Histogram: hvad det er, hvordan du tegner det og aflæser median

Du har en tabel med 50 testresultater og ingen anelse om, hvad den fortæller. Tallene ligger spredt fra 3 til 49, og ingen af dem springer i øjnene. Et histogram løser det på ét blik: Du deler resultaterne op i intervaller, tegner en søjle for hvert interval, og pludselig kan du se, hvor flertallet ligger, og om nogen skiller sig ud.

Histogrammer dukker op i matematik i folkeskolen, på C-niveau i gymnasiet og i næsten alle statistikopgaver, du får stillet. Men de ligner søjlediagrammer, og det er lige præcis dér, det går galt. Hvad gør du, når intervallerne har forskellig bredde? Hvordan aflæser du en median af noget, der kun viser intervaller? Og hvorfor må søjlerne ikke have luft imellem sig? Har du brug for at få styr på resten af faget, kan du også kigge forbi vores lektiehjælp i matematik.

Hvad er et histogram?

Forestil dig, at 50 elever har taget den samme test med højst 50 point. Du sorterer dem i fem grupper: 0 til 9 point, 10 til 19 point og så videre. I den midterste gruppe lander 17 elever, i den nederste kun 4. Tegner du en søjle for hver gruppe, og lader du søjlens højde vise, hvor mange elever der er i gruppen, har du et histogram. Nu kan du se, at de fleste elever ligger midt på skalaen, og at kun få er tæt på bunden eller toppen.

Ifølge Lex er et histogram et søjlediagram, der med rektangler viser hyppigheder eller frekvenser. Det passer til grupperede observationer, altså tal der er delt op i intervaller, fordi der er for mange forskellige værdier til, at hver af dem kan få sin egen søjle. Intervallerne skrives på formen \( [10;20[ \). En kantet parentes ind mod tallet betyder, at tallet er med, og en kantet parentes vendt udad betyder, at det ikke er med. En elev med præcis 20 point hører altså hjemme i næste interval. Er der kun få forskellige værdier, som skostørrelser fra 36 til 47, bruger du i stedet et pindediagram.

Formen på histogrammet afslører mere end selve tallene. Ligger søjlerne symmetrisk omkring midten som en klokke, er observationerne jævnt fordelt omkring middeltallet. Hænger halen langt ud til højre, er der nogle få høje værdier, som trækker gennemsnittet op, for eksempel når du måler indkomst. Og har histogrammet to toppe, blander du måske to forskellige grupper, som to årgange, i det samme datasæt.

Histogram og søjlediagram: hvad er forskellen?

Er et histogram bare et søjlediagram, hvor søjlerne står tæt? Næsten, men forskellen ligger i, hvad søjlerne står for.

Mellemrummet er ikke pynt. Når du tegner et histogram over aldre fra 0 til 100 år, er der ikke noget hul mellem 19,9 og 20 år, og derfor må der heller ikke være hul mellem søjlerne. Vil du derimod vise, hvor mange elever der har valgt henholdsvis dansk, matematik og engelsk, er det et søjlediagram, og søjlerne står med luft imellem. Blander du de to typer sammen i en opgave, ser læreren det med det samme.

Sådan laver du et histogram trin for trin

Læreren har rettet 50 prøver, og listen med point er lang og uoverskuelig. Så du tæller, hvor mange der ligger i hvert interval, og samler det i en hyppighedstabel:

Hyppigheden er antallet i intervallet: 17 elever fik mellem 20 og 30 point. Frekvensen er andelen: 17 ud af 50 er 34 %. Hyppigheder kan du kun sammenligne, hvis datasættene er lige store, mens frekvenser virker på tværs af store og små datasæt. Derfor tegnes histogrammer oftest med frekvens på andenaksen. Formlen er kort.

1. 1

   Find mindste og største værdi

   Kig på datasættet og find de yderste værdier. I eksemplet går pointene fra 3 til 49.

2. 2

   Vælg intervaller af samme bredde

   Fire til otte intervaller fungerer som regel godt. Her vælger du bredden 10, så intervallerne bliver [0;10[, [10;20[ og så videre.

3. 3

   Tæl hyppigheden i hvert interval

   Gå listen igennem og sæt en streg for hver observation. Tjek, at hyppighederne tilsammen giver antallet af observationer.

4. 4

   Beregn frekvenserne

   Del hver hyppighed med det samlede antal og gang med 100 for at få procent.

