Areal og omkreds: formler, eksempler og opgaver for alle figurer

Du står med en grundplan til et nyt værelse og skal vælge mellem gulvtæppe og fodlister. Tæppet bestemmes af areal, listerne af omkreds. Det er to forskellige tal for samme rum, og lige præcis den forskel gør areal og omkreds forvirrende, når du møder dem i matematik. Et rum på 4 meter gange 3 meter har et areal på 12 kvadratmeter og en omkreds på 14 meter. Samme figur, helt forskellige svar.

Her får du formlerne for rektangel, kvadrat, trekant, parallelogram, trapez og cirkel, og du ser hver af dem blive brugt på en rigtig opgave, før reglen står på tavlen. Til sidst kan du skære sammensatte figurer ud i små, overskuelige stykker. Vil du dykke dybere ned i enkeltfigurerne, har vi en egen guide til trekanter og en om cirkler. Og sidder du fast i en opgave, kan du altid se, hvordan vi arbejder med matematik på Toptutors.

Hvad er areal og omkreds?

Tegn et rektangel på 5 cm gange 2 cm på ternet papir. Tæl de tern, det dækker: 10 stykker. Følg så kanten rundt med en finger og tæl, hvor mange tern-sider du passerer: 14. Det første tal fortæller, hvor meget flade figuren fylder. Det andet fortæller, hvor langt du skal gå, hvis du vil rundt om den. Du har lige målt både areal og omkreds.

Ifølge Lex.dks artikel om areal betegnes arealet normalt med bogstavet A og angives i SI-systemet i kvadratmeter. Omkredsen er, som Lex.dk skriver om omkreds, længden af figurens randkurve, og for en trekant eller en firkant er det bare summen af siderne. Husk den lille forskel i enhederne: areal har altid et 2-tal i toppen, fordi du tæller flader, mens omkreds kun er en længde. Det er den nemmeste måde at tjekke, om du har regnet det rigtige ud.

Areal af rektangel og kvadrat

Du vil lægge fliser på en terrasse, der er 6 meter lang og 4 meter bred. Hver flise er 1 meter gange 1 meter. Du lægger en række på 6 fliser, og så skal du bruge 4 rækker. Det er 4 gange 6, altså 24 fliser, og dermed er arealet 24 kvadratmeter. Skal der sættes trælister hele vejen rundt, går du 6 meter, 4 meter, 6 meter og 4 meter, og omkredsen bliver 20 meter.

Et kvadrat er et rektangel, hvor længde og bredde er ens. Har et kvadrat siden 5 cm, er arealet \( 5 \cdot 5 = 25 \) cm², og omkredsen er \( 4 \cdot 5 = 20 \) cm. Med siden s bliver formlerne \( A = s^2 \) og \( O = 4s \). I Lex.dks gennemgang er rektanglets areal faktisk selve udgangspunktet: arealet defineres som produktet af sidelængderne, og alle de andre areal formler bygges op derfra. Det er en god grund til at kende rektanglet til bunds.

Areal af trekant: halvdelen af et rektangel

Trekanten ligner en helt ny figur, men den er i virkeligheden et rektangel, der er skåret over på diagonalen. Tænk på en gavl, der er 8 meter bred og 3 meter høj. Rektanglet omkring den ville have arealet 8 gange 3, altså 24 kvadratmeter. Gavlen fylder præcis halvdelen: 12 kvadratmeter. Skal du have hele billedet af, hvad en trekant kan, kan du læse vores guide til trekanter, men her er det arealet og omkredsen, der tæller.

Højden er det, der snubler de fleste. Den er ikke en af trekantens sider, medmindre trekanten er retvinklet. Højden er den lodrette afstand fra grundlinjen op til det modstående hjørne, og den står altid i en ret vinkel på grundlinjen. Du kan frit vælge, hvilken side der er grundlinje, men højden skal så være den, der hører til netop den side. Omkredsen er til gengæld nem: læg de tre sider sammen, og højden er ligegyldig.

Areal parallelogram: et skævt rektangel i forklædning

Klip en retvinklet trekant af den ene ende af et parallelogram, og sæt den på den anden ende. Pludselig har du et rektangel. Det er præcis det trick, Lex.dk bruger til at vise, at et parallelogram med grundlinje og højde har arealet grundlinje gange højde. Tag et parallelogram med grundlinjen 10 cm og højden 6 cm. Rektanglet, du får ved at flytte trekanten, er 10 cm gange 6 cm, så arealet er 60 cm². Den skrå side kan du ikke bruge til noget i arealet, for den måler på skrå, ikke lodret.

