Standardafvigelse: formel, beregning og fortolkning

Anna og Bo har begge 7 i gennemsnit efter fem prøver, men standardafvigelsen afslører, at de er helt forskellige elever. Anna har ramt tæt på 7 hver eneste gang. Bo har svinget fra 2 helt op til 12. Hvis din lærer kun kigger på gennemsnittet, ser de to elever ens ud. Det er de ikke.

Et gennemsnit fortæller dig, hvor midten ligger. Det siger ingenting om, hvor langt fra midten tallene ofte havner. Det er præcis det, standardafvigelsen (også kaldet spredningen) måler, og den dukker op overalt i gymnasiet: i deskriptiv statistik, i normalfordelingen, i binomialfordelingen og i konfidensintervaller. Her regner du den ud i hånden, i Excel og på lommeregneren, og du lærer at se, hvad tallet faktisk betyder.

Hvad er standardafvigelse?

Se på Bos fem karakterer igen: 2, 4, 7, 10 og 12. Gennemsnittet er 7, men kun én af karaktererne rammer det. De andre ligger henholdsvis 5, 3, 3 og 5 point fra gennemsnittet. Standardafvigelsen koger alle de afstande ned til ét tal, der fortæller, hvor langt fra gennemsnittet en typisk observation ligger. For Bo bliver tallet cirka 3,7 point. For Anna, der har fået 6, 7, 7, 7 og 8, bliver det cirka 0,6 point. Et lille tal betyder, at observationerne klumper sig tæt om gennemsnittet. Et stort tal betyder, at de er spredt vidt omkring.

Ifølge Wikipedias artikel om standardafvigelse bruges begrebet i sandsynlighedsregning og statistik til at udtrykke, hvor meget en variabel fordeler sig omkring sin middelværdi. Fordi standardafvigelsen har samme enhed som variablen selv, er den lettere at fortolke end variansen. Måler du højder i centimeter, bliver spredningen også i centimeter. Det lyder som en lille detalje, men det er grunden til, at du næsten altid ender med at oplyse standardafvigelsen frem for variansen, når du skal fortælle noget om dine data.

Spredning og standardafvigelse er to ord for det samme tal, så du kan roligt bruge dem i flæng. På stx er emnet også en fast del af pensum: UVMs vejledning til læreplanen i matematik C nævner den instrumentelt beregnede stikprøvespredning som et af de spredningsbegreber, du skal kunne bruge til at beskrive og sammenligne data. Vil du have mere hjælp til faget som helhed, finder du overblik og øvelser under lektiehjælp i matematik.

Standardafvigelse formel: sådan regner du den ud

Lad os regne på Bos karakterer, før der står en eneste formel. Først finder du gennemsnittet: \( \frac{2+4+7+10+12}{5} = 7 \). Dernæst ser du, hvor langt hver karakter ligger fra 7. Du trækker gennemsnittet fra hver karakter og får minus 5, minus 3, 0, 3 og 5. Læg dem sammen, og du får 0. Det er ikke et tilfælde. Afvigelser under gennemsnittet æder altid afvigelserne over det, så summen af afvigelserne fortæller dig ingenting.

Løsningen er at kvadrere afvigelserne, så minustegnene forsvinder: 25, 9, 0, 9 og 25. Summen er 68. Del med antallet af karakterer, 5, og du får 13,6. Det tal kaldes variansen. Men 13,6 er målt i karakterpoint i anden, og det er svært at forestille sig. Derfor tager du kvadratroden til sidst: \( \sqrt{13{,}6} \approx 3{,}69 \). Bos standardafvigelse er altså 3,69 karakterpoint. Det var hele opskriften. Her står den som formel for en hel population:

1. 1

   Find gennemsnittet

   Læg alle observationerne sammen og del med antallet af observationer.

2. 2

   Træk gennemsnittet fra hver observation

   Du får en afvigelse for hver observation. Nogle er negative, andre positive.

3. 3

   Kvadrer afvigelserne

   Nu er alle tal positive, og store afvigelser tæller mere end små.

4. 4

   Find variansen

   Læg kvadraterne sammen og del med antallet af observationer.

5. 5

   Tag kvadratroden

   Kvadratroden af variansen er standardafvigelsen, og den har samme enhed som dine data.

Prøv samme procedure på Annas karakterer. Når du har regnet dem igennem, kan du mærke forskellen i tallene, ikke bare i princippet. Annas karakterer ligger så tæt på gennemsnittet, at kvadraterne næsten ingenting bidrager med.

Stikprøvespredning: hvorfor dividerer du med n minus 1?

Anna og Bo har kun skrevet fem prøver i år. Men hvad nu, hvis du gerne vil sige noget om, hvordan de klarer sig i alle de prøver, de nogensinde kommer til at skrive? Så er de fem prøver ikke hele sandheden, men et lille udsnit af den, og det kalder man en stikprøve. Med en stikprøve bruger du et lille trick: Du dividerer med \( n-1 \) i stedet for \( n \), og resultatet kaldes stikprøvespredningen \( s \).

