Produktreglen: sådan differentierer du et produkt trin for trin

Produktreglen findes, fordi du ikke bare kan differentiere to faktorer hver for sig og gange resultaterne sammen. Prøv selv. Funktionen \( x^2 \) har den afledte \( 2x \), og \( x^3 \) har den afledte \( 3x^2 \). Ganger du de to afledte, får du \( 6x^3 \). Men produktet \( x^2 \cdot x^3 \) er det samme som \( x^5 \), og den afledte af \( x^5 \) er \( 5x^4 \). Tallene passer slet ikke sammen.

Det er en af de første forhindringer, når du møder differentialregning i matematik B og A, og den er nem at falde i, fordi mønsteret føles logisk. Her ser du, hvordan reglen virker, hvorfor den ser ud, som den gør, og hvordan den spiller sammen med kvotientreglen og kædereglen. Har du brug for det store billede først, så start i vores guide til differentialregning.

Hvad er produktreglen?

Forestil dig et rektangel, der vokser. Længden er 10 cm og vokser med 2 cm i sekundet. Bredden er 5 cm og vokser med 1 cm i sekundet. Hvor hurtigt vokser arealet? Længden, der strækker sig, tilføjer en stribe på \( 2 \cdot 5 = 10 \) cm² i sekundet. Bredden, der strækker sig, tilføjer en stribe på \( 10 \cdot 1 = 10 \) cm² i sekundet. Arealet vokser altså med 20 cm² i sekundet. Hver faktor bidrager med sin egen vækst, mens den anden står stille. Det er hele ideen i produktreglen.

Mange husker reglen som "differentiér, behold plus behold, differentiér". Det er en god huskeregel, så længe du husker, at der er to led, og at de skal lægges sammen. Betingelsen er, at begge funktioner er differentiable i punktet, ellers har reglen ikke noget at arbejde med. Det gælder for alle de funktioner, du møder i gymnasiet, når du holder dig til indre punkter i definitionsmængden.

I nogle bøger ser du reglen skrevet med \( u \) og \( v \): \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \). Det er præcis det samme, bare med andre bogstaver. Du kan også møde Leibniz' notation, hvor produktet \( y = u \cdot v \) differentieres som \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \). Vælg den skrivemåde, din lærer og dit CAS-værktøj bruger, så du ikke bliver forvirret af symbolerne. Idéen er den samme i alle versioner: to faktorer, to led, og kun én faktor differentieres ad gangen.

Produktreglen trin for trin

Hvordan kommer du fra en opgave til et svar uden at miste overblikket? Ved at gøre det samme hver gang. Navngiv de to faktorer, differentiér dem for sig, og sæt dem derefter ind i formlen. Det lyder mekanisk, og det er netop pointen. Når trinnene er faste, bruger du hovedet på det, der er svært, nemlig at differentiere de enkelte faktorer rigtigt.

1. 1

   Del udtrykket op i to faktorer

   Kald den første faktor f(x) og den anden g(x). Skriv dem op, så du kan se dem.

2. 2

   Differentiér hver faktor for sig

   Find f'(x) og g'(x) med de regler, du allerede kender. Skriv resultaterne ved siden af.

3. 3

   Sæt ind i formlen

   Skriv f'(x) gange g(x) plus f(x) gange g'(x). Sæt parenteser om hele udtryk.

4. 4

   Ryd op

   Gang ud, saml led af samme slags, eller sæt fælles faktorer uden for en parentes.

Det sidste trin er en gratis sikkerhedsvest. Når begge faktorer er polynomier, kan du gange ud, differentiere led for led og se, om du får det samme. Det kræver, at udregningen er kort. Med større potenser bliver den lange vej hurtigt tung, og så er produktreglen den bedste genvej.

Produktreglen med ln, e^x og sinus

Polynomier kan du gange ud. Det kan du ikke med \( x \cdot \ln(x) \), \( x^2 \cdot e^x \) eller \( x \cdot \sin(x) \). Her er produktreglen ikke en genvej, men den eneste vej. Mønstret er det samme som før: én faktor differentieres, mens den anden står urørt, og bagefter bytter de plads. Tabellen viser de tre klassikere.