Omkredsen er en anden historie, for den kræver den skrå side. I et parallelogram er modstående sider lige lange, så du kan nøjes med at lægge to forskellige sider sammen og fordoble. Har parallelogrammet fra før en skrå side på 6,5 cm, bliver omkredsen \( 2 \cdot 10 + 2 \cdot 6{,}5 = 33 \) cm. Læg mærke til, at to parallelogrammer kan have samme grundlinje og højde, og dermed samme areal, men have vidt forskellige omkredse. Jo mere skævt, jo længere er den skrå side.

Areal trapez: gennemsnittet af de parallelle sider

Hvad nu, hvis kun to af siderne er parallelle? Forestil dig en grund, hvor den ene lange side langs vejen er 12 meter, og den modsatte side ved skellet er 8 meter. Afstanden mellem de to sider er 5 meter. Gennemsnittet af de to parallelle sider er 10 meter, og hvis du ganger det med 5, får du 50 kvadratmeter. Det er det samme som et rektangel på 10 gange 5. Trapezet er så at sige et rektangel, hvor du har udjævnet de to skæve ender.

Formlen kan også forstås ved at dele trapezet med en diagonal i to trekanter. Den ene har grundlinjen a, den anden grundlinjen b, og begge har højden h. Lægger du deres arealer sammen, får du \( \frac{1}{2} \cdot h \cdot a + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b \), og når du sætter \( \frac{1}{2} \cdot h \) uden for en parentes, står formlen foran dig. Omkredsen af et trapez kræver alle fire sider, og de er sjældent ens.

Areal og omkreds af en cirkel

En pizza med en diameter på 30 cm har en skorpe, du kan måle med et målebånd, og en overflade, du kan dække med ost. Skorpen er cirka 94 cm lang. Osten dækker cirka 707 cm². Begge tal kommer fra tallet pi, som er cirka 3,14. Cirklen er den eneste figur her uden rette kanter, så du kan ikke bare gange to sider. Til gengæld har du kun brug for én måling: radius, altså afstanden fra midten ud til kanten.

Pi er ikke et tilfældigt tal. Som Lex.dk forklarer om cirklen, er forholdet mellem omkreds og diameter ens for alle cirkler, og det forhold er netop pi. Derfor er omkredsen af en cirkel altid pi gange diameteren, uanset om cirklen er en mønt eller en rundkørsel. Fordi diameteren er to gange radius, kan du også skrive \( O = 2 \cdot \pi \cdot r \). Vil du se flere sider af cirklen, kan du læse vores guide til cirkler.

Prøv at sammenligne to pizzaer. Den store har radius 15 cm og arealet 707 cm². Den lille har halv radius, 7,5 cm, og arealet 177 cm². Halv radius giver altså en fjerdedel af arealet, ikke halvdelen. Omkredsen halveres derimod, fra 94 cm til 47 cm. Radius står i anden i arealformlen, men kun i første i omkredsformlen. Derfor vokser areal og omkreds ikke i samme tempo.

Samme areal, forskellig omkreds

Du har 16 kvadratmeter plastik til et bed, og du kan folde det som du vil. Laver du det til et kvadrat på 4 meter gange 4 meter, skal du bruge 16 meter hegn. Laver du det til et rektangel på 8 gange 2 meter, skal du bruge 20 meter. Og som en lang smal stribe på 16 gange 1 meter skal du bruge hele 34 meter. Arealet er det samme hver gang, men omkredsen vokser, jo mere langstrakt figuren bliver. Det er derfor, at et kvadrat er den mest sparsomme firkant: den giver mest areal pr. meter kant. Og blandt alle former er det cirklen, der omslutter mest areal i forhold til omkredsen, som Lex.dk nævner i sin artikel om omkreds.

Find en side ud fra arealet eller omkredsen

I areal og omkreds opgaver er det ofte omvendt: du kender tallet, og det er en side, der mangler. Et rektangel har arealet 48 cm², og den ene side er 8 cm. Hvor lang er den anden? Spørgsmålet er, hvilket tal du skal gange med 8 for at få 48, og det er 6. Du dividerer, i stedet for at gange. Formlen \( A = l \cdot b \) kan omskrives til \( b = \frac{A}{l} \), og så er du klar. Med omkredsen går det på samme måde, bare med minus først: et rektangel med omkreds 30 cm og længde 9 cm har to længder på 18 cm, så de to bredder må tilsammen være 12 cm, og hver bredde er 6 cm.

