Decimaltal: regneregler, afrunding og omregning til brøk og procent

Du står i Netto med en liter mælk til 14,95 kr. og en pakke smør til 22,50 kr. Uden at tænke over det regner du med decimaltal, og du ved med det samme, at smørret er dyrest, og at du skal bruge omkring 40 kr. til de to varer. Alligevel er det netop her, mange elever i 5. til 9. klasse begynder at miste fodfæstet, for kommaet ændrer reglerne på måder, som hverdagen ikke altid forklarer.

Heldigvis følger decimaltal de samme logikker som de hele tal, du allerede kender. Der er bare én ekstra regel: kommaet skal stå det rigtige sted. Når du har pladsværdierne på plads, kan du sammenligne, regne og afrunde med dem og skifte frit mellem decimaltal, brøker og procent. Går du i 7. klasse, er det her præcis det stof, opgaverne handler om.

Hvad er et decimaltal?

Tænk på de 14,95 kr. for mælken. Tallet består af to dele: 14 hele kroner og 95 øre. Og øre er ikke bare vilkårlige småpenge. De er hundrededele af en krone, fordi der går 100 øre på en krone. Kommaet er skillelinjen mellem de to dele. Alt til venstre er hele enheder, og alt til højre er stykker af en enhed.

Danmark bruger komma som decimaltegn, mens England og USA bruger punktum, så 3,14 og 3.14 er det samme tal. Du ser ofte punktummet på lommeregnere og i engelske tekster, og det forvirrer mange i starten. Lex.dk om decimaltal beskriver et decimaltal som et tal skrevet i titalssystemet med en hel del efterfulgt af decimaler. Derfor kalder man også opbygningen for decimalsystemet. Emnet hører under tal og algebra i Fælles Mål for matematik, så du møder det igen og igen gennem hele grundskolen.

Pladsværdier: tiendedele, hundrededele og tusindedele

Hvad er egentlig forskellen på 0,5 og 0,05? Tallene ligner hinanden, men det ene er ti gange så stort som det andet. Forklaringen ligger i pladsen. Første plads efter kommaet hedder tiendedele, næste hedder hundrededele, og derefter kommer tusindedele. Hver plads er en tiendedel af pladsen til venstre for den, præcis som med enere, tiere og hundreder, bare i spejlbillede.

Du kan skrive tallet som en sum, hvor hvert ciffer får sin egen værdi:

Det besvarer også spørgsmålet fra før. I 0,5 står 5-tallet på tiendedelenes plads, så det er 5 tiendedele. I 0,05 står det på hundrededelenes plads, så det er 5 hundrededele. Og her er en lille detalje, der sparer dig for bøvl: du kan sætte nuller bag sidste decimal, uden at tallet ændrer sig. 3,5 er det samme som 3,50 og 3,500. De ekstra nuller siger bare nul hundrededele og nul tusindedele. Det udnytter du, når du skal lægge decimaltal sammen eller sammenligne dem.

Sammenlign decimaltal og placer dem på tallinjen

Hvilket tal er størst: 0,5 eller 0,45? Mange vælger 0,45, fordi 45 er større end 5. Det er den klassiske faldgrube. Med decimaltal er det ikke antallet af cifre, der afgør det, men pladsværdien.

Sådan gør du i stedet: Skriv tallene med lige mange decimaler. 0,5 bliver til 0,50. Nu sammenligner du 50 hundrededele med 45 hundrededele, og så er det let at se, at 0,5 er størst. Du læser tallene fra venstre mod højre og stopper ved det første ciffer, der er forskelligt. Er det ciffer større, er hele tallet større.

Tallinjen gør det synligt. Mellem 0 og 1 ligger uendeligt mange decimaltal, og du kan altid finde et nyt mellem to andre, for eksempel 0,475 mellem 0,45 og 0,5. Det adskiller decimaltal fra hele tal, hvor der ikke ligger noget mellem 4 og 5. Når du skal placere et decimaltal på tallinjen, deler du stykket mellem to hele tal op i ti lige store dele. Hver streg er så en tiendedel, og de næste decimaler finder du ved at dele igen.

