Kædereglen: sådan differentierer du sammensatte funktioner

Du kender reglen for potenser: \( x^3 \) bliver til \( 3x^2 \). Men hvad gør du med \( (2x+1)^3 \)? Nu står der noget inde i parentesen, og den simple regel slår ikke til. Kædereglen er svaret, og den virker på alt, hvor en funktion gemmer sig inde i en anden.

Du kan godt tage den lange vej. Ganger du parentesen ud, får du \( 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \), som du differentierer led for led til \( 24x^2 + 24x + 6 \). Det virker fint med eksponent 3. Men prøv med \( (2x+1)^{10} \), og udregningen fylder en hel side. Med kædereglen får du samme slags svar på én linje, og den virker også på \( e^{x^2} \), \( \sin(3x) \) og \( \ln(x^2+1) \). I lærebøgerne hedder emnet ofte differentiation af sammensat funktion, og det er en fast del af differentialregning i matematik B og A.

Hvad er kædereglen og en sammensat funktion?

Forestil dig en taxa, der kører 0,8 km i minuttet og tager 12 kr. pr. kilometer. Kører du \( t \) minutter, har du tilbagelagt \( 0{,}8t \) km, og prisen er \( 12 \cdot 0{,}8t \) kr. Prisen afhænger af distancen, og distancen afhænger af tiden. Der er to funktioner i en kæde. Hvor hurtigt stiger prisen pr. minut? 12 kr. pr. km gange 0,8 km pr. minut giver 9,6 kr. pr. minut. Du har lige brugt kædereglen uden at kalde den det: ændringerne ganges sammen.

Det er let at blande de to lag sammen i starten. Et trick: den indre funktion er den, du ville regne ud først med en lommeregner. Den ydre er den, du regner til sidst. I Lex' artikel om kædereglen beskrives reglen som en regel for differentiation af en sammensat funktion, og navnet kommer af, at formlen ser ud som led i en kæde. Hvert led er en afledt, og de hænger sammen ved at blive ganget.

Kædereglen trin for trin

Hvilken funktion differentierer du først? Den ydre, mens den indre står helt urørt. Tag \( f(x) = (2x+1)^3 \). Den ydre funktion er 'noget i tredje'. Differentierer du den og lader parentesen stå, får du \( 3(2x+1)^2 \). Derefter ganger du med den afledte af det, der stod inde i parentesen, altså \( 2 \). Resultatet er \( 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2 \). Ganger du ud, får du \( 24x^2 + 24x + 6 \), præcis som den lange vej gav i indledningen.

1. 1

   Find den indre og den ydre funktion

   Spørg dig selv, hvad du ville regne ud først. Det er den indre funktion. Det, der sker til sidst, er den ydre.

2. 2

   Differentier den ydre funktion

   Brug den kendte regel for den ydre funktion, men lad hele det indre udtryk stå uændret på variablens plads.

3. 3

   Differentier den indre funktion

   Find den afledte af det, der stod indeni. Ofte er det et kort udtryk som 2x+1 eller x^2.

4. 4

   Gang de to afledte sammen

   Sæt de to resultater sammen med et gangetegn og ryd op, så svaret er så enkelt som muligt.

Grafen herunder viser, hvorfor faktoren 2 skal med. Den grønne kurve er \( (2x+1)^3 \), og den røde er \( 6(2x+1)^2 \). Den røde kurve ligger over nul næsten overalt, fordi den grønne aldrig går nedad, og den rører nul ved \( x = -\tfrac{1}{2} \), hvor grafen har en vandret tangent. Som kursusnoterne fra Aalborg Universitet formulerer det, differentierer du den ydre funktion, sætter den indre ind på variablens plads og ganger med den indre funktion differentieret.

Kædereglen for de mest brugte funktioner

Du behøver ikke opfinde en ny regel hver gang. Der er en håndfuld ydre funktioner, som går igen i næsten alle opgaver, og hver af dem får en fast form, når der står noget andet end x indeni. Kald det indre udtryk \( g \), og lad \( g' \) være dets afledte. Så er mønstret altid det samme: den ydre funktions kendte afledte, med \( g \) sat ind, gange \( g' \). Tabellen giver dig overblikket, og eksemplerne i højre kolonne viser, at det ikke er sværere end at udfylde felterne.