Enheder: cm, cm² og m²

En meter er 100 centimeter. Men en kvadratmeter er ikke 100 kvadratcentimeter. Tegn et kvadrat på 1 meter gange 1 meter. Hver side er 100 cm, så arealet er 100 gange 100, altså 10.000 cm². Enhederne bliver ganget med sig selv, og det gælder tallene også. Det er den omregning, der vælter flest opgaver, og du undgår den ved at omregne alle længder til samme enhed, før du begynder at regne på areal.

Sammensatte figurer: del dem op

Din stue er formet som et L. Den er ikke et rektangel, og ingen af formlerne ovenfor passer direkte. Men du kan tænke dig, at L'et er et stort rektangel, hvor der mangler et hjørne. Eller to rektangler, der står op ad hinanden. Sammensatte figurer bliver nemme, når du holder op med at lede efter én formel og begynder at lede efter de figurer, du kender. Arealet af helheden er summen af delene, eller arealet af den store figur minus det stykke, der mangler.

1. 1

   Tegn figuren og skriv alle mål på

   Marker de sider, du kender, og regn de manglende ud ud fra dem.

2. 2

   Vælg opdelingen

   Del figuren op i rektangler, trekanter eller halve cirkler, eller find en stor figur og træk en lille fra.

3. 3

   Regn arealet af hver del

   Brug den rigtige formel til hver del, og hold styr på enhederne.

4. 4

   Læg sammen eller træk fra

   Arealerne lægges sammen, hvis du har delt op, og trækkes fra hinanden, hvis du har taget et stykke væk.

5. 5

   Find omkredsen ved at gå rundt om kanten

   Omkredsen er kun de sider, der er yderkant. De indre skillelinjer tæller ikke med.

Det sidste trin overrasker mange. Et hjørne, der er bidt af, ændrer arealet, men ikke omkredsen, så længe det er et rektangulært hjørne. Prøv at flytte de to nye sider ud i yderkanten med fingeren, så ser du det: de udfylder netop det stykke, der er forsvundet. Har figuren i stedet en rund del, som en rektangulær søjle med en halvcirkel i toppen, skal du huske, at halvcirklens omkreds kun er halvdelen af cirklens, og at den lige side, hvor de to dele mødes, ikke er en del af omkredsen.

Areal formler oversigt

Når du står midt i en prøve, har du brug for formlerne på ét sted. Tabellen samler dem alle, så du kan sammenligne dem. Hver af dem har du set i brug ovenfor, så du kan gå tilbage til eksemplerne, hvis du er i tvivl om, hvad et bogstav står for.

Beregn areal og omkreds i hverdagen

Du skal male en væg, der er 4 meter bred og 2,5 meter høj, og der sidder en dør på 2 kvadratmeter midt i den. Hvor meget maling skal du bruge? Væggen er et rektangel med arealet 4 gange 2,5, altså 10 kvadratmeter. Døren skal ikke males, så du trækker dens areal fra og står med 8 kvadratmeter. Dækker en liter maling 8 kvadratmeter, har du brug for én liter pr. strøg. Du har brugt areal, og du har brugt tricket med at trække et stykke fra, helt som med stuen ovenfor.

Skal du bagefter sætte en list langs bunden af væggen, er det omkredsen, der tæller, men kun den del, der ligger på gulvet. Her får du 4 meter, minus bredden af døren, hvis døren når helt ned. Det er netop sådan, folkeskolens opgaver er skruet sammen: de gemmer et areal eller en omkreds i en hverdagssituation, og dit job er at finde ud af, hvilket af de to tal der spørges efter. Læs opgaven en gang til og find ordene. Maling, gulv, græs, fliser og tæppe er areal. Hegn, liste, snor, kant og ramme er omkreds.

Når du har fundet ud af, hvad opgaven spørger om, skal du bare vælge den rigtige formel og sætte tallene ind. Skriv altid enheden med, og tegn en lille skitse, selv om opgaven ikke har en. En skitse viser dig, hvilke sider der hører sammen, og den gør det meget nemmere at se, hvilken højde der står vinkelret på hvilken grundlinje. Den halve minuts tegnetid sparer dig for mange forkerte svar.

Typiske fejl med areal og omkreds

De fleste fejl i geometri er ikke regnefejl. De er valg af forkert formel eller forkert tal. Tjek de her, før du afleverer.