Deskriptiv statistik: middelværdi, spredning og boksplot forklaret

Du har fået en tabel med 30 tal og spørgsmålet: Hvad fortæller de her data egentlig? Ingen gider læse tallene ét for ét, og slet ikke sammenligne dem med en anden tabel med 30 andre tal. Det er præcis det problem, deskriptiv statistik løser. Du koger et uoverskueligt datasæt ned til nogle få tal og et par tegninger, som kan sige noget om alle observationerne på én gang.

Det gode er, at værktøjerne er de samme hver gang. Middelværdi og median fortæller, hvor tallene samler sig. Spredning og kvartilafstand fortæller, hvor meget de svinger. Histogram og boksplot viser det hele på ét billede. I den her guide følger vi ét lille datasæt gennem hele værktøjskassen, så du kan se, hvordan begreberne hænger sammen, og hvad du skal skrive, når en opgave i matematik beder dig om at beskrive data. Sidder du fast i andre emner, finder du overblik og øvelser under lektiehjælp i matematik.

Hvad er deskriptiv statistik?

Ni elever noterer, hvor mange minutter de brugte på lektier i går: 10, 20, 20, 30, 35, 40, 45, 60 og 120. Ni tal er til at overskue, men prøv at svare på spørgsmålet 'Er det mange minutter?' uden at regne. Det kan du ikke rigtig. Du har brug for et tal, der angiver midten, et tal, der angiver, hvor meget klassen svinger, og et billede, der viser fordelingen. Det er værktøjskassen, vi bygger i resten af guiden, og vi bruger netop de ni observationer hele vejen igennem.

Skellet til resten af statistikken er vigtigt. Beskriver du de ni elever, er du i deskriptiv statistik. Prøver du at slutte noget om alle landets gymnasieelever ud fra de ni, er du i gang med statistisk inferens, fx konfidensintervaller og hypotesetest. Deskriptiv analyse er første trin: Du skal vide, hvad dine data viser, før du kan sige, hvad de betyder for andre. I UVMs vejledning til læreplanen i matematik B, stx nævnes deskriptiv statistik da også som oplagt til flerfagligt samarbejde, med elevers brug af mobiltelefon eller sociale medier som eksempel.

Ugrupperede og grupperede observationer

Skal du skrive alle tallene op, eller må du samle dem i kasser? Det afgør, om du arbejder med ugrupperede eller grupperede observationer. Dine ni lektiemålinger er ugrupperede: Hver observation står for sig. Havde du i stedet målt 400 elevers lektietid helt præcist, ville næsten alle tal være forskellige, og tabellen ville være ulæselig. Så deler du minutterne op i intervaller som ]0;20], ]20;40] og så videre og tæller, hvor mange der falder i hver kasse. Nu har du grupperede observationer. Intervalnotationen varierer lidt mellem bøger og lærere, så følg den, I bruger i klassen.

Ugrupperede data giver de mest præcise resultater, fordi du arbejder med de originale tal. Derfor bruger du dem, så længe det er praktisk muligt. Gruppering koster præcision, men giver overblik, når datasættet er stort. Til begge slags data hører tre grundbegreber. Hyppigheden er det antal gange, en observation eller et interval optræder. Frekvensen er hyppigheden som andel af det samlede antal observationer, ofte skrevet i procent. Den kumulerede frekvens er summen af frekvenserne op til og med en bestemt værdi.

Tabellen ovenfor er en hyppighedstabel. Tallet 20 optræder to gange ud af ni, så frekvensen er \( \frac{2}{9} \cdot 100\,\% \approx 22{,}2\,\% \). Lægger du alle frekvenserne sammen, skal du ramme 100 %. Det er en hurtig kontrol, der fanger mange regnefejl.

Den kumulerede frekvens bygger oven på frekvensen. Du lægger den løbende sammen: 11,1 % op til og med 10 minutter, 33,3 % op til og med 20 minutter, 44,4 % op til og med 30, og så videre, indtil du rammer 100 % ved 120. Kumulerede frekvenser svarer på spørgsmål som 'hvor mange procent bruger højst 35 minutter?'. Svaret er 55,6 %, fordi fem af de ni elever ligger på 35 minutter eller derunder. De er også rygraden i sumkurven, som du møder senere i guiden.

Middelværdi, median og typetal: hvor ligger midten?

Lektietiderne 10, 20, 20, 30, 35, 40, 45, 60 og 120 har ikke én midte, men tre, og de er forskellige. Læg alle minutterne sammen: 380. Del med de 9 elever: 42,2 minutter. Det er middelværdien, som i hverdagen kaldes gennemsnittet. Stil nu eleverne på række efter lektietid og peg på den i midten. Den femte elev har 35 minutter. Det er medianen. Og spørger du, hvilken lektietid der forekommer flest gange, er svaret 20 minutter, fordi to elever har den. Det er typetallet.

