Chi i anden test: formel, frihedsgrader og p-værdi trin for trin

Du kaster en terning 60 gange og venter at se cirka ti af hver slags. I stedet får du otte ettere, tretten seksere og kun syv femmere. Er terningen falsk, eller er det bare tilfældigt? Det spørgsmål besvarer en chi i anden test, og det er præcis det, den er bygget til.

Testen dukker op overalt i gymnasiet: i matematik, når du undersøger, om to variable hænger sammen, i biologi, når Mendels forholdstal skal passe, og i samfundsfag, når du vil vide, om køn og valg af parti har noget med hinanden at gøre. Her får du hele forløbet fra hypoteser og forventede værdier til teststørrelse, frihedsgrader, p-værdi og konklusion, med regnede eksempler og en gennemgang af GeoGebra. Bagved ligger fordelinger, så har du brug for at genopfriske, kan du læse om normalfordelingen og binomialfordelingen først.

Hvad er en chi i anden test?

Hvornår er et udsving for stort til at være tilfældigt? Med 60 terningkast forventer du ti af hver slags, men du forventer ikke præcis ti. At seksere dukker op 13 gange og femmere 7 gange kan sagtens ske med en fair terning. Du har brug for et tal, der gør det muligt at svare på spørgsmålet i stedet for at gætte, og det tal leverer chi i anden testen.

Ifølge Lex' artikel om chi i anden-test er der i reglen tale om en tilnærmelse, som kun er gyldig, når antallet af observationer er passende stort, og testen bruges især på kategoriserede data. Den kom til verden i 1900, da Karl Pearson foreslog den, og han viste samtidig, at teststørrelsen for store stikprøver kan approksimeres med en chi i anden-fordeling, som Lex' artikel om q-testen fortæller. Du møder den også under navnet Pearsons chi i anden test, eller bare \( \chi^2 \)-test.

Hvorfor ikke bare kigge på forskellene? Fordi tre seksere for meget er mange i en serie på 60 kast og næsten ingenting i en serie på 6000. Det er ikke den rå forskel, der tæller, men forskellen i forhold til det forventede og i forhold til stikprøvens størrelse. Præcis det indbygger testen i sin formel.

Goodness of fit, uafhængighedstest og homogenitetstest

Terningen og en tabel over drenges og pigers fritidsinteresser ligner hinanden, men de stiller to forskellige spørgsmål. Med terningen har du én variabel, antal øjne, og du ved på forhånd, hvilken fordeling du forventer. Med tabellen har du to variable, og du spørger, om de hænger sammen.

Regnemetoden er den samme i alle tre. Forskellen ligger i, hvordan du finder de forventede værdier, og hvor mange frihedsgrader du får. Den danske Wikipedia-artikel om chi i anden-test opdeler testen på netop denne måde. I gymnasiet er det oftest goodness of fit-testen og uafhængighedstesten, du skal kunne, så dem bruger vi som gennemgående eksempler.

Hvordan ved du, hvilken test du skal bruge? Spørg dig selv, hvor mange variable du har. Én variabel og en forventet fordeling betyder goodness of fit. To variable i en tabel betyder uafhængighed, hvis du har taget én samlet stikprøve og bagefter delt den op, og homogenitet, hvis du på forhånd har trukket separate stikprøver fra hver gruppe. Regnemæssigt er du i mål med den samme formel, så forvekslingen koster sjældent point, så længe du formulerer hypoteserne rigtigt.

Nulhypotese og signifikansniveau: hvad tester du egentlig?

Du mistænker terningen. Men 60 kast kan ikke bevise, at den er falsk. Du kan derimod spørge: hvis terningen var fair, hvor sjældent ville jeg så se noget så skævt som det her? Det er logikken i enhver hypotesetest, og den gælder også for chi i anden testen.

Nulhypotesen \( H_0 \) er den kedelige påstand: terningen er fair, eller køn og fritidsaktivitet er uafhængige. Den alternative hypotese \( H_1 \) siger det modsatte. Du forsøger altid at forkaste nulhypotesen, du forsøger aldrig at bevise den.

