Speedometeret i en bil viser ikke din gennemsnitshastighed for de seneste ti minutter. Det viser din hastighed præcis nu, i dette øjeblik. Matematikken bag den slags øjeblikkelige målinger er differentialregning, og selve kernen i den er differentialkvotienten, som angiver, med hvilken hældning grafen for en funktion skærer ind i et bestemt punkt.
Bag det lidt tekniske navn gemmer der sig en idé, som er overraskende tæt på noget, du allerede ved. Hældningen af en ret linje kender du fra lineære funktioner. Differentialkvotienten generaliserer den idé til krumme grafer: den finder den hældning, som en bestemt tangent har i netop ét punkt. Du kan få hjælp til både differentialregning og integralregning hos Toptutors, men først: her er alt, hvad du skal vide om differentialkvotienten.
Hvad er differentialkvotienten?
Tag parablen \( f(x) = x^2 \). I punktet \( (1, 1) \) stiger den blidt. I punktet \( (3, 9) \) stiger den stejlt. Et sted imellem er hældningen præcis 2. Differentialkvotienten er den størrelse, der måler hældningen præcis i hvert enkelt punkt på grafen.
Nøglebegreb
Differentialkvotienten
Differentialkvotienten for en funktion f i punktet x₀ er hældningen på tangenten til grafen for f i dette punkt. Den betegnes f'(x₀) og udtales 'f mærke af x₀'. Differentialkvotienten er et tal, der fortæller, hvor stejlt funktionen stiger eller falder i x₀.
Eksempel: Hvis f(x) = x² og x₀ = 2, er f'(2) = 4. Det betyder, at tangenten til parablen i punktet (2, 4) har hældning 4.
To udtryk er vigtige at holde adskilt. Differentialkvotienten f'(x₀) er et tal: hældningen i ét bestemt punkt. Den afledede funktion f'(x) er et udtryk, der giver hældningen i alle punkter på én gang. Begge betegnes med apostrof og udtales 'f mærke'. Som det fremgår af UVMs vejledning til læreplan i matematik B, er netop fortolkningen af differentialkvotienten som tangentens hældningskoefficient et centralt mål i gymnasiets matematikundervisning.
Graf for f(x) = x² med tangent i x = 2
Fra sekant til tangent
En sekant skærer grafen i to punkter. En tangent rører den i ét. Tricket i differentialregning er at starte med sekanten og lade de to punkter nærme sig hinanden, indtil sekanten ikke kan skelnes fra tangenten.
Vælg et fast punkt \( x_0 \) på grafen og et hjælpepunkt \( x_0 + h \), hvor \( h \) er et lille tal. Sekantens hældning mellem de to punkter beregnes som ændringen i y divideret med ændringen i x. Det udtryk kalder vi differenskvotienten.
Formel
Differenskvotienten (sekantens hældning)
Variable
| Symbol | Navn |
|---|---|
| \(a_s\) | Sekantens hældning |
| \(h\) | Afstand til hjælpepunktet |
| \(x_0\) | Det faste punkt på grafen |
Jo mindre \( h \) er, desto tættere sidder hjælpepunktet på \( x_0 \), og desto mere ligner sekanten tangenten. Lader vi \( h \) gå mod nul, nærmer sekantens hældning sig tangentens hældning. Det tal, som differenskvotienten nærmer sig, er differentialkvotienten.
Formel
Differentialkvotienten (tangentens hældning)
Variable
| Symbol | Navn |
|---|---|
| \(f'(x_0)\) | Differentialkvotienten i x₀ |
| \(h\) | Tilvækst, der går mod nul |
| \(x_0\) | Det punkt, vi differentierer i |
Tretrinsreglen: sådan beregner du differentialkvotienten
Formlen med grænseværdier ser måske lidt undrængende ud. Hvordan regner man egentlig med den i praksis? Svaret er tretrinsreglen, som omsætter definitionen til en konkret beregningsopskrift i tre adskilte trin.
- 1
Trin 1: Find funktionstilvæksten
Beregn \u0394y = f(x₀ + h) − f(x₀). Sæt x₀ + h ind i funktionen i stedet for x og træk f(x₀) fra. Reducer så meget som muligt algebraisk.
- 2
Trin 2: Find differenskvotienten
Beregn aₛ = \u0394y / h. Divider funktionstilvæksten med h. Sæt h uden for parentes i tælleren, så h i tæller og nævner går ud med hinanden.
- 3
Trin 3: Find differentialkvotienten
Bestem f'(x₀) som grænseværdien af differenskvotienten for h gående mod 0. Leddet med h forsvinder, og du sidder tilbage med den eksakte tangenthældning.
Eksempelopgave
Brug tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten for f(x) = x².
