Cosinusrelationen: formler, bevis og eksempler

To stier deler sig i en vinkel på \( 50^\circ \). Den ene er 8 km lang, den anden 12 km. Hvor langt er der mellem stiernes endepunkter? Pythagoras' sætning hjælper dig ikke, for der er ingen ret vinkel at støtte sig til. Cosinusrelationen klarer opgaven, og svaret er cirka 9,2 km.

Formlen virker i alle trekanter: spidsvinklede, stumpvinklede, ligebenede og alt derimellem. Den slags opgaver dukker op igen og igen i matematik på gymnasiet, og de følger næsten altid det samme mønster. Skal du først have de grundlæggende begreber frisket op, starter du bedst med guiden til trigonometri. Ellers kan du gå direkte i gang her.

Hvad er cosinusrelationen?

Stiernes trekant har to kendte sider på 8 km og 12 km og vinklen mellem dem på \( 50^\circ \). Den tredje side er det ukendte. Opskriften skjuler sig i en formel, der ser lidt uvant ud, men som i virkeligheden er Pythagoras med et ekstra led. Det ekstra led tager højde for, at vinklen ikke er \( 90^\circ \).

Der er tre udgaver, fordi du vælger den, hvor den ukendte side står alene i venstre side. Danmarks nationalleksikon Lex opskriver de tre relationer for en trekant med vinkler A, B, C og sidelængder a, b, c på præcis den måde. Navngivningen er fast: store bogstaver til vinkler, små bogstaver til siderne, og hver side har samme bogstav som vinklen overfor.

Led for led fortæller formlen en lille historie. Først lægger du kvadraterne på de to sider sammen, ligesom i Pythagoras. Derefter trækker du \( 2bc \cdot \cos(A) \) fra, og det led er justeringen for vinklen. Er vinklen spids, er cosinus positiv, og den tredje side bliver kortere end Pythagoras ville give. Er vinklen stump, er cosinus negativ, og siden bliver længere.

Du møder cosinusrelationen uden for klasselokalet oftere, end du tror. Landmålere bruger den til at finde afstanden mellem to punkter, de ikke kan gå direkte imellem, for eksempel over en sø. Navigatører bruger den til at regne ud, hvor langt et skib er fra sin havn, når det har skiftet kurs. Lex' artikel om trigonometri nævner landmåling, astronomi, navigation og rumfart som typiske anvendelser. Fælles for dem alle er, at du har to afstande og en vinkel og mangler den tredje afstand.

Navnet kan forvirre, fordi det står i flertal. Cosinusrelationerne er tre formler, men de er ikke tre forskellige ideer. Det er den samme formel, hvor bogstaverne er byttet rundt, så hver side får lov at stå alene. Nogle bøger kalder dem cosinusformlerne eller blot cosinus formel, og på engelsk hedder de law of cosines. Lær den ene udgave godt, og du kan skrive de to andre ved at rotere bogstaverne: a bliver til b, b bliver til c, og c bliver til a.

Find en side i en vilkårlig trekant

Kender du to sider og den vinkel, der sidder mellem dem? Så er den tredje side kun få tastetryk væk. Det er den mest almindelige brug af cosinusrelationen, og den er også den mest ligetil, fordi du ikke skal isolere noget, før du regner.

1. 1

   Tegn trekanten og navngiv den

   Kald den kendte vinkel A. Siden overfor A kalder du a, og de to kendte sider kalder du b og c.

2. 2

   Vælg den rigtige udgave

   Brug den udgave af cosinusrelationen, hvor a² står alene i venstre side og cos(A) indgår i højre side.

3. 3

   Indsæt og regn

   Sæt tallene ind. Gang 2, b, c og cos(A) sammen først, og træk resultatet fra summen af de to kvadrater.

4. 4

   Tag kvadratroden

   Formlen giver a i anden. Tag kvadratroden til sidst, og tjek at svaret er mindre end summen af de to andre sider.

Stiopgaven viser fremgangsmåden. Trekanten nedenfor har vinklen \( A = 50^\circ \) i venstre hjørne. Siden b på 8 går op mod C, og siden c på 12 ligger langs bunden. Den side, vi leder efter, er a, som går mellem B og C.