Hvorfor tre tal? Fordi de reagerer forskelligt på ekstreme værdier. Fjern eleven med 120 minutter, og middelværdien falder fra 42,2 til 32,5 minutter, altså næsten 10 minutter. Medianen glider kun fra 35 til 32,5. Én enkelt usædvanlig observation, en outlier, kan altså trække middelværdien langt væk fra det, de fleste oplever, mens medianen holder sig i ro. Det er en af grundene til, at man ofte ser medianindkomsten nævnt ved siden af gennemsnitsindkomsten.

Et lille trick gælder for medianen. Med et ulige antal observationer er den den midterste. Med et lige antal tager du gennemsnittet af de to midterste. Uden de 120 minutter står du med otte tal, hvor nummer 4 og 5 er 30 og 35, og medianen bliver derfor 32,5. Husk altid at sortere først. En median fundet i en usorteret liste er bare et tilfældigt tal.

Typetallet kan have flere værdier. Hvis endnu en elev havde brugt 45 minutter, ville både 20 og 45 optræde to gange, og så er begge typetal. Det kan være et tegn på, at du har to forskellige grupper i dine data, for eksempel elever, der lavede lektier, og elever, der slet ikke gjorde. Ved grupperede data taler man i stedet om typeintervallet, altså det interval med den højeste hyppighed.

Spredning: hvor meget svinger tallene?

To klasser kan have præcis samme middelværdi og alligevel være vidt forskellige. I klasse A bruger alle mellem 40 og 44 minutter på lektier. I klasse B bruger nogle 5 minutter og andre 80. Middelværdien er 42 i begge klasser, men det er to helt forskellige hverdage. Spredningsmål sætter tal på forskellen, og der er tre at kende: variationsbredde, kvartilafstand og spredning.

Den simpleste er variationsbredden: største værdi minus mindste værdi. For lektiedata er det 120 minus 10, altså 110 minutter. Den er hurtig at regne, men den afhænger af kun to observationer, og i vores data er den ene en outlier. Kvartilafstanden, som vi kommer til om lidt, klarer sig bedre. Den mest brugte er spredningen, som også kaldes standardafvigelsen. Ideen er at måle, hvor langt hver observation ligger fra middelværdien, og tage et slags gennemsnit af de afstande. Lægger du afvigelserne direkte sammen, får du 0, fordi de positive og de negative udligner hinanden. Derfor kvadrerer du dem først, tager gennemsnittet, og trækker til sidst kvadratroden for at komme tilbage til minutter.

En spredning på 32,8 minutter betyder, at eleverne typisk ligger omkring 33 minutter fra middelværdien på 42 minutter. Spredningen har samme enhed som data, og det gør den lettere at fortolke end variansen, som er målt i minutter i anden. Har du hele populationen, dividerer du med n og kalder tallet σ. Har du en stikprøve, dividerer du med \( n-1 \) og kalder tallet s. Data i en opgave er som regel en stikprøve, så tjek, hvad din opgave beder om, og hvad dit regneværktøj gør.

Grafen nedenfor viser to fordelinger med samme middelværdi på 50. Den smalle har spredning 5, den brede har spredning 15. Samme midte, men helt forskellig form: Jo større spredning, jo fladere og bredere kurve.

Spredningen er den ene af de to parametre, der beskriver en hel normalfordeling. Her ligger cirka 68 % af observationerne inden for én spredning fra middelværdien. Middelværdi og spredning er altså ikke kun to tal i en opgave, men grundlaget for en stor del af den statistik, du møder senere.

Du behøver sjældent at regne spredningen i hånden. Regneark, GeoGebra og CAS har indbyggede funktioner, men de er ikke ens: Nogle regner stikprøvespredning med n minus 1 som standard, andre populationsspredning med n. Regn derfor altid et lille eksempel efter med tre eller fire tal, så du ved, hvilken en dit værktøj bruger. Det tager to minutter og sparer dig for den fejl, der oftest koster point.

Kvartiler og fraktiler: sådan deler du data i fire dele

Hvor mange minutter skal en elev bruge for at høre til de 25 % af klassen, der bruger mindst tid? Spørgsmålet kan du ikke besvare med middelværdi eller spredning. Du skal bruge en fraktil. En x %-fraktil er den værdi, som x % af observationerne ligger på eller under. De mest brugte er 25 %-fraktilen, 50 %-fraktilen og 75 %-fraktilen. De kaldes nedre kvartil, median og øvre kvartil, og de skrives Q1, m og Q3. Tilsammen udgør de kvartilsættet.