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Trin 1: Funktionstilvæksten
Vi sætter x₀ + h ind i stedet for x og trækker f(x₀) fra. Vi bruger kvadratsætningen (a+b)² = a² + 2ab + b².
\[\Delta y = f(x_0+h) - f(x_0) = (x_0+h)^2 - x_0^2 = x_0^2 + 2x_0h + h^2 - x_0^2 = 2x_0h + h^2\] - 2
Trin 2: Differenskvotienten
Vi dividerer med h og forkorter brøken ved at sætte h uden for parentes i tælleren.
\[a_s = \frac{\Delta y}{h} = \frac{2x_0h + h^2}{h} = \frac{h(2x_0 + h)}{h} = 2x_0 + h\] - 3
Trin 3: Grænseværdien
Vi lader h gå mod 0. Leddet h forsvinder, og differentialkvotienten er:
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0}(2x_0 + h) = 2x_0\]
Den afledede funktion er således \( f'(x) = 2x \). Vil du finde differentialkvotienten i et bestemt punkt, sætter du bare x-værdien ind: \( f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \). Tangenten til parablen \( f(x) = x^2 \) har hældning 6 i punktet \( (3, 9) \).
Den afledede funktion
Tretrinsreglen giver differentialkvotienten i ét bestemt punkt. Men når vi lader x₀ forblive en generel variabel i stedet for et konkret tal, ender vi med et udtryk, der gælder for alle x. Det udtryk er den afledede funktion, skrevet f'(x).
For \( f(x) = x^2 \) er den afledede funktion \( f'(x) = 2x \). Det vil sige: ved \( x = 1 \) er hældningen \( 2 \), ved \( x = 3 \) er den \( 6 \), og ved \( x = 0 \) er den \( 0 \). I toppunktet af parablen er tangenten vandret, og hældningen er nul.
f(x) = x² (grøn) og dens afledede f'(x) = 2x (rød)
Grafen for den afledede funktion fortæller direkte, hvor funktionen stiger og falder. Når f'(x) er positiv (den røde linje er over x-aksen), stiger f(x). Når f'(x) er negativ, falder f(x). Når f'(x) = 0, befinder vi os ved et potentielt ekstrema.
Regneregler for differentialkvotienter
Tretrinsreglen virker altid, men den kan være langtrukken for komplicerede funktioner. Matematikerne har derfor bevist en række regneregler, som giver dig de afledede funktioner direkte. Med dem kan du differentiere et polynomium på under et minut.
| Regel | Formel | Eksempel |
|---|---|---|
| Potensreglen | (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ | (x⁴)' = 4x³ |
| Konstantreglen | k' = 0 | 7' = 0 |
| Sumreglen | (f + g)' = f' + g' | (x² + 3x)' = 2x + 3 |
| Produktreglen | (f · g)' = f' · g + f · g' | (x · eˣ)' = eˣ + xeˣ |
| Kædereglen | (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) | ((3x+1)⁵)' = 5(3x+1)⁴ · 3 |
Formel
Potensreglen
Variable
| Symbol | Navn |
|---|---|
| \(n\) | Eksponenten (ethvert reelt tal) |
| \(x\) | Variablen |
Potensreglen gælder for alle reelle eksponenter, ikke kun heltal. Roden \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) differentieres til \( \frac{1}{2} x^{-1/2} \). Og \( \frac{1}{x} = x^{-1} \) differentieres til \( -x^{-2} \). For en komplet oversigt over alle regnereglerne og deres beviser, se Regneregler for differentiation på Wikipedia.
Eksempelopgave
Find f'(x) for f(x) = 3x³ − 2x² + 5x − 7 ved hjælp af regnereglerne.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Differentier hvert led med potensreglen
Vi bruger potensreglen led for led (sumreglen tillader dette).
\[(3x^3)' = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2\] - 2
Differentier de øvrige led
Hvert led behandles separat.
\[(-2x^2)' = -4x \qquad (5x)' = 5 \qquad (-7)' = 0\] - 3
Saml resultatet via sumreglen
Sumreglen lader os lægge differentialkvotienterne for hvert led sammen.
\[f'(x) = 9x^2 - 4x + 5\]
Husk kædereglen ved sammensatte funktioner
Har du en funktion inde i en anden funktion, fx f(x) = (2x + 1)⁴, bruger du kædereglen: differentier den ydre funktion og gang med den afledede af den indre. Her giver det f'(x) = 4(2x+1)³ · 2 = 8(2x+1)³. Glemmer du faktoren 2, er resultatet forkert.
Tangentens ligning
Du har fundet, at \( f'(3) = 6 \) for \( f(x) = x^2 \). Det betyder, at tangenten i \( (3, 9) \) har hældning 6. Nu vil du skrive ligningen op. Du kender et punkt og hældningen: det er præcis nok til at opstille ligningen for en ret linje.
Formel
Tangentens ligning
Variable
| Symbol | Navn |
|---|---|
| \(x_0\) | x-koordinaten for røringspunktet |
| \(f(x_0)\) | y-koordinaten for røringspunktet |
| \(f'(x_0)\) | Differentialkvotienten, dvs. tangentens hældning |
Eksempelopgave
Find tangentens ligning for f(x) = x² i punktet x₀ = 3.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Beregn f(x₀)
Sæt x₀ = 3 ind i funktionen.
\[f(3) = 3^2 = 9\] - 2
Beregn f'(x₀)
Brug den afledede funktion f'(x) = 2x og sæt x₀ = 3 ind.
\[f'(3) = 2 \cdot 3 = 6\] - 3
Sæt ind i formlen for tangentens ligning
Brug formlen t(x) = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀) og reducer.
\[t(x) = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9\]
Tangenten til \( f(x) = x^2 \) i punktet \( (3, 9) \) er linjen \( t(x) = 6x - 9 \). Grafen nedenfor viser, at linjen præcis rører parablen i dette ene punkt og ikke skærer den.