Tre lag i kæden: notationen med dy/du og du/dx

Hvad hvis der er tre funktioner, der sidder inde i hinanden? Så bliver kæden længere, og du får et led mere. Tag \( y = \ln(\cos(x^2)) \). Du kan pakke den ud indefra: først kvadrerer du \( x \), så tager du cosinus, og til sidst tager du den naturlige logaritme. Giv hvert lag sit eget navn, så kan du differentiere det ét ad gangen. Med navnene \( u = x^2 \), \( w = \cos(u) \) og \( y = \ln(w) \) ser reglen sådan ud:

Denne notation, hvor du skriver brøker med d'er, kaldes Leibniz' notation. Den bruges også i Lex' fremstilling af kædereglen, hvor \( dz/dx \) skrives som \( dz/dy \) gange \( dy/dx \). Det ser ud, som om du kan forkorte mellemleddene, og det er en glimrende huskeregel. Men det er en huskeregel og ikke en regning, for \( dy \) og \( dx \) er ikke almindelige tal. Fordelen ved notationen er, at hvert lag står tydeligt for sig.

Kædereglen sammen med produktreglen og kvotientreglen

Sjældent står kædereglen alene. Funktionen \( f(x) = x \cdot e^{3x} \) er ikke en sammensat funktion i det yderste lag, for det yderste lag er et produkt af \( x \) og \( e^{3x} \). Men inde i produktet gemmer der sig en sammensætning. Tricket er at kigge på det yderste regnestykke først: er det et produkt, en brøk eller en sammensætning? Det afgør, hvilken regel du starter med. Alle reglerne kan du finde samlet i vores guide til differentialregning.

Med kvotientreglen er det samme historie. Står der en brøk som \( \dfrac{1}{(x^2+1)^3} \), kan du enten bruge kvotientreglen eller omskrive til \( (x^2+1)^{-3} \) og bruge kædereglen direkte. Det giver \( -3(x^2+1)^{-4} \cdot 2x \). Den omskrivning sparer ofte tid, fordi du undgår at holde styr på to regler på én gang.

Hvorfor virker kædereglen? Idéen bag beviset

Husk taxaen: 12 kr. pr. km gange 0,8 km pr. minut gav 9,6 kr. pr. minut. Beviset for kædereglen er den samme tanke i mere præcis form. Når \( x \) ændrer sig lidt, ændrer den indre funktion \( u = g(x) \) sig lidt, og det får den ydre funktion til at ændre sig lidt. Du kan skrive ændringen i \( y \) som ændringen i \( u \) ganget med ændringen fra \( u \) til \( x \), og lade begge skridt blive uendeligt små. Det fulde bevis, som det står i Matematisk bevissamling fra Systime, skal også tage højde for, at ændringen i \( u \) kan blive nul. Det er et teknisk detaljepunkt, du sjældent skal gå i dybden med, medmindre din lærer beder om det til mundtlig eksamen.

Typiske fejl med kædereglen

Kædereglen baglæns: stamfunktioner

Da du differentierede \( (2x+1)^3 \), fik du \( 6(2x+1)^2 \). Spoler du filmen tilbage, har du en stamfunktion: \( \int 6(2x+1)^2 \, dx = (2x+1)^3 + k \). Kædereglen bliver til et gætteværktøj i integralregning. Ser du et produkt, hvor den ene faktor er den afledte af noget inde i den anden, som i \( \int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + k \), så er der en kæde gemt. Har den indre funktion formen \( ax+b \), er genvejen at dividere med \( a \): \( \int (2x+1)^2 \, dx = \dfrac{(2x+1)^3}{3 \cdot 2} + k = \dfrac{(2x+1)^3}{6} + k \). Læs mere i vores gennemgang af integralregning.

Kædereglen i virkeligheden: ændringer der hænger sammen

Hvor hurtigt vokser arealet af en cirkel, når radius vokser? Tænk på en oliepøl, der spreder sig, så radius vokser med 2 cm i sekundet. Arealet afhænger af radius, og radius afhænger af tiden. Det er igen en kæde. Arealet er \( A = \pi r^2 \), så \( \dfrac{dA}{dr} = 2\pi r \), og radius vokser med \( \dfrac{dr}{dt} = 2 \) cm/s. Kædereglen giver \( \dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot 2 \). Når radius er 10 cm, vokser arealet med \( 2\pi \cdot 10 \cdot 2 = 40\pi \approx 125{,}7 \) cm² i sekundet. Samme tankegang bruges i fysik, når en størrelse afhænger af tiden gennem en anden størrelse, og i biologi og økonomi, når en model er bygget i flere led. Vil du have flere eksempler, kan du finde mere på vores side om lektiehjælp i matematik.

Ofte stillede spørgsmål om kædereglen