Omvendt proportionalitet: formel, graf og eksempler

Omvendt proportionalitet lyder som noget, der kræver en formel, men du kender det allerede fra frokostpausen. Tolv æbler skal deles mellem eleverne. Er I to, får I seks hver. Er I tre, får I fire hver. Er I seks, bliver det til to hver, og er I tolv, får I ét hver. Jo flere der skal dele, jo mindre får den enkelte. Du støder på præcis samme mønster i opgaver om fart og tid, i fysik og i kemi.

Ligefrem proportionalitet er den slags sammenhæng, hvor x og y følges ad: Fordobler du den ene, fordobles den anden. Her trækker de i hver sin retning. Fordobler du antallet af elever, halveres antallet af æbler pr. elev. Hold fast i æblerne et øjeblik endnu, for de gemmer hele pointen. Gang tallene i hver række sammen: \( 2 \cdot 6 \), \( 3 \cdot 4 \), \( 6 \cdot 2 \) og \( 12 \cdot 1 \) giver alle sammen 12. Det er nøglen, som du skal bruge resten af vejen.

Hvad er omvendt proportionalitet?

Tilbage til æbletabellen. Antallet af elever kalder vi x, og antallet af æbler pr. elev kalder vi y. Produktet \( x \cdot y \) er 12 i hver eneste række. Når to størrelser opfører sig sådan, kalder vi dem omvendt proportionale.

Tallet a kaldes proportionalitetskonstanten eller proportionalitetsfaktoren. I æbleeksemplet er \( a = 12 \), fordi der er 12 æbler at dele ud. Havde der været 20 æbler, var \( a = 20 \). Kravet om, at \( x \neq 0 \), er ikke bare matematisk pedanteri: Du kan ikke dele 12 æbler mellem nul elever. Det passer med det, som Lex skriver om omvendt proportionalitet: Den ene størrelse bliver k gange så lille, når den anden bliver k gange så stor, og derfor er produktet af x og y konstant.

Hvorfor hedder det omvendt? Ved ligefrem proportionalitet er forholdet \( \frac{y}{x} \) fast. Ved omvendt proportionalitet er det i stedet y og \( \frac{1}{x} \), der hænger sammen med en fast faktor, for \( y = a \cdot \frac{1}{x} \). Du kan altså også sige, at y er ligefrem proportional med \( \frac{1}{x} \). Den omskrivning er guld værd, når du vil kontrollere en sammenhæng med lommeregneren: Regn \( \frac{1}{x} \) ud for hver række og se, om y følger med i et fast forhold. Konstanten a behøver heller ikke være et helt tal. Med \( a = 2{,}5 \) får du \( y = \frac{2{,}5}{x} \), og tabellen bliver bare lidt mindre pæn. Er a negativ, vender hyperblen den anden vej, men reglen om det konstante produkt gælder stadig.

Sådan finder du forskriften ud fra en tabel

Du får en tabel i en opgave og skal afgøre, om sammenhængen er omvendt proportional. Hvad gør du først? Du ganger x og y sammen i hver række. Er produktet det samme hele vejen, er svaret ja, og produktet er din konstant a. Er det ikke, handler opgaven om en anden slags sammenhæng. Det er hele testen, og den tager under et minut.

1. 1

   Gang x og y i hver række

   Regn \( x \cdot y \) for alle sammenhørende værdier. Alle produkter skal være ens.

2. 2

   Aflæs konstanten

   Det fælles produkt er a. Er produkterne forskellige, er sammenhængen ikke omvendt proportional.

3. 3

   Skriv forskriften

   Sæt a ind i \( y = \frac{a}{x} \).

4. 4

   Beregn det, opgaven spørger om

   Sæt den kendte værdi ind. Kender du y og leder efter x, bruger du \( x = \frac{a}{y} \).

Prøv også den omvendte vej. Hvis opgaven spørger, hvilket x der giver \( y = 2 \), vender du ligningen om: \( x = \frac{36}{2} = 18 \). Kender du kun ét sammenhørende par, rækker det også. Hvis 5 pumper tømmer en tank på 8 timer, er \( a = 5 \cdot 8 = 40 \) pumpetimer. Med 10 pumper tager det \( \frac{40}{10} = 4 \) timer. Det ene par er nok til at bestemme hele sammenhængen.