Plus og minus med decimaltal

Vi bliver i Netto. Mælken koster 14,95 kr., og smørret koster 22,50 kr. Du stiller tallene op under hinanden, så komma står lige over komma, og lægger sammen kolonne for kolonne, ligesom med hele tal.

1. 1

   Stil op med komma under komma

   Skriv det ene tal over det andet, så kommaerne står i en lodret linje. Dermed står enere under enere og tiendedele under tiendedele.

2. 2

   Fyld op med nuller

   Hvis det ene tal har færre decimaler, sætter du nuller bag sidste decimal. Et helt tal får et komma og nuller, så 12 bliver til 12,00.

3. 3

   Regn fra højre mod venstre

   Læg sammen eller træk fra i hver kolonne. Husk at låne fra naboen til venstre, når du trækker fra.

4. 4

   Sæt kommaet i svaret

   Kommaet i resultatet skal stå lige under de andre kommaer.

Det går oftest galt, når tallene ikke har lige mange decimaler. Tallet 12 mangler jo kommaet. Heltal har et usynligt komma og uendeligt mange nuller bagved, så 12 er det samme som 12,00. Når du bruger den tankegang, er plus og minus med decimaltal ikke sværere end med hele tal.

Gange med decimaltal

Hvad er 0,3 gange 0,2? Mange svarer 0,6. Men tænk i stykker: Du tager 3 tiendedele af 2 tiendedele. Det er en lille del af en lille del, så svaret må være meget mindre end begge tal. Det rigtige svar er 0,06.

Her er tricket: Du ser bort fra kommaerne og ganger, som om det var hele tal. 3 gange 2 er 6. Derefter tæller du decimalerne i de to tal. Der er én i 0,3 og én i 0,2, altså to i alt. Så sætter du kommaet, så der er to decimaler i svaret, og 6 bliver til 0,06.

Lav altid et hurtigt overslag bagefter. 2,4 er lidt under 2,5, og 1,5 er halvanden. 2,5 gange 1,5 er omkring 3,75, så 3,6 er realistisk. Et overslag fanger de fleste kommafejl, før de koster dig point. Skal du gange med 10, 100 eller 1.000, er der en genvej: Kommaet rykker ét, to eller tre ciffer mod højre. 4,25 gange 100 er 425.

Divider decimaltal

Hvordan deler du 7,2 med 0,6? Det virker, som om kommaet står i vejen. Men du kan gange begge tal med det samme tal uden at ændre svaret. Hvis du deler 7,2 liter saft ud på glas à 0,6 liter, får du lige så mange glas, som hvis du deler 72 deciliter ud på glas à 6 deciliter. Mængden er den samme, du har bare skiftet enhed.

Reglen lyder altså: Gang begge tal med 10, 100 eller 1.000, så tallet, du deler med, bliver et helt tal. Derefter deler du som normalt. Deler du et decimaltal med et helt tal, for eksempel 8,4 med 4, behøver du ingen tricks. Du dividerer, som du plejer, og sætter kommaet i svaret, når du passerer kommaet i det tal, du deler. Resultatet er 2,1.

Afrunding af decimaltal

Når du taster pi på lommeregneren, viser den 3,14159265 og fortsætter i det uendelige. Du har sjældent brug for alle de decimaler, så du runder af. Spørgsmålet er altid det samme: Hvor mange decimaler vil du beholde? Svaret afgør, hvilket ciffer du kigger på.

1. 1

   Bestem antal decimaler

   Beslut, hvor mange decimaler svaret skal have, for eksempel to.

2. 2

   Kig på ét ciffer

   Se på cifret lige til højre for den sidste decimal, du vil beholde. Det er det eneste ciffer, der betyder noget.

3. 3

   Rund op eller ned

   Er cifret 0, 1, 2, 3 eller 4, bliver den sidste decimal stående. Er cifret 5, 6, 7, 8 eller 9, lægger du 1 til den sidste decimal.