Signifikansniveauet \( \alpha \) er den grænse, du sætter, før du kigger på resultatet. Oftest vælger man 5 %. Det betyder, at du accepterer en risiko på 5 % for at forkaste en nulhypotese, der i virkeligheden er sand. Vælger du grænsen bagefter, så den passer til dit resultat, er hele testen spoleret.

For terningen skriver du hypoteserne som \( H_0: P(1) = P(2) = \dots = P(6) = \frac{1}{6} \) og \( H_1 \): mindst én sandsynlighed er forskellig. For fritidstabellen er \( H_0 \), at køn og valg af aktivitet er uafhængige, og \( H_1 \), at der er en sammenhæng. Læg mærke til, at \( H_1 \) ikke siger, hvilken slags forskel der er. Testen kan kun fortælle, at noget afviger.

Forventede værdier: hvad ville tilfældet give?

Kaster du en fair terning 60 gange, forventer du \( 60 \cdot \frac{1}{6} = 10 \) af hver slags. Det er den nemme udgave. Med to variable bliver det lidt mere finurligt, men tanken er den samme: hvad ville tallene være, hvis ingenting hang sammen?

Se på tabellen i eksemplet længere nede. Der er 80 drenge blandt 150 elever, og 50 af de 150 elever foretrækker sport. Hvis køn er ligegyldigt, skal sport have \( \frac{50}{150} \) af drengene, altså \( 80 \cdot \frac{50}{150} \approx 26{,}67 \) drenge. Det er det forventede antal, selv om du naturligvis ikke kan have 0,67 af en dreng. Det forventede tal må gerne have decimaler.

Et hurtigt tjek sparer dig for mange fejl: De forventede værdier skal give samme sum som de observerede, både samlet og række for række. Passer summerne ikke, har du regnet en celle forkert.

Teststørrelsen Q: sådan måler du afvigelsen

Tilbage til terningen. De observerede antal var 8, 9, 12, 11, 7 og 13, og du forventer 10 af hver. Afvigelserne er \( -2, -1, 2, 1, -3 \) og \( 3 \). Lægger du dem sammen, får du nul, fordi de ophæver hinanden. Derfor kvadrerer du dem først. Bagefter dividerer du med det forventede antal, så en afvigelse på 3 vejer tungere, når du kun forventer 10, end når du forventer 1000.

Nu kan du se, hvad formlen egentlig gør. Den måler den samlede, vægtede afstand mellem virkelighed og forventning.

Q er nul, hvis alle observerede antal rammer de forventede præcist. Jo større Q, jo dårligere passer dine data til nulhypotesen. Husk dog, at værdien afhænger af, hvordan data er inddelt i kategorier, og at tilnærmelsen kræver nok data, hvilket NIST's Engineering Statistics Handbook også gør opmærksom på.

Hvis nulhypotesen er sand, svinger Q omkring et lille tal, og værdierne følger tilnærmelsesvist en chi i anden-fordeling. Det er derfor, du kan slå op i netop den fordeling for at finde p-værdien. Gennemsnittet for Q er lig med antallet af frihedsgrader, så med 5 frihedsgrader forventer du en Q omkring 5. Terningens 2,8 ligger i den lave ende, og det passer godt med en fair terning.

Frihedsgrader: hvor mange tal kan du vælge frit?

Skal du fordele 60 kast på seks sider, hvor mange af sidernes antal kan du så vælge helt frit? Fem. Det sjette ligger fast, fordi de seks tal skal give 60 til sammen. Derfor har terningtesten 5 frihedsgrader.

Til tabellen med 2 rækker og 3 søjler får du \( (2-1)(3-1) = 2 \) frihedsgrader. Tænk på det sådan: Du kan slette en hel række og en hel søjle fra tabellen og stadig genskabe tallene ud fra totalerne. Mere kan du ikke slette uden at miste information.