For Bo giver det \( \frac{68}{4} = 17 \) og dermed \( s = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \). For Anna får du \( \frac{2}{4} = 0{,}5 \) og \( s \approx 0{,}71 \). Begge tal er lidt større end før, og det er meningen. Med få observationer har du sjældent været heldig at fange de mest ekstreme værdier, så den almindelige formel undervurderer spredningen i hele populationen. At dividere med et mindre tal pumper resultatet en smule op. Khan Academys gennemgang af population og stikprøve viser de samme seks trin som ovenfor, bare med division med én mindre end antallet af observationer i det næstsidste trin.

Forskellen mellem σ og s skrumper, jo flere observationer du har. Med fem karakterer er forskellen på 3,69 og 4,12 tydelig. Med 500 karakterer ville du næsten ikke kunne se den. På stx er det som regel stikprøvespredningen, dit værktøj regner ud, og det er derfor, at UVMs vejledning taler om den instrumentelt beregnede stikprøvespredning. Du skal altså sjældent selv dividere med \( n-1 \) i en opgave, men du skal vide, hvorfor værktøjet gør det, og hvilket af de to tal du kigger på.

Varians og standardafvigelse: hvad er forskellen?

Varians og standardafvigelse er to sider af samme sag, men de kan ikke byttes rundt uden videre. Forestil dig, at du måler højden på 30 klassekammerater i centimeter og får en varians på 49. Hvad er 49? Det er 49 kvadratcentimeter, en enhed, der hører til arealer og ikke til højder. Tager du kvadratroden, får du 7 centimeter, og pludselig giver tallet mening: De fleste i klassen ligger inden for en håndfuld centimeter fra gennemsnittet.

Kvadreringen har en bivirkning, som du bør kende. Store afvigelser tæller uforholdsmæssigt meget. Giv Anna én katastrofal prøve, så hendes karakterer bliver 6, 7, 7, 7 og 0. Gennemsnittet falder til 5,4, og standardafvigelsen springer fra 0,63 til 2,73. Én eneste prøve gør altså spredningen mere end fire gange så stor. Det passer med, hvad Wikipedia skriver om standardafvigelsen: Én stor afvigelse har større indflydelse end mange små. Gemmer der sig ekstreme værdier i dine data, så kig også på et boksplot, hvor kvartilerne ikke lader sig rokke af enkelte outliers.

Sådan fortolker du standardafvigelsen

Er en standardafvigelse på 7 stor eller lille? Det afhænger helt af, hvad du måler. 7 centimeter i højde er ganske almindeligt. 7 point på en test, hvor maksimum er 10, ville være enormt. Standardafvigelsen siger derfor først noget, når du sætter den i forhold til gennemsnittet og til sammenhængen, den kommer fra.

Hvis data er nogenlunde normalfordelt, kan du bruge en tommelfingerregel. Cirka 68 procent af observationerne ligger inden for én standardafvigelse fra gennemsnittet, cirka 95 procent inden for to og cirka 99,7 procent inden for tre. Har en årgang en gennemsnitshøjde på 180 centimeter og en standardafvigelse på 7 centimeter, ligger omkring to tredjedele altså mellem 173 og 187 centimeter. Det er den klokkeformede kurve, du ser herunder. Du kan læse meget mere om den i vores guide til normalfordeling.

Standardafvigelsen bliver mere håndgribelig, når du ser den som kurvens bredde. Med samme gennemsnit giver \( \sigma = 1 \) en høj og smal kurve, mens \( \sigma = 2 \) giver en lav og bred kurve. Arealet under begge kurver er 1, så når kurven breder sig ud, må den blive lavere. Spredningen afgør altså, om data klumper sig sammen eller flyder ud.

Standardafvigelse for grupperede observationer

Nogle gange har du ikke rå tal, men en tabel med intervaller. Du har spurgt 20 elever, hvor mange timer de bruger på lektier om ugen, og svarene står som grupper: 4 elever bruger mellem 0 og 2 timer, 10 elever mellem 2 og 4 timer, og 6 elever mellem 4 og 6 timer. Du kender ikke de præcise tal, så du lader hvert interval repræsentere sig selv med sit midtpunkt: 1, 3 og 5 timer. Derefter regner du, som om alle i intervallet lå lige i midten.

Det betyder, at hvert midtpunkt skal tælle med lige så mange gange, som der er elever i intervallet. Gennemsnittet bliver \( \frac{4 \cdot 1 + 10 \cdot 3 + 6 \cdot 5}{20} = 3{,}2 \) timer. Resultatet er et skøn, fordi du ikke kender de rigtige værdier, men det er et godt skøn, så længe intervallerne ikke er alt for brede.