4. 4

   Fjern resten

   Alle cifre til højre for den sidste decimal forsvinder.

Kig kun på ét ciffer. Mange kigger på alle de efterfølgende cifre og tænker, at 6,2478 vel må rundes op til 6,3. Det er forkert. Til én decimal er cifret efter 2-tallet stadig 4, så svaret er 6,2. Afrund heller ikke i flere trin. Hvis du først runder 6,247 til 6,25 og derefter 6,25 til 6,3, ender du et sted, hvor tallet ikke engang ligger tættest på. Start altid fra det oprindelige tal.

Fra decimaltal til brøk og brøk til decimaltal

En halv pizza og 0,5 pizza er præcis den samme mængde. Det er ikke tilfældigt. 0,5 betyder 5 tiendedele, og 5 tiendedele kan forkortes til en halv. Et decimaltal er i virkeligheden en brøk med 10, 100 eller 1.000 i nævneren, bare skrevet på en anden måde.

1. 1

   Tæl decimalerne

   0,75 har to decimaler.

2. 2

   Skriv tallet uden komma i tælleren

   Tælleren bliver 75.

3. 3

   Sæt 1 efterfulgt af lige så mange nuller i nævneren

   Der er to decimaler, så nævneren bliver 100.

4. 4

   Forkort brøken

   75 og 100 kan begge deles med 25.

Den anden vej er division. En brøk er et divisionsstykke, så \( \frac{3}{4} \) er 3 divideret med 4, og det giver 0,75. Mangler du styr på at forkorte og forlænge, kan du læse vores guide til brøker. Nogle brøker slutter aldrig. \( \frac{1}{3} \) giver 0,3333 og så videre, fordi 3 ikke går op i 10, 100 eller 1.000. Det kaldes et periodisk decimaltal. Brøker, hvor nævneren kun har primfaktorerne 2 og 5, som \( \frac{1}{8} = 0{,}125 \), stopper derimod efter få decimaler. Ifølge Lex.dk er både endelige og periodiske decimaltal rationale tal, altså tal der kan skrives som en brøk.

Decimaltal og procent

Du ser en bluse til 200 kr. med 25 % rabat. Hvor meget sparer du? Procent betyder ud af hundrede, så 25 % er 25 ud af 100, altså 0,25. Rabatten er 0,25 gange 200 kr., og det er 50 kr. Næsten al procentregning bliver nemmere, når du først omskriver procenten til et decimaltal.

Stiger en pris med 10 %, ganger du den gamle pris med 1,10. Falder den med 10 %, ganger du med 0,90. Genvejen virker, fordi 100 % er 1, og 10 % oveni er 0,10. Vil du se alle reglerne for procenter samlet, finder du dem i vores guide til procentregning.

Hvor møder du decimaltal i hverdagen?

Når benzinprisen står på 14,79 kr. pr. liter, er det et decimaltal. Det samme gælder, hvis Sofie er 1,68 meter høj. Det er 1 meter og 68 hundrededele meter, altså 1 meter og 68 centimeter. Dit karaktergennemsnit på 7,5 ligger præcis midt mellem 7 og 8, og når bilen tanker 35,8 liter, er det 35 hele liter og 8 tiendedele. Metersystemet er bygget til decimaltal: millimeter, centimeter og meter hænger sammen, fordi du bare flytter kommaet. 250 cm er 2,5 m, og 3,2 km er 3.200 m. Jo mere du lægger mærke til det, desto mere naturligt føles reglerne i opgaverne.

Typiske fejl med decimaltal

Du er ikke alene, hvis kommaet driller. Nationalt Center for Udvikling af Matematikundervisning (NCUM) skriver i materialet om tal og algebra, at prøver efter 9. klasse viser, at mange elever har problemer med talbehandling. De fleste fejl følger et par faste mønstre, og når du kender dem, kan du fange dem selv. Flere gennemgange af grundregnereglerne finder du i vores lektiehjælp til matematik.