Frihedsgraderne bestemmer også kurvens form. \( \chi^2 \)-fordelingen er skæv, og den flader ud og flytter sig mod højre, når frihedsgraderne vokser. Arealet under kurven er 1, ligesom for normalfordelingen, men i modsætning til den ændrer formen sig med antallet af frihedsgrader.

p-værdi og kritisk værdi: sådan konkluderer du

Du har to veje til samme konklusion, og de kan ikke give forskellige svar. Den ene er at sammenligne Q med en kritisk værdi. Den anden er at finde p-værdien.

Kritisk værdi først. Med 5 frihedsgrader og et signifikansniveau på 5 % er den kritiske værdi 11,07. Terningens Q var 2,8, altså langt under, så du kan ikke forkaste nulhypotesen. Var Q i stedet blevet 15, ville du have forkastet den.

p-værdien er sandsynligheden for at få en teststørrelse mindst lige så stor som din, hvis nulhypotesen er sand. For \( Q = 2{,}8 \) og 5 frihedsgrader er \( p \approx 0{,}73 \). Med en fair terning ville ca. 73 % af alle serier på 60 kast se mindst lige så skæve ud som din. Det er slet ikke mistænkeligt. Sammenligner du med \( \alpha = 0{,}05 \), er p langt over grænsen, og du kan ikke forkaste \( H_0 \).

Statistisk signifikant er heller ikke det samme som vigtigt. Med en meget stor stikprøve bliver selv små afvigelser signifikante, fordi Q vokser med antallet af observationer. En forskel uden praktisk betydning kan give en p-værdi under 0,01, hvis du har 10.000 observationer. Omvendt kan en stor forskel i en lille stikprøve slippe igennem med en høj p-værdi. Kig derfor på tabellen og størrelsen af afvigelserne, ikke kun på p.

Vælg den vej, din opgave beder om. Kræver opgaven en kritisk værdi, skal du kunne slå den op og sammenligne. Beder den om en p-værdi, bruger du værktøj. Til den mundtlige prøve er det en god idé at kunne begge dele og forklare, at de er to sider af samme sag: Er Q større end den kritiske værdi, er p mindre end \( \alpha \).

Goodness of fit, når sandsynlighederne er forskellige

En terning er et særtilfælde, fordi alle udfald er lige sandsynlige. Oftere har du en fordeling med ulige andele, og så skal de forventede værdier regnes med de rigtige sandsynligheder.

Forestil dig, at en kommune hævder, at 50 % af skolebørnene cykler i skole, 30 % tager bussen, og 20 % går. Du spørger 200 elever og får 90 cyklister, 70 buspassagerer og 40 gående. De forventede antal er \( 200 \cdot 0{,}50 = 100 \), \( 200 \cdot 0{,}30 = 60 \) og \( 200 \cdot 0{,}20 = 40 \).

Der er tre kategorier, så du har 2 frihedsgrader, og den kritiske værdi ved 5 % er 5,99. Q er 2,67, og p-værdien er cirka 0,26, så du kan ikke forkaste kommunens påstand. De gående bidrager med nul, fordi observationen rammer forventningen præcist, mens cyklister og buspassagerer trækker Q op. Bemærk, at kommunens tal ikke er bevist rigtige. Din stikprøve strider bare ikke imod dem.

Uafhængighedstest trin for trin: et komplet eksempel

En lærer spørger 150 elever, hvad de helst bruger fritiden på: sport, musik eller gaming. Kigger du på tallene, ser det ud til, at drengene hælder mod gaming og pigerne mod musik. Men er forskellen rigtig, eller skyldes den tilfældig variation i stikprøven?

Testen fortæller, at der er en sammenhæng, men ikke hvilken. Det kan du aflæse af tabellen: Drenge vælger gaming oftere end forventet, og piger vælger musik langt oftere end forventet. Husk også, at en sammenhæng i en stikprøve på 150 elever ikke i sig selv forklarer, hvorfor den er der.

Prøv selv med en tabel, hvor drenge og piger fordeler sig præcis ens, fx 24, 16 og 40 for drenge og 21, 14 og 35 for piger. Så bliver alle forventede værdier lig med de observerede, Q bliver 0, og p-værdien bliver 1. Det er den ene yderlighed. Jo mere tabellen skælver væk fra den, jo større bliver Q.