Tjek altid, om tallet giver mening. 9,2 km er kortere end de to stier lagt sammen (20 km) og længere end forskellen på dem (4 km), så trekantsuligheden holder. Og fordi vinklen er mindre end \( 90^\circ \), er svaret også mindre end det, Pythagoras ville give: \( \sqrt{8^2 + 12^2} \approx 14{,}4 \). Den korte afstand er cosinusleddets arbejde.

Rund ikke af undervejs. Afrunder du 0,6428 til 0,64, før du ganger med 192, ender du på 122,9 i stedet for 123,4, og så flytter kvadratroden sig i anden decimal. Lad lommeregneren gemme det lange tal, og afrund først, når du skriver det endelige svar. Skriv også enheden med. I stiopgaven er svaret 9,2 km, ikke bare 9,2, og i en eksamensopgave kan en manglende enhed koste point.

Kender du to sider og en vinkel, der ikke sidder mellem dem, kan cosinusrelationen stadig bruges, men så bliver den til en andengradsligning i den ukendte side. Det er mere besærligt, og her er sinusrelationen som regel hurtigere. Er du i tvivl om, hvilken vej du skal gå, så tegn trekanten og tjek, om den kendte vinkel er klemt inde mellem de to kendte sider. Hvis ja, går du direkte til cosinusrelationen.

Find en vinkel, når du kender alle tre sider

Nogle gange er det omvendt. Du har tre sidelængder og ingen vinkler, og formlen skal vendes på hovedet. Tag en trekant med siderne \( a = 6 \), \( b = 8 \) og \( c = 12 \). Hvor stor er vinklen overfor den korteste side? Trekantsberegning af den slags kræver kun, at du isolerer cosinus og bruger den omvendte funktion på lommeregneren.

Her har cosinusrelationen en fordel, som sinusrelationen mangler. En vinkel i en trekant ligger altid mellem \( 0^\circ \) og \( 180^\circ \), og i det interval hører hver cosinusværdi til præcis én vinkel. Wikipedias artikel om cosinusrelationen peger på netop det: Vinklen er entydigt bestemt af sin cosinus. Du slipper dermed for det dobbelttydige tilfælde, som kan drille ved sinus.

Formlen er ikke svær, men den er stædig. Skal du taste den i ét stræk, så sæt parentes omkring hele tælleren, ellers deler lommeregneren kun det sidste led med nævneren. Tæller og nævner skal regnes hver for sig: først \( b^2 + c^2 - a^2 \), derefter \( 2bc \), og først til sidst deler du. Det er den fejl, der oftest giver en cosinusværdi som 3,4, og den findes ikke i nogen trekant.

Et lille trick sparer dig for fejl. Find altid vinklen overfor den længste side først. Giver den en negativ cosinusværdi, ved du med det samme, at trekanten er stumpvinklet, og de to andre vinkler må være spidse. Så kan du roligt bruge vinkelsummen til den sidste.

Der er to veje til den sidste vinkel. Du kan bruge vinkelsummen, som er hurtig, eller du kan bruge cosinusrelationen en tredje gang, som er sikrere, hvis du er bange for at have regnet forkert undervejs. Giver de to metoder samme svar, er du i mål. Giver de forskellige svar, har du fundet en fejl, før den når din aflevering. Sinusrelationen er et tredje alternativ, når du først har fundet én vinkel, men her kan den dobbelttydige løsning snige sig ind.

Prøv selv med en ny trekant, hvor siderne er 5, 7 og 9. Den største vinkel ligger overfor siden 9, og her bliver cosinus \( \frac{25 + 49 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 7} = -0{,}1 \). Vinklen er cirka \( 95{,}7^\circ \). Negativ cosinus, stump vinkel, helt efter tommelfingerreglen. De to øvrige vinkler bliver cirka \( 33{,}6^\circ \) og \( 50{,}7^\circ \), og de tre vinkler giver tilsammen \( 180^\circ \).

Cosinusrelationen bevis: hvorfor formlen virker

Beviset er kortere, end du tror, og det bruger kun to ting, du allerede kender: Pythagoras og definitionen af cosinus. Tegn en trekant ABC med en spids vinkel A. Fra C trækker du højden h ned på siden c og kalder fodpunktet D. Siden c bliver delt i to stykker, AD med længden x og DB med længden \( c - x \).