Læg mærke til, hvor pænt \( x \cdot \ln(x) \) opfører sig. Det andet led bliver \( x \cdot \frac{1}{x} = 1 \), så svaret er kort. Sådan et lille sammenfald er ofte et tegn på, at du er på rette vej. Grafen herunder viser \( x \cdot \sin(x) \) i grønt og dens afledte \( \sin(x) + x \cdot \cos(x) \) i rødt. Den grønne kurve har en top omkring \( x \approx 2{,}03 \), og netop dér skærer den røde kurve x-aksen. Hvor den afledte er nul, er tangenten vandret.

Husk også definitionsmængden. \( \ln(x) \) findes kun for \( x > 0 \), så svaret \( \ln(x) + 1 \) gælder kun for positive x. Det lyder som en detalje, men det er netop den slags, en censor lægger mærke til. Reglen virker nemlig kun i punkter, hvor begge faktorer er differentiable.

Kvotientreglen: når du har en brøk

Hvad hvis udtrykket ikke er et produkt, men en brøk som \( \dfrac{x}{x^2 + 1} \)? Så bruger du kvotientreglen, der er produktreglens tvilling. Den har et minus i tælleren, og kvadratet i nævneren er det, der oftest glemmes. Du har med andre ord to regler, der ligner hinanden, men som ikke må blandes sammen.

Du kan faktisk undvære kvotientreglen. En brøk er et produkt med en negativ eksponent, så \( \dfrac{x}{x^2 + 1} = x \cdot (x^2 + 1)^{-1} \). Differentierer du den form med produktreglen og kædereglen, får du det samme svar. Mange vælger alligevel kvotientreglen, fordi den giver færre skridt, hvor du kan vælge forkert.

Tjek altid, at nævneren ikke bliver nul. For \( \dfrac{x}{x^2 + 1} \) er \( x^2 + 1 \) altid større end nul, så udtrykket findes for alle x. Havde nævneren været \( x^2 - 1 \), skulle du udelukke \( x = 1 \) og \( x = -1 \), før du gik i gang.

Produktreglen sammen med kædereglen

Tag \( h(x) = x \cdot (2x + 1)^3 \). Yderst er det et produkt, så produktreglen starter. Men den anden faktor er en sammensat funktion, og her skal du bruge kædereglen til at finde dens afledte. Tricket er at kigge på det yderste regnestykke først og så arbejde indad. Kun et lag ad gangen.

Prøv med \( x = 1 \) som tjek. Det første led giver \( 3^3 = 27 \), det andet giver \( 6 \cdot 3^2 = 54 \), og summen er 81. Den samlede form giver \( 3^2 \cdot 9 = 81 \). Når de to veje mødes i samme tal, har du ikke lavet en regnefejl. Samme tankegang virker bagfra, hvis du senere skal finde en stamfunktion, for så leder du efter en funktion, der netop har et sådant produkt som afledte.

Tre faktorer: produktreglen udvidet

Skulle du differentiere \( x \cdot e^x \cdot \sin(x) \), kan du gribe det an som to faktorer, hvor den ene selv er et produkt. Eller du bruger den udvidede regel, hvor hver faktor på skift bliver differentieret, mens de to andre står stille. Der er tre led, fordi der er tre faktorer.

Med \( f = x \), \( g = e^x \) og \( h = \sin(x) \) bliver det til \( 1 \cdot e^x \cdot \sin(x) + x \cdot e^x \cdot \sin(x) + x \cdot e^x \cdot \cos(x) \). Sæt \( e^x \) uden for, og du står med \( e^x\bigl(\sin(x) + x\sin(x) + x\cos(x)\bigr) \). Mønstret fortsætter, så fire faktorer giver fire led.

Produktreglen i virkeligheden: pris og antal

En netbutik sælger en jakke til 200 kr. Prisen stiger med 2 kr. om måneden. Der sælges 100 jakker om måneden, men salget falder med 5 jakker om måneden. Indtægten er pris gange antal, så den afhænger af to ting, der ændrer sig på samme tid. Prisstigningen trækker indtægten op med \( 2 \cdot 100 = 200 \) kr. om måneden. Det faldende salg trækker den ned med \( 200 \cdot 5 = 1000 \) kr. om måneden. Indtægten falder altså med 800 kr. om måneden, selvom prisen stiger.