1. 1

   Opstil H0 og H1, og vælg α

   Formuler nulhypotesen som en konkret påstand om uafhængighed eller en bestemt fordeling, og vælg signifikansniveau, typisk 5 %.

2. 2

   Find de forventede værdier

   Brug rækketotal gange søjletotal divideret med samlet total, eller n gange sandsynligheden i goodness of fit.

3. 3

   Beregn teststørrelsen Q

   Beregn (O minus E) i anden divideret med E for hver celle, og læg bidragene sammen.

4. 4

   Bestem antal frihedsgrader

   Brug k minus 1 til goodness of fit og (r minus 1) gange (c minus 1) til uafhængighedstest.

5. 5

   Find kritisk værdi eller p-værdi

   Slå op i en tabel, eller brug GeoGebra, til at finde enten den kritiske værdi eller p-værdien.

6. 6

   Konkluder i et klart sprog

   Forkast H0, hvis Q er større end den kritiske værdi, eller hvis p er mindre end α. Ellers kan H0 ikke forkastes.

Få en tutor til at gennemgå netop dine opgaver, 1:1 og i dit tempo. Prøvetime for 99 kr., ingen binding.

Homogenitetstest: er grupperne ens?

Hvad hvis du ikke har én samlet stikprøve, men tre grupper, som du selv har trukket hver for sig? Fx 50 elever fra hver af 1.g, 2.g og 3.g, der alle svarer på, om de dyrker motion regelmæssigt. Så spørger du ikke, om to variable hænger sammen. Du spørger, om de tre grupper har samme fordeling.

Nulhypotesen siger, at fordelingen af svar er den samme i alle tre grupper. Du finder de forventede værdier som i uafhængighedstesten: rækketotal gange søjletotal divideret med samlet total. Med 3 grupper og 2 svarmuligheder får du en tabel med 3 rækker og 2 søjler og \( (3-1)(2-1) = 2 \) frihedsgrader. Fordi hver gruppe har 50 elever, kan du kontrollere dine forventede værdier ved at tjekke, at hver rækkes forventede værdier summerer til 50.

Konklusionen skrives lidt anderledes. Forkaster du nulhypotesen, siger du, at mindst én gruppe afviger fra de andre. Du siger ikke, at alle grupper er forskellige, og du skal kigge i tabellen for at se, hvilken gruppe der trækker Q op.

Chi i anden test i GeoGebra og andre værktøjer

Til eksamen regner du sjældent hele testen i hånden. Du bruger et værktøj, men du skal stadig kunne forklare, hvad det gør. Det er også det, en censor lytter efter. Resultatet fra GeoGebra skal passe med dit håndregnede, og hvis det ikke gør, har du som regel tastet tabellen forkert ind.

I GeoGebra finder du chi i anden testen under Sandsynlighed og Statistik. Vælg Chi²-test til en tabel (uafhængighed) eller Goodness of Fit-test til én række observationer. Du indtaster de observerede værdier, og programmet viser forventede værdier, teststørrelsen og p-værdien. Vil du se p-værdien som et areal, åbner du i stedet regneren til fordelinger, vælger Chi i anden, sætter den til højresidet og indtaster frihedsgrader og Q. Det farvede område til højre for Q er p-værdien.

I en besvarelse skriver du, hvilken test du har valgt og hvorfor, hvilke hypoteser du tester, og at du har brugt værktøj til at finde Q og p. Aflæs tallene, men oversæt dem selv til en konklusion. Et skærmbillede uden forklaring giver sjældent fuld point.

Regneark kan også klare opgaven. Ifølge Wikipedia-artiklen om chi i anden-test har Excel en indbygget kommando, chifordeling, der tager teststørrelsen og frihedsgraderne og returnerer p-værdien.

Chi i anden test eller binomialtest?

Hvis du bare vil undersøge, om en terning slår seks for ofte, skal du ikke bruge chi i anden testen. Så har du kun to udfald: seks eller ikke seks. Det er en binomialtest.