5. 5

   Tegn søjlerne

   Afsæt intervalgrænserne på førsteaksen og tegn en søjle over hvert interval uden mellemrum. Højden er frekvensen. Giv akserne titler og diagrammet en overskrift.

Kig på histogrammet. Den højeste søjle står over [20;30[, så det er typeintervallet, og fordelingen er nogenlunde symmetrisk omkring midten. Der er ingen mellemrum, og hver søjle har en højde svarende til frekvensen. Alle søjlehøjder giver tilsammen 100, fordi alle 50 elever er talt med.

I Undervisningsministeriets formelsamling til stx C står reglen kort: Arealet af en blok svarer til intervallets frekvens, og hvis alle intervaller er lige lange, svarer blokkens højde til frekvensen. Husk den sætning. Den er nøglen til næste afsnit.

Histogram med forskellige intervalbredder

Hvad sker der, hvis du tegner et histogram over alder og lader én gruppe være 0 til 10 år og en anden 60 til 100 år? Den sidste gruppe rummer fire gange så mange årgange, så en høj søjle ville få den til at fylde alt for meget. Søjlens højde begynder at lyve, og derfor skal højden justeres.

Tag en aldersfordeling med fem grupper: 10 % af befolkningen er 0 til 9 år, 15 % er 10 til 19 år, 40 % er 20 til 39 år, 25 % er 40 til 59 år, og 10 % er 60 til 99 år. Gruppen 20 til 39 år er 20 år bred, så du regner \( 40 \div 20 = 2 \) og får højden 2 procentpoint pr. år. Gruppen 60 til 99 år er 40 år bred, så højden bliver kun \( 10 \div 40 = 0{,}25 \). Nu passer arealerne: \( 2 \cdot 20 = 40 \) og \( 0{,}25 \cdot 40 = 10 \).

Uden korrektionen ville søjlerne for 20 til 39 år og 60 til 99 år få højderne 40 og 10, og deres arealer ville være 800 og 400, altså et forhold på 2 til 1. De rigtige frekvenser er 40 % og 10 %, altså 4 til 1. Frekvenstætheden \( t = f \div b \) retter op på det, og derfor bruger du den, så snart et interval er bredere end de andre.

Aflæs median og kvartiler på sumkurven

Hvor mange af de 50 elever fik under 30 point? Svaret står ikke som et tal i histogrammet, men du kan læse det på sumkurven. Den tegnes med de summerede frekvenser fra tabellen: 8 %, 26 %, 60 %, 88 % og 100 %. Punkterne placeres over intervallernes højre endepunkter, altså 10, 20, 30, 40 og 50, og forbindes med rette linjer. Kurven starter i 0 % og slutter i 100 %. Ved 30 point står den på 60 %, så 60 % af eleverne fik under 30 point.

Typeintervallet er det interval med den højeste søjle, her [20;30[. Middeltallet for grupperede observationer finder du ved at bruge intervallernes midtpunkter: \( 5 \cdot 0{,}08 + 15 \cdot 0{,}18 + 25 \cdot 0{,}34 + 35 \cdot 0{,}28 + 45 \cdot 0{,}12 = 26{,}8 \). Kvartilsættet er præcis det, du skal bruge til et boksplot, og forskellen på gennemsnit, median og typetal står i guiden til middelværdi, median og typetal. Grupperede observationer er et fast emne på C-niveau, og Systimes grundbog til matematik C på stx bruger de samme begreber som her.

Lav et histogram i Excel eller GeoGebra

Skal histogrammet afleveres som en del af en opgave, kan et regneark gøre arbejdet. I Excel markerer du dine rå data, vælger Indsæt og et histogram under statistikdiagrammerne, og så laver Excel selv intervallerne. Det er dér, det ofte går galt: Excel vælger intervalbredden efter en automatisk regel, som sjældent er den, opgaven beder om. Højreklik på førsteaksen, vælg Formater akse, og skriv den bredde, du selv har valgt.

GeoGebra har en histogramkommando, der også kan arbejde med forskellige intervalbredder, hvis du selv indtaster intervalgrænserne. Tjek altid bagefter, at søjlerne rører hinanden, at akserne har titler, og at arealerne stadig passer med frekvenserne.

Typiske fejl i histogrammer

De samme fejl koster point, hver eneste gang der er en statistikopgave. De er værd at kende, fordi ingen af dem føles som fejl, mens du laver dem.