1. 1

   Sortér observationerne

   Skriv dem i rækkefølge fra mindste til største. For lektiedata er rækkefølgen allerede 10, 20, 20, 30, 35, 40, 45, 60, 120.

2. 2

   Find pladsen

   Gang procenten med antallet af observationer. For 25 % af 9 observationer får du 0,25 · 9 = 2,25.

3. 3

   Rund op eller tag midten

   Er tallet ikke et helt tal, runder du op, og observationen på den plads er fraktilen. Er det et helt tal, tager du gennemsnittet af observationen på den plads og den næste.

4. 4

   Aflæs værdien

   2,25 rundes op til 3, og observation nr. 3 er 20, så Q1 = 20. For 75 % får du 0,75 · 9 = 6,75, som rundes op til 7, og observation nr. 7 er 45, så Q3 = 45.

Kvartilsættet for lektietiderne er altså Q1 = 20, m = 35 og Q3 = 45. Mellem hvert par af de tre tal, og uden for dem, ligger cirka 25 % af eleverne. Afstanden mellem øvre og nedre kvartil kaldes kvartilafstanden, og den fortæller, hvor bredt de midterste 50 % af observationerne fordeler sig.

Kvartilafstanden på 25 minutter er robust. Eleven med 120 minutter påvirker den slet ikke, for kvartilafstanden ser kun på de midterste 50 %. Havde den samme elev brugt 300 minutter, ville variationsbredden være eksploderet, mens kvartilafstanden stadig havde været 25.

Boksplot: aflæsning af hele fordelingen på en tallinje

Fem tal kan fortælle næsten hele historien: mindste værdi, nedre kvartil, median, øvre kvartil og største værdi. Tegner du dem på en tallinje, får du et boksplot. Ifølge Hadley Wickhams og Lisa Stryjewskis gennemgang af boksplottets historie introducerede John Tukey boksplottet som en del af sin værktøjskasse til eksplorativ dataanalyse, men det blev først bredt kendt, da han udgav det i bogen Exploratory Data Analysis fra 1977.

Boksen går fra Q1 til Q3 og rummer de midterste 50 % af observationerne. Medianen er en streg inde i boksen. De to antenner strækker sig ud mod de yderste observationer. Aflæsningen er mest af alt et spørgsmål om at kigge på proportioner: Ligger medianen midt i boksen, og er antennerne lige lange, er data nogenlunde symmetriske. Er den ene antenne meget længere end den anden, er data skæve den vej.

Læs lektieplottet: Medianen på 35 ligger tættere på Q3 end på Q1, og den lange antenne mod højre efterfulgt af en enkelt prik for 120 minutter fortæller, at fordelingen trækker mod højre. Det passer med, at middelværdien (42,2) ligger over medianen (35). Mange gymnasieopgaver tegner antennerne helt ud til mindste og største værdi. Andre bruger Tukeys regel, hvor observationer længere væk end 1,5 gange kvartilafstanden fra boksen regnes som outliers og tegnes som enkeltprikker. Tjek, hvad din opgave eller lærer forventer.

Histogram og sumkurve: når data er grupperet

Nu har du målt lektietiden for hele årgangen: 40 elever. Tabellen herunder viser, hvordan de fordeler sig i intervaller på 20 minutter. Du kan ikke længere se de enkelte elever, men du kan se formen. De fleste ligger mellem 20 og 60 minutter, og kun få bruger over en time.

Et histogram tegner tabellen som søjler ved siden af hinanden uden mellemrum, fordi intervallerne hænger sammen. Det er søjlens areal, der svarer til frekvensen. Har alle intervaller samme bredde, som her, kan du nøjes med at sammenligne højderne. Når data er grupperet, kender du ikke de præcise værdier, så du regner med intervalmidtpunkterne: 10, 30, 50 og 70. Det er et kvalificeret gæt, hvor hver elev i intervallet behandles, som om vedkommende lå midt i det.

Formen på histogrammet siger noget i sig selv. Er søjlerne nogenlunde lige høje på begge sider af den højeste, er fordelingen symmetrisk, og middelværdi og median ligger tæt på hinanden. Falder søjlerne langsomt mod højre, er fordelingen højreskæv, som i de ni enkeltmålinger tidligere, og middelværdien ligger over medianen. Har histogrammet to tydelige toppe, blander du sandsynligvis to grupper. Det er samme historie som i boksplottet, bare fortalt med søjler i stedet for en boks.

Median og kvartiler finder du på sumkurven, som er en graf over de kumulerede frekvenser. Du aflæser, hvor kurven rammer 25 %, 50 % og 75 %. Mellem to punkter forbinder du med rette linjestykker, og hvis du vil have et præcist tal i stedet for en aflæsning, bruger du lineær interpolation, som i eksemplet herunder.