Læg mærke til, at x-værdierne i tabellen ikke vokser jævnt. De hopper fra 2 til 3, til 4 og til 6, og alligevel holder produktet. Mange overser netop det: Du tester ikke, om x vokser med et fast tal, men om produktet er ens. Opgaver kan også gemme parret i en tekst i stedet for i en tabel. Står der, at 4 malere maler et hus på 9 dage, har du allerede dit par, og a er \( 4 \cdot 9 = 36 \) maler-dage. Hvor lang tid tager det med 6 malere? Det bliver \( \frac{36}{6} = 6 \) dage. Tallene er de samme som i tabellen, men nu har de fået et ansigt.

Hyperblen: sådan ser grafen ud

Ligefrem proportionalitet giver en ret linje gennem origo. Omvendt proportionalitet giver noget helt andet: en bue, der svinger ned mod x-aksen og op mod y-aksen uden nogensinde at røre dem. Den kurve hedder en hyperbel. Sæt punkterne fra æbletabellen ind i et koordinatsystem, (2, 6), (3, 4), (4, 3) og (6, 2), og du kan næsten se kurven tage form.

Grafen har to grene. Når a er positiv, ligger den ene gren i første kvadrant, hvor både x og y er positive, og den anden i tredje kvadrant, hvor begge er negative. Er a negativ, ligger grenene i anden og fjerde kvadrant. I opgaver om æbler, tid og penge bruger du kun grenen med positive værdier, for du kan ikke have et negativt antal elever. Se på de to kurver ovenfor: Jo større a er, des længere ligger hyperblen fra akserne. Kurven for \( y = \frac{12}{x} \) ligger over kurven for \( y = \frac{4}{x} \) i første kvadrant. Grafen skærer hverken x-aksen eller y-aksen, fordi \( x = 0 \) er udelukket, og fordi \( \frac{a}{x} \) aldrig kan blive 0, når a er forskellig fra 0. Vil du eksperimentere selv, kan du skrive a/x ind i GeoGebra og lave en skyder for a.

Når du aflæser grafen, skal du lægge vanen fra lineære funktioner på hylden. Du kan ikke sige, at y falder med et fast tal for hvert skridt på x-aksen. Til gengæld kan du aflæse sammenhørende værdier og tjekke dem mod produktet. Ligger punktet (2, 6) på kurven for \( y = \frac{12}{x} \), skal \( 2 \cdot 6 = 12 \) passe, og det gør det. Kurven er stejl tæt på y-aksen, hvor små ændringer i x giver store ændringer i y, og meget fladere langt ude ad x-aksen, hvor y knapt rykker sig. Det forklarer, hvorfor de første ekstra elever i en gruppe gør mest forskel for, hvor meget hver får, mens elev nummer hundrede og én næsten ikke kan mærkes.

Ligefrem eller omvendt: sådan kan du se forskel

To elever gør rent efter en fest, og det tager dem 6 timer. Kommer der to hjælpere til, så de er fire i alt, tager det kun 3 timer. Flere hænder, kortere tid: Det er omvendt proportionalitet. Skift nu scene. Hver elev tjener 120 kr. for en vagt. To elever tjener 240 kr. sammen, fire elever tjener 480 kr. Flere elever, flere penge: Det er ligefrem proportionalitet. Spørgsmålet, du skal stille dig selv, er altså, om de to størrelser går i samme retning eller trækker modsat.

Omvendt proportionalitet i hverdag, fysik og kemi

Du skal køre 100 km. Kører du 50 km/t, tager det 2 timer. Kører du 100 km/t, tager det 1 time. Fordobler du farten, halveres tiden, og produktet af fart og tid er hele tiden strækningen på 100 km. Forskriften bliver \( t = \frac{100}{v} \). Samme struktur gælder, når du fordeler en fast sum penge, en fast mængde arbejde eller et fast antal pizzaer mellem flere personer.

I fysik og kemi finder du sammenhængen i en af de mest kendte gaslove. Presser du luften sammen i en cykelpumpe og holder temperaturen konstant, stiger trykket, mens rumfanget falder. Boyle-Mariottes lov beskriver netop, at tryk og rumfang for en indespærret gas er omvendt proportionale, så produktet \( p \cdot V \) er konstant.

Elektriske kredsløb viser den samme tendens. Ved en fast spænding på 230 V er strømstyrken \( I = \frac{230}{R} \). Med en modstand på 46 ohm løber der 5,0 ampere. Halverer du modstanden til 23 ohm, fordobles strømmen til 10 ampere. Her er spændingen proportionalitetskonstanten a. I virkeligheden gælder den slags love kun, når alt andet holdes fast: temperaturen i gasloven og spændingen i eksemplet med strømmen.