Standardafvigelse i Excel og på lommeregner

Du skal ikke regne hver eneste standardafvigelse i hånden. På gymnasiet bruger du et værktøj, og så handler det om at vide, hvilken knap der giver hvad. Excel har to funktioner, og de svarer præcis til de to formler fra før: STDAFV.P giver σ, og STDAFV.S giver s. Selv når værktøjet regner for dig, er det dig, der vælger den rigtige version og fortolker svaret, ligesom UVMs vejledning understreger, at betydningen af de enkelte deskriptorer skal fortolkes ind i problemets kontekst.

1. 1

   Indtast data

   Skriv Bos karakterer 2, 4, 7, 10 og 12 i cellerne A1 til A5.

2. 2

   Beregn stikprøvespredningen

   Skriv =STDAFV.S(A1:A5) i en tom celle. Du får cirka 4,12.

3. 3

   Beregn populationens standardafvigelse

   Skriv =STDAFV.P(A1:A5) i en anden celle. Du får cirka 3,69.

4. 4

   Vælg den rigtige og skriv enheden

   Vurder, om dine data er hele populationen eller en stikprøve, og skriv enheden med i dit svar, fx karakterpoint eller centimeter.

På mange lommeregnere ligger de to tal side om side i statistikmenuen, ofte skrevet som \( \sigma_x \) og \( s_x \). Det er let at klikke forkert i travlhed, så gør det til en vane at regne et lille eksempel igennem og kontrollere, hvilket tal der er hvilket. Det tager ti sekunder, og det kan spare dig for et helt point til en prøve.

Standardafvigelse og binomialfordelingen

Du slår en mønt 100 gange. Du forventer omkring 50 kroner, men sjældent præcis 50. Hvor langt fra 50 kan du rimeligt havne? Her kommer standardafvigelsen i spil, selv om du ikke har en liste af målinger at regne på. Du kender nemlig sandsynlighederne på forhånd.

Når antallet af succeser følger en binomialfordeling med antalsparameter \( n \) og sandsynlighedsparameter \( p \), behøver du ikke regne afvigelser ud én ad gangen. Der findes en genvej. UVMs vejledning til læreplanen i matematik A nævner netop middelværdi og spredning som en del af arbejdet med binomialfordelingen. For møntkastet bliver spredningen \( \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5 \). Med reglen om to standardafvigelser ligger omkring 95 procent af forsøgene mellem 40 og 60 kroner. Vil du dykke ned i fordelingen, så læs vores guide til binomialfordeling.

Relativ standardafvigelse: når enhederne driller

Hvem er mest ustabil: en løber, hvis tid på 5 kilometer svinger med 2 minutter, eller en løber, hvis tid på en halvmaraton svinger med 8 minutter? 8 er større end 2, men det er også et langt længere løb. Du sammenligner æbler og pærer, hvis du kun ser på standardafvigelsen. Hvis gennemsnittet er 25 minutter på 5 kilometer og 110 minutter på halvmaraton, kan du i stedet se på, hvor stor spredningen er i forhold til gennemsnittet.

For 5 kilometer får du \( \frac{2}{25} \cdot 100\,\% = 8\,\% \), og for halvmaraton \( \frac{8}{110} \cdot 100\,\% \approx 7{,}3\,\% \). Halvmaraton har altså den største standardafvigelse, men den mindste relative. Løberen er i virkeligheden en anelse mere stabil på den lange distance. Der er dog en hage: Den relative standardafvigelse giver kun mening, når nul betyder ingenting. Temperaturer i grader celsius kan du ikke bruge den på, fordi nulpunktet er valgt tilfældigt.

Standardafvigelse i virkeligheden

Når du har fået øje på standardafvigelsen, begynder du at se den overalt. Et vejrprogram, der lover 18 grader plus minus 2, bruger en slags spredning. En producent af chokolade vil gerne have, at hver tavle vejer 100 gram med så lille en standardafvigelse som muligt, for ellers får kunderne enten for lidt eller for meget. En investor ser på, hvor meget en aktiekurs svinger, fordi svingningerne er et mål for risiko. Og i fysik og kemi bruger du spredningen på gentagne målinger til at vurdere, hvor meget du kan stole på dit resultat.

Karakterer er et oplagt eksempel. To klasser kan have samme gennemsnit på 7, men i den ene klasse har alle fået mellem 4 og 10, mens den anden har både 02 og 12. Læreren skal undervise de to klasser forskelligt. I den første klasse kan hun holde samme tempo for alle. I den anden skal nogle have ekstra hjælp, mens andre skal have udfordringer. Det er standardafvigelsen, der gør forskellen synlig.

Typiske fejl

De fleste fejl med standardafvigelse er ikke regnefejl. Det er misforståelser, der sniger sig ind, fordi formlen ser enklere ud, end den er. Her er de fire, der oftest koster point.