Chi i anden testen tager over, når du har flere end to kategorier. Den danske Wikipedia-artikel om chi i anden-test fremhæver netop, at du i modsætning til binomialtesten kan arbejde med et større antal hændelser end to. Vil du se, hvordan hypotesetest ser ud for to udfald, kan du læse om binomialfordelingen.

Sådan skriver du en god konklusion

Sammenlign to besvarelser. Den første slutter med: Q er 18,08, så H0 forkastes. Den anden slutter med: Q er 18,08, og den kritiske værdi er 5,99. Fordi Q er større, forkaster vi H0, og der er en signifikant sammenhæng mellem køn og valg af fritidsaktivitet i stikprøven. Kun den anden viser, at du forstår testen.

En god konklusion indeholder fire ting: sammenligningen (Q mod kritisk værdi, eller p mod \( \alpha \)), beslutningen (forkast eller forkast ikke), en oversættelse til virkeligheden og en bemærkning, hvis noget gør tolkningen usikker, fx at nogle forventede værdier er små, eller at stikprøven ikke er tilfældigt udvalgt.

Pas på ordet bevist. En forkastet nulhypotese betyder, at data er svære at forene med nulhypotesen, ikke at du har fundet sandheden. Statistik arbejder med usikkerhed, og dit sprog skal vise, at du ved det.

Typiske fejl og forudsætninger

Regnestykket er sjældent problemet. Det er fortolkningen, der går galt, og det er de samme fejl, der går igen.

Er tabellen 2 gange 2 og stikprøven lille, bruger statistikere nogle gange Yates' kontinuitetskorrektion eller Fishers eksakte test, som den engelske Wikipedia-artikel om chi-i-anden-test forklarer. På gymnasieniveau skal du sjældent bruge dem, men det er godt at vide, at testen har sine grænser.

Selve inddelingen i kategorier kan også snyde dig. Slår du to kategorier sammen eller deler dem på en anden måde, ændrer både Q og frihedsgraderne sig. Beslut dig for kategorierne, før du ser data, og begrund valget, hvis du slår små kategorier sammen.

Endelig skal hver observation tælle én gang. Spørger du den samme elev to gange, eller tæller du søskende fra samme klasse som uafhængige svar, bryder du en forudsætning, og p-værdien er ikke længere til at stole på.

Chi i anden test til eksamen og i andre fag

Gregor Mendel talte 556 ærter og fik 315 runde gule, 108 runde grønne, 101 rynkede gule og 32 rynkede grønne. Forholdet 9:3:3:1 giver forventningerne 312,75, 104,25, 104,25 og 34,75. Regner du Q ud, får du omkring 0,47. Med 3 frihedsgrader er den kritiske værdi 7,81, så tallene passer smukt til teorien. Det er goodness of fit-testen brugt i biologi, og samme tankegang bruger samfundsfag, når en undersøgelse spørger, om uddannelsesniveau hænger sammen med politisk holdning.

I samfundsfag laver du en tabel med uddannelsesniveau i rækkerne og partiblok i søjlerne, finder de forventede værdier og kører testen. Med 3 uddannelsesgrupper og 2 blokke har du 2 frihedsgrader. Husk, at en signifikant sammenhæng ikke er det samme som årsag: Testen viser, at de to variable følges ad, ikke at den ene forårsager den anden.

I matematik skal du som regel kunne gennemføre testen med værktøj og forklare resultatet. UVMs læreplan for matematik B på stx kræver blandt andet, at du kan anvende statistiske modeller på data fra andre fagområder, gennemføre hypotesetest og formulere konklusioner i et klart sprog. Det sidste punkt er det, mange taber point på. Skriv derfor altid en sætning, som en person uden for faget kan forstå.

Til den mundtlige prøve gælder det samme. Du skal kunne forklare, hvorfor du dividerer med det forventede antal, hvad frihedsgraderne tæller, og hvad p-værdien betyder, ikke bare at du har trykket på de rigtige knapper. Mere hjælp til statistik og de øvrige emner på gymnasiet finder du under matematik på Toptutors, og vil du gennemgå dine egne opgaver sammen med en tutor, kan du booke en prøvetime uden binding.