Tangent til f(x) = x² i punktet (3, 9)
Differentialkvotienten som væksthastighed
Differentialkvotienten bruges ikke kun til grafer i matematikbogen. Det var netop behovet for at beskrive bevægelse og ændring, der drev Newton og Leibniz til at opfinde differentialregningen i 1600-tallets slutning.
Forestil dig en bold, der kastes op. Dens højde over jorden beskrives ved en funktion \( h(t) \), hvor \( t \) er tid i sekunder. Den gennemsnitlige hastighed over et tidsinterval er differenskvotienten. Lader vi intervallets længde gå mod nul, får vi den øjeblikkelige hastighed: \( h'(t_0) \). Det er differentialkvotienten, præcis som speedometeret viser den.
Generelt: hvis en størrelse Q beskrives ved en funktion Q(t) af tiden, er Q'(t) størrelsens øjeblikkelige væksthastighed. Positiv differentialkvotient betyder, at Q vokser. Negativ differentialkvotient betyder, at Q falder. Det gælder for alt fra befolkningsvækst til temperaturer og reaktionshastigheder i kemi.
Monotoniforhold og ekstrema
Forestil dig et papirfly, der flyver langs en parabolsk bane. Præcis i toppunktet er flyet hverken på vej op eller ned. Mathematisk svarer det til, at tangenten er vandret, hældning nul, differentialkvotienten nul. Det er udgangspunktet for monotonianalysen.
Monotoniforholdene for en funktion bestemmes ved at undersøge fortegnet for f'(x). Når f'(x) > 0 er funktionen voksende. Når f'(x) < 0 er den aftagende. Ekstrema, det vil sige toppunkter og bundpunkter, forefindes ved nulpunkterne for f'(x), men ikke alle nulpunkter er ekstrema.
f'(x₀) = 0 er nødvendigt, men ikke tilstrækkeligt
At f'(x₀) = 0 garanterer ikke et ekstrema. Funktionen f(x) = x³ har f'(0) = 0, men x = 0 er et vendepunkt, ikke et toppunkt. Undersøg altid, om f'(x) skifter fortegn i x₀.
Eksempelopgave
Find de lokale ekstrema for f(x) = x³ − 3x + 2.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Find den afledede funktion
Brug potensreglen og sumreglen på hvert led.
\[f'(x) = 3x^2 - 3\] - 2
Sæt f'(x) = 0 og løs
Vi finder de x-værdier, hvor tangenten er vandret.
\[3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1\] - 3
Undersøg fortegnet for f'(x)
Vi skriver f'(x) = 3(x-1)(x+1). For x < -1: f'(x) > 0 (stigende). For -1 < x < 1: f'(x) < 0 (faldende). For x > 1: f'(x) > 0 (stigende). Dermed er x = -1 et lokalt maksimum og x = 1 et lokalt minimum.
- 4
Beregn funktionsværdierne
Sæt x-værdierne ind i den originale funktion.
\[f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4 \qquad f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\]
Funktionens lokale maksimum er 4 i x = -1, og det lokale minimum er 0 i x = 1. Vil du arbejde videre med monotonianalyse og optimering, finder du en komplet gennemgang i vores artikel om differentialregning.
Typiske fejl
Differentialkvotienten er et begreb, der er let at forstå overordnet, men let at lave fejl i detaljen. Her er tre fejl, der dukker op igen og igen i matematikopgaver.
Typiske fejl ved differentialkvotienten
Quiz
Test dig selv: Differentialkvotienten
Svar på spørgsmålene nedenfor og tjek, om du har foretå begreberne.
1. Hvad er differentialkvotienten f'(x₀)?
2. Hvad er den afledede funktion for f(x) = x⁵?
3. Hvad er tangentens ligning for f(x) = x² i punktet x₀ = 1?
4. En funktion f har f'(x₀) = 0, og f'(x) skifter fra positiv til negativ i x₀. Hvad er x₀?
Ofte stillede spørgsmål om differentialkvotienten
Hvad er forskellen på differentialkvotienten og differenskvotienten?
Hvad er den afledede funktion?
Hvornår bruger man tretrinsreglen frem for regnereglerne?
Hvad betyder det, at en funktion er differentiabel?
Kan differentialkvotienten bruges i andre fag end matematik?
Hvad er sammenhængen mellem differentialkvotienten og integralregning?
Svært at forstå differentialkvotienten?
Vores matematiktutorer forklarer det hele i dit eget tempo. Mere end 1.000 certificerede tutorer er klar til at hjælpe dig fra 229 kr. i timen, med gratis prøvetime og ingen binding.