik har hjulpet mere end 70.000 elever med at forstå differentialligninger, fra linjeelementer til separation af variable. Gratis prøvetime, ingen binding.

Få en gratis prøvetime