Mange sammenhænge i naturvidenskab har netop denne form, fordi de handler om at fordele noget fast: en strækning, en mængde gas eller en spænding. Det betyder, at konstanten a ofte har en fysisk enhed. I gaseksemplet er den bar gange liter, og i strømeksemplet er den volt. Husk enheden med, når du opskriver svaret. Mister du den undervejs, mister du også overblikket over, hvad tallet egentlig fortæller.

Når x vokser med en procent, hvad sker der så med y?

En klasse samler ind til en fælles gave til 600 kr. Er I 20 elever, giver hver 30 kr. Kommer der fem elever mere, er I 25, og så giver hver kun 24 kr. Antallet af elever steg med 25 %, men beløbet pr. elev faldt med 20 %, ikke 25 %. Det overrasker mange. Forklaringen ligger i faktorerne: Stiger x med 25 %, ganges det med 1,25. Så skal y divideres med 1,25, og det er det samme som at gange med 0,8.

Faktoren 0,8 svarer til et fald på 20 %. Skal du have opfrisket, hvordan procentændringer og fremskrivningsfaktorer fungerer, kan du læse vores guide til procentregning. Reglen for omvendt proportionalitet er, at hvis x ændres med faktoren k, så ændres y med faktoren \( \frac{1}{k} \).

Prøv reglen af med endnu et tal. Hvis antallet af elever bliver tre gange så stort, får hver kun en tredjedel af gaven at bidrage med. Bliver antallet halvt så stort, skal hver betale dobbelt. Du behøver ikke starte forfra med hele regnestykket hver gang. Det er nok at kende faktoren for x og vende den på hovedet, og så er du i mål med y. Det gør mange opgaver til få sekunders arbejde.

Omvendt proportionalitet er ikke en lineær funktion, selvom du måske har arbejdet meget med dem. En lineær funktion ændrer sig med et fast tal for hvert skridt på x-aksen. Omvendt proportionalitet falder hurtigt til at begynde med og flader derefter ud. I gymnasiet møder du forskriften som en potensfunktion, \( y = a \cdot x^{-1} \), hvor eksponenten er \( -1 \). Sammenhænge mellem variable er en fast del af matematikfaget i folkeskolen, som Undervisningsministeriets materialer på EMU viser, så det er et emne, du får brug for igen og igen.

Måske har du set udtrykket \( \frac{a}{x} \) som en brøk i et helt andet kapitel. Det er ikke tilfældigt. En brøk med x i nævneren opfører sig præcis som omvendt proportionalitet, så længe tælleren er en konstant. Er tælleren selv afhængig af x, som i \( \frac{x+1}{x} \), er det ikke længere omvendt proportionalitet, selv om x stadig står nedenunder. Det kan du afprøve på et minut: Indsæt x = 1, 2 og 4, og se, at produkterne bliver 2, 3 og 5 i stedet for tre ens tal.

Sådan spotter du det i en tekstopgave

Tekstopgaver siger sjældent, at nu kommer der omvendt proportionalitet. Du må læse efter, hvad der er fast. Står der, at en strækning er fast, kender du allerede a: Det er strækningen. Er det en fast sum penge, en fast mængde arbejde eller en fast mængde gas, er det igen den faste størrelse, der bliver a. Spørg dig selv: Hvad ændrer sig ikke, uanset hvordan jeg skruer på x?

Tag en opgave: En lærer har 48 blyanter, der skal deles ligeligt i klassen. Hvor mange får hver, hvis I er 24? Og hvis I er 16? Den faste størrelse er 48 blyanter, så \( y = \frac{48}{x} \). Med 24 elever får hver 2 blyanter. Med 16 elever får hver 3. Færre elever giver flere blyanter pr. elev, præcis som ventet. Kan du sige den sætning højt, har du forstået sammenhængen, og så er regnestykket kun en formsag.

Lav en kontrolregning, når du har regnet. Når x vokser, skal y blive mindre, og omvendt. Får du ved \( y = \frac{48}{x} \) et resultat større end 48 for en x-værdi over 1, er der noget galt. Prøv også at gange dit resultat med x igen. Giver det ikke konstanten, har du enten regnet forkert eller brugt den forkerte formel. Den lille kontrol tager ti sekunder og fanger de fleste regnefejl, før de når frem til din lærer.

Typiske fejl

Idéen er nem nok at forstå. Det er detaljerne, der vælter folk, og fejlene går igen fra opgave til opgave. Hvis du kender dem på forhånd, kan du fange dem, før de koster point.