Fremskrivningsfaktor: formel, beregning og eksempler

Fremskrivningsfaktoren løser et problem, du kender fra udsalg: En trøje til 500 kr. bliver sat 20 % ned, og ugen efter bliver den sat yderligere 10 % ned. Koster den nu 350 kr.? Det føles rigtigt, for 20 plus 10 er 30, og 30 % af 500 er 150. Men regnestykket er forkert, og forskellen er præcis det, der gør fremskrivningsfaktoren til et af de mest brugte redskaber i matematik.

Du møder tallet i procentregning, i renteberegning og i eksponentielle funktioner, og det ser næsten ens ud hver gang. Her gennemgår vi, hvordan du finder det ud fra en procent, hvordan du kommer tilbage til procenten igen, hvad der sker ved flere ændringer i træk, og hvordan det hele hænger sammen med vækstraten og renters rente.

Hvad er fremskrivningsfaktor?

Sig, at en bluse koster 500 kr., og prisen stiger med 8 %. Du kan regne i to trin: først finde 8 % af 500, som er 40 kr., og så lægge de 40 kr. til. Du kan også regne i ét trin og gange 500 med 1,08. Begge veje giver 540 kr. Tallet 1,08 er fremskrivningsfaktoren. Det er det tal, du ganger med, for at komme fra prisen før til prisen efter.

Hvorfor lægger vi 1 til? Fordi 1 er de 100 %, du allerede har. Ved en stigning på 8 % beholder du hele den oprindelige pris og får 8 % ovenpå, altså 108 %, som er 1,08 som decimaltal. Ved et fald på 8 % beholder du 92 %, og det bliver 0,92. Er fremskrivningsfaktoren større end 1, er der tale om vækst. Er den mindre end 1, er der tale om fald. Er den præcis 1, sker der ingenting.

Sådan finder du fremskrivningsfaktoren ud fra en procent

Hvad skal du gange 80 kr. med for at få 12 % mere? Og hvad skal du gange med for at få 35 % mindre? Spørgsmålene lyder forskellige, men fremgangsmåden er den samme, og den består af tre små skridt.

1. 1

   Skriv procenten som decimaltal

   Del procenttallet med 100. 12 % bliver til 0,12, og 35 % bliver til 0,35.

2. 2

   Giv tallet fortegn

   Ved en stigning er vækstraten positiv, ved et fald er den negativ. 12 % stigning giver r = 0,12, mens 35 % fald giver r = -0,35.

3. 3

   Læg 1 til

   Beregn F = 1 + r. Så får du 1,12 for stigningen og 0,65 for faldet.

Læg mærke til rækken med 100 %. En fordobling er en stigning på 100 %, men fremskrivningsfaktoren er 2, ikke 1 eller 100. En tredobling er en stigning på 200 %, og så er faktoren 3. Mønsteret er, at faktoren altid er 100 procentpoint højere end ændringen, når du tænker i procent. Det gør det nemt at tjekke dit eget svar: Er resultatet af en stigning mindre end begyndelsesværdien, har du regnet forkert.

Fra fremskrivningsfaktor tilbage til vækstrate

En opgave kan lyde: "Fremskrivningsfaktoren er 1,5." Hvor mange procent er det? Mange svarer 150 %, og det er et klassisk fejlsvar. Tallet 1,5 betyder, at du ender på 150 % af det, du startede med. Du har altså fået de 100 %, du havde, plus 50 % ekstra. Væksten er 50 %. Vækstraten er den procentvise ændring udtrykt som decimaltal, så den finder du ved at trække 1 fra.

Flere ændringer i træk: gang faktorerne sammen

Vi vender tilbage til trøjen på 500 kr. Efter den første nedsættelse på 20 % koster den 500 · 0,80 = 400 kr. Den næste nedsættelse på 10 % tager de 10 % af 400 kr. og ikke af 500 kr., så prisen bliver 400 · 0,90 = 360 kr. Rabatten er altså kun 140 kr. i alt, ikke 150 kr. Den anden procent er regnet af et mindre beløb.