Hvilke deskriptorer skal du vælge?

Spørgsmålet 'hvad er et typisk tal?' har ikke ét rigtigt svar. Tænk på boligpriser i en by, hvor de fleste huse koster 2 til 3 millioner, og et enkelt slot koster 80 millioner. Middelværdien bliver misvisende høj, fordi slottet trækker den op, mens medianen stadig beskriver det typiske hus. Kort sagt: Er data nogenlunde symmetriske, uden voldsomme outliers, giver middelværdi og spredning et godt billede. Er data skæve eller har outliers, er median og kvartilafstand de sikreste valg.

Typetallet har sin egen rolle. Det er det eneste mål, der giver mening for data uden rækkefølge, fx hvilken farve flest elever har på deres rygsæk. Det kan du ikke tage gennemsnittet af. Og nogle gange er svaret begge dele. Du kan sagtens bruge middelværdi og median sammen, netop fordi forskellen på dem er en oplysning i sig selv. Er middelværdien markant over medianen, trækker nogle høje værdier opad. Er den under, trækker nogle lave værdier nedad.

Deskriptiv statistik er også trinbrættet til resten af statistikken. Når data følger en klokkeform, ender du i normalfordelingen, hvor middelværdi og spredning beskriver hele fordelingen. Og tæller du antal succeser i et fast antal forsøg, ender du i binomialfordelingen, hvor middelværdi og spredning kan udtrykkes ved hjælp af antal forsøg og sandsynlighed. Begge dele bygger på de deskriptorer, du lige har lært.

Deskriptiv statistik i hverdagen

Du bruger allerede deskriptiv statistik, uden at du tænker over det. Når en fodboldtræner siger, at holdet i gennemsnit scorer 2 mål pr. kamp, er det en middelværdi. Når vejrudsigten fortæller, at temperaturen typisk ligger mellem 14 og 19 grader, er det næsten en kvartilafstand. Og når din mobil viser din gennemsnitlige skærmtid sidste uge, har den regnet et gennemsnit af syv observationer. Forskellen i matematiktimerne er, at du også skal kunne sige, hvad tallene dækker over, og hvad de skjuler.

Det sidste er det, der gør statistik interessant. Et gennemsnit på 2 mål pr. kamp kan skjule, at holdet scorer fem mål i fire kampe og ingenting i seks. En gennemsnitlig skærmtid på næsten to timer kan dække over én dag med otte timer og seks dage med omkring 50 minutter. Hver gang du ser et enkelt tal, så spørg: Hvad er spredningen, og er der outliers? Det spørgsmål gør dig til en bedre læser af både aviser, rapporter og opgaveformuleringer.

Samme tankegang gælder, når du sammenligner to grupper. Er gennemsnitskarakteren i en test 7,2 i 2.a og 7,0 i 2.b, er forskellen så stor, at den betyder noget, når du ser, hvor meget enkelte elever varierer? To boksplot ved siden af hinanden er det hurtigste værktøj til at se det. Overlapper boksene kraftigt, er forskellen mellem klasserne lille i forhold til forskellene inde i klasserne. Om forskellen er statistisk signifikant, afgør du først med statistisk inferens, som bygger videre på det, du har lært her.

Typiske fejl i deskriptiv statistik

De fleste regnefejl i statistik er ikke svære. De er snigende, fordi svaret ser rimeligt ud. Her er de fem, der koster flest point.

Sådan griber du en opgave i deskriptiv statistik an

En typisk opgave giver dig et datasæt og siger noget i retning af 'beskriv data'. Det lyder åbent, men der er en fast rytme i en god besvarelse. Prøv den på lektiedata, og du vil se, at hver del kun tager få linjer. Og får du brug for en ekstra hånd, gælder det her: En certificeret tutor kan gennemgå dine egne opgaver trin for trin, i dit tempo.

1. 1

   Afklar, hvad data måler

   Hvad er enheden, hvor mange observationer er der, og er data grupperet eller ugrupperet?

2. 2

   Beregn deskriptorerne

   Find middelværdi, median og typetal, og derefter spredning eller kvartilafstand. Brug regneark, GeoGebra eller CAS, men skriv, hvad du har gjort.

3. 3

   Tegn et diagram

   Et boksplot er hurtigt og sammenligner godt. Et histogram viser formen, når data er grupperet.

4. 4

   Tjek for outliers

   Er der værdier, der ligger langt fra resten? Så vurder, om middelværdien er misvisende.

5. 5

   Fortolk i sammenhængen

   Skriv en eller to sætninger, der bruger tallene til at sige noget om situationen, ikke bare om matematikken.