Det er produktreglen i aktion: \( R'(t) = p'(t) \cdot q(t) + p(t) \cdot q'(t) \), hvor \( p \) er prisen og \( q \) er antallet. Samme opbygning dukker op i fysik, hvor bevægelsesmængden er masse gange hastighed, og i biologi, hvor en bestands samlede forbrug er antal individer gange forbrug pr. individ. Når to størrelser, der bliver ganget, begge ændrer sig, er der to bidrag, og de skal lægges sammen. Det er også derfor, at fortegnet på hvert led er vigtigt: her trækker det ene led op, og det andet trækker langt mere ned.

Produktreglen eller gange ud?

Du får opgaven \( 5 \cdot x^2 \). Skal du bruge produktreglen? Du kan, men det er at skyde gråspurve med kanon. Tallet 5 er en konstant, og konstanter står bare uden for: \( (5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x \). Produktreglen er til to udtryk, der begge indeholder x. Er det ene en konstant, er reglen overflødig.

Det samme gælder, når begge faktorer er polynomier, og du alligevel hellere vil gange ud. Det virker fint med små tal, men med \( (x^2 + 1)(x^3 - x + 4) \) er produktreglen ikke langsommere, og du sparer fejlkilder i en lang udregning. Kan du ikke gange ud, fordi en faktor er \( \ln(x) \), \( e^x \) eller \( \sin(x) \), er valget truffet for dig.

Her er en tommelfingerregel for hele værktøjskassen. Kig på det yderste regnestykke. Står der plus eller minus, differentierer du led for led. Står der gange, bruger du produktreglen. Står der en brøk, bruger du kvotientreglen. Er der en funktion inde i en anden, bruger du kædereglen. Opgaver kan kræve flere af dem efter hinanden, men du tager dem i den rækkefølge, som udtrykket pakkes ud i. Et par minutters træning i at pege på det yderste regnestykke sparer dig for de fleste fejl.

Beviset for produktreglen

Hvorfor er der to led? Billedet med rektanglet gav et hint: når begge sider ændrer sig lidt, får du to tynde striber, og et lille hjørne, der forsvinder, når ændringerne bliver uendeligt små. Beviset gør den tanke præcis. Det tager udgangspunkt i definitionen af differentialkvotienten og bruger et lille trick, hvor du lægger det samme led til og trækker det fra. Det er et af de beviser, som UVMs læreplan for matematik A på stx lægger op til i det supplerende stof om deduktive metoder og bevisførelse, så du kan blive bedt om det til mundtlig prøve. Lærebogen Hvad er matematik? 2 bygger sit bevis på tretrinsreglen og peger på, at differentiable funktioner også er kontinuerte, hvilket du får brug for i det sidste skridt.

Linje to er tricket: du har lagt \( f(x) \cdot g(x+h) \) til og trukket det fra igen, så værdien er uændret. Det gør, at du i linje tre kan sætte \( g(x+h) \) uden for den første brøk og \( f(x) \) uden for den anden. Så står de to differenskvotienter frit, og de går mod \( f'(x) \) og \( g'(x) \), når \( h \) går mod nul. Og \( g(x+h) \) går mod \( g(x) \), fordi \( g \) er kontinuert. Det er det eneste sted, hvor kontinuiteten er nødvendig.

Til første delprøve i skriftlig matematik har du ingen hjælpemidler ud over den centralt udmeldte formelsamling, så regnereglerne skal sidde i fingrene. Til den mundtlige prøve kan beviset komme på tale, så øv det højt for dig selv: først definitionen, så tricket med at lægge et led til og trække det fra, og til sidst grænseovergangen. Kan du forklare, hvorfor kontinuiteten er nødvendig, har du fat i det, de fleste springer over.

Typiske fejl med produktreglen

Ofte stillede spørgsmål om produktreglen

Mere hjælp til matematik finder du på vores side om lektiehjælp i matematik.