To nedsættelser på 20 % og 10 % svarer altså til ét fald på 28 %. Det samme gælder, når noget vokser: Tre år i træk med 5 % vækst giver ikke 15 % samlet vækst, men \( 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \approx 1{,}158 \), altså cirka 15,8 %. Procenter kan ikke lægges sammen, men fremskrivningsfaktorer kan ganges. Det er hele pointen med at regne med dem.

Find begyndelsesværdi, slutværdi eller fremskrivningsfaktor

En bil kostede 125.000 kr. sidste år og koster 135.000 kr. i dag. Hvor mange procent er den steget? Du kender begyndelsesværdien B = 125.000 og slutværdien S = 135.000, og du mangler faktoren. Eftersom B gange F giver S, finder du F ved at dividere S med B. Det giver 135.000 / 125.000 = 1,08, og bilen er derfor steget med 8 %.

Jakken kostede 800 kr. Havde du lagt 15 % til 680 kr., var du endt på 782 kr., som er for lidt. Procenten blev nemlig regnet af den oprindelige pris, og den er større end 680 kr. Divisionen med faktoren er den eneste vej tilbage, der rammer rigtigt.

Fremskrivningsfaktor i renters rente og eksponentiel vækst

Sæt 10.000 kr. ind på en konto med 3 % rente om året. Efter ét år står der 10.000 · 1,03 = 10.300 kr. Efter to år ganger du igen med 1,03, og så fremdeles. Du ganger med den samme faktor hver gang, og det er det, der kaldes eksponentiel vækst. Renteformlen er derfor bare fremskrivningsfaktoren sat i potens.

I den generelle forskrift \( f(x) = b \cdot a^x \) er tallet \( a \) præcis fremskrivningsfaktoren, og \( b \) er begyndelsesværdien. Ifølge Lex om eksponentiel vækst optræder sådan vækst blandt andet ved befolkningsvækst uden ydre begrænsninger og ved renters rente på en opsparing. Grundtallet i en eksponentialfunktion er en positiv konstant, og det passer med, at en fremskrivningsfaktor aldrig kan være negativ. Er \( a > 1 \), vokser funktionen. Er \( 0 < a < 1 \), aftager den.

Den grønne kurve viser F = 1,08 (vækst på 8 %), og den røde viser F = 0,85 (fald på 15 %). Det forklarer, hvorfor eksponentiel vækst bliver så voldsom. Med 8 % om året fordobles begyndelsesværdien på cirka ni år, og efter 20 år er den næsten femdoblet. Med faktoren 0,85 falder værdien hurtigt i starten og flader derefter ud, uden nogensinde at ramme nul. I en opgavetekst skal du kunne oversætte tallet til ord: Er \( a = 1{,}06 \), vokser størrelsen med 6 % for hver gang \( x \) stiger med 1.

Gennemsnitlig fremskrivningsfaktor over flere perioder

En aktie var 1.000 kr. værd for tre år siden og er nu 1.331 kr. værd. Der er ikke nødvendigvis vokset præcis lige meget hvert år, men du kan spørge: Hvilken fast årlig vækst ville give samme resultat? Den samlede faktor er 1.331 / 1.000 = 1,331. Den skal være produktet af tre ens faktorer, så du skal finde det tal, der ganget med sig selv tre gange giver 1,331. Det er tredjeroden.

Metoden hænger sammen med, at en eksponentiel udvikling har en konstant vækstrate. Det understreger Københavns Universitets noter om vækstmodeller, hvor eksponentiel vækst netop er den model, hvor væksten pr. individ er den samme over tid. Til skriftlig eksamen i stx må du bruge en centralt udmeldt formelsamling, som UVMs vejledning til matematik C beskriver, men du sparer tid, hvis du kan udlede sammenhængene selv. Står du fast i opgaverne, kan en tutor til lektiehjælp i matematik gennemgå dem sammen med dig.

Typiske fejl med fremskrivningsfaktoren

En tutor kan gennemgå fremskrivningsfaktorer, renters rente og eksponentielle funktioner sammen med dig i dit eget tempo. Fra 249 kr./time og uden binding.