Ligefrem proportionalitet: forstå y = ax med eksempler og graf

Du er i supermarkedet og skal købe mango. En enkelt mango koster 15 kr. To mangoer koster 30 kr., tre koster 45 kr. Prisen vokser i takt med antallet, og forholdet er hele tiden det samme. Det er ligefrem proportionalitet: to størrelser, der altid holder samme tempo.

Ligefrem proportionalitet dukker op overalt i matematikpensum: hastighed, benzinforbrug, valutaomregning, opskrifter. Formlen ser simpel ud, men der er et par finesser, der kan koste point til folkeskolens afgangsprøve, hvis du ikke er opmærksom.

Hvad er ligefrem proportionalitet?

En god tommelfingerregel: fordobler du x, fordobles y automatisk. Halverer du x, halverer y sig. Som dansk Wikipedia beskriver det, er to størrelser proportionale, hvis den ene er en konstant multipel af den anden. Det adskiller ligefrem proportionalitet fra en lineær funktion med et konstantled: ved y = 2x + 3 kan du fordoble x uden at y fordobles, fordi +3 forskyver resultatet.

Udtrykket 'ligefrem' signalerer, at sammenhængen er direkte: de to størrelser bevæger sig i samme retning og i samme tempo. Det modsatte begreb, omvendt proportionalitet, vender vi tilbage til sidst i artiklen.

Formlen y = ax

Hvad gemmer sig bag de tre symboler? y er den størrelse, du vil beregne. x er den størrelse, du kender. Og a er det tal, der binder dem sammen, kaldet hældningskoefficienten.

Sæt tallene ind: a = 4 og x = 6 giver \( y = 4 \cdot 6 = 24 \). Fordobler du x til 12, fordobles y til 48. Skriver du formlen om til \( a = y / x \), er det en nyttig form, når du skal beregne a fra konkrete data.

a kaldes hældningskoefficienten.

Hældningskoefficienten, a

a er det vigtigste tal i formlen, men mange elever er usikre på, hvad det egentlig fortæller. a er forholdet \( y/x \). Det er det tal, y vokser med, hver gang x stiger med 1. Finder du a, kan du beregne y for enhver x-værdi, uanset om x er 0,5 eller 5.000.

1. 1

   Find et par af (x, y)-værdier

   Vælg et konkret datapunkt fra opgaven. Det kan komme fra en tabel, en situationsbeskrivelse eller et punkt på en graf.

2. 2

   Beregn a = y ÷ x

   Del y med x. Resultatet er hældningskoefficienten a.

3. 3

   Kontrollér med et andet par

   Beregn a for et andet datapunkt. Giver det den samme a-værdi, er sammenhængen ligefrem proportional.

4. 4

   Opstil forskriften

   Skriv y = a · x med den k-værdi, du har fundet.

Ligefrem proportionalitet i hverdagen

Tag en klassisk opgave fra folkeskolen: en bil kører 12 km på 1 liter benzin. Hvor langt kører den på 40 liter? Her er a = 12, og du kan beregne svaret direkte med y = a · x.

Opskrifter virker på nøjagtig samme måde. Skal du bage boller, og en opskrift til 12 styk kræver 300 g mel, er hældningskoefficienten a = 300 / 12 = 25 g mel pr. bolle. Vil du bage 30 boller, bruger du \( 25 \cdot 30 = 750 \) g mel.

Valutaomregning er et tredje eksempel. Er kursen 7,45 kr. pr. euro, er a = 7,45. Vil du omregne 200 euro, beregner du \( y = 7{,}45 \cdot 200 = 1490 \) kr. Hældningskoefficienten er selve valutakursen.

Grafen er en ret linje igennem origo

Hvad sker der, når du tegner \( y = ax \) ind i et koordinatsystem? Du får altid en ret linje, der skærer igennem origo, punktet (0, 0). Forklaringen er simpel: er x = 0, er y = a · 0 = 0.

Jo større k er, des stejlere er linjen. Grafen herunder viser to funktioner: \( y = 2x \) (grøn) og \( y = 0{,}5x \) (orange). Begge går igennem origo, men \( y = 2x \) stiger hurtigere. Aflæs a direkte fra grafen ved at vælge et punkt og beregne y/x.

En lineær funktion som \( y = 2x + 3 \) er ikke ligefrem proportional. Linjen skærer y-aksen i 3, ikke i 0. Det er en klassisk fejl til eksamen at forveksle de to. Tjekket er simpelt: skærer grafen origo? Nej? Så er det ikke ligefrem proportionalitet.

Ligefrem proportionalitet i en tabel

Mange opgaver giver dig en tabel med x- og y-værdier og spørger, om sammenhængen er ligefrem proportional. Tricket er at tjekke, om forholdet y/x er konstant for alle par. Khan Academys modul om proportionskonstanten giver masser af ekstra opgaver, hvis du vil øve dig.

1. 1

   Beregn y/x for hvert par

   Del y-værdien med den tilhørende x-værdi for alle par i tabellen. Skriv kvotienten ned.

2. 2

   Er alle kvotienter den samme?

   Hvis ja, er sammenhængen ligefrem proportional. k er den fælles kvotient.

3. 3

   Er der variationer?

   Hvis kvotienten varierer fra par til par, er sammenhængen ikke ligefrem proportional. Den kan stadig være lineær (tjek med y = ax + b) eller slet ingen simpel funktion.

Ligefrem og omvendt proportionalitet

Du har bagt en kage, der skal deles ligeligt. Jo flere personer til festen, des mindre bliver hvert stykke. Her bevæger de to størrelser sig i modsat retning. Det er omvendt proportionalitet, og tabellen herunder viser de to typer side om side.

Proportionalitetsbegreberne bruges desuden som fundament for procentregning: at beregne en procentdel er i bund og grund at arbejde med en ligefrem proportional sammenhæng, hvor a svarer til procentsatsen divideret med 100. Som EMU Danmarks Læringsportal for matematik bekræfter, er proportionalitet et kernebegreb i folkeskolens matematikpensum.