Nu har du to retvinklede trekanter at arbejde med. I den store, DBC, giver Pythagoras sammenhængen mellem a, h og \( c - x \). I den lille, ADC, giver cosinus dig x udtrykt ved b og vinkel A, og Pythagoras giver h i anden. Sætter du de to ind i hinanden, falder alt andet end cosinusleddet bort:

Bemærk, at beviset aldrig bruger, at trekanten er speciel. Det eneste krav er, at du kan tegne en højde, og det kan du i enhver trekant. Derfor gælder formlen i enhver trekant. Det er den slags overblik, der adskiller at huske en formel fra at forstå den, og det er netop forståelsen, der redder dig, hvis du en dag glemmer, hvor minustegnet skulle stå.

Hvad hvis vinkel A er stump? Så falder højden uden for trekanten, og fodpunktet D ligger på forlængelsen af siden c. Tegningen ændrer sig, men regnestykket munder ud i præcis samme slutformel, fordi cosinus til en stump vinkel er negativ. Systimes matematiske bevissamling har en egen udgave af beregningen for den stumpvinklede trekant, hvis du vil se den tegnet op.

På A-niveau betyder beviset noget ekstra. Læreplanen for matematik A på stx kræver, at faglige påstande og sætninger som hovedregel underbygges med bevis eller anden sammenhængende argumentation. Cosinusrelationen er en af de sætninger, du kan blive bedt om at bevise til den måndtlige prøve, så lær tegningen med højden udenad. Resten følger af den.

Til den måndtlige prøve hjælper det at have en fast rækkefølge. Først tegner du trekanten og højden. Dernæst deler du siden i x og c minus x. Så bruger du Pythagoras i den store trekant og cosinus i den lille. Til sidst samler du trådene og forkorter. Fem trin, og hvert af dem er noget, du allerede har brugt før. Forklar hvert trin højt for dig selv, mens du tegner, for det er præcis det, en eksaminator vil høre dig gøre.

Pythagoras som særtilfald og stumpe vinkler

Sæt \( A = 90^\circ \) ind i formlen, og se hvad der sker. Cosinus til \( 90^\circ \) er nul, så hele leddet \( 2bc \cdot \cos(A) \) forsvinder. Tilbage står \( a^2 = b^2 + c^2 \), og det er Pythagoras' sætning. Den berygtede formel fra folkeskolen er altså bare cosinusrelationen i det én tilfælde, hvor justeringen bliver nul.

Det giver også en hurtig kontrol. Er du i tvivl om, om du har regnet rigtigt, kan du sammenligne dit svar med Pythagoras. Er vinklen mindre end \( 90^\circ \), skal din side være kortere end \( \sqrt{b^2 + c^2} \). Er den større, skal siden være længere. Falder svaret på den forkerte side af grænsen, er der sneget sig en fejl ind, oftest i fortegnet eller i lommeregnerens indstilling.

Grafen viser, hvorfor stumpe vinkler opfører sig anderledes. Mellem \( 0^\circ \) og \( 90^\circ \) ligger kurven over nul, så cosinusleddet trukket fra gør siden kortere. Efter \( 90^\circ \) dykker kurven under nul, og minus gange minus giver plus. Prøv det med en vinkel på \( 120^\circ \), hvor cosinus er \( -0{,}5 \).

Der er en særlig variant, du bør kende. Er de to sider b og c lige lange, er trekanten ligebenet, og cosinusrelationen forenkler sig til \( a^2 = 2b^2 (1 - \cos(A)) \). Prøv med \( b = c = 10 \) og \( A = 60^\circ \). Her er cosinus \( 0{,}5 \), så \( a^2 = 2 \cdot 100 \cdot 0{,}5 = 100 \), og a bliver 10. Trekanten er altså ligesidet, præcis som den skal være, når alle sider er 10 og toppen er \( 60^\circ \).

Sinus eller cosinus: sådan vælger du

Du sidder med en eksamensopgave og kan se, at trekanten ikke er retvinklet. Skal du bruge sinusrelationerne eller cosinusrelationerne? Svaret ligger i, hvilke tre ting du kender i forvejen. Sinus og cosinus relationer løser nemlig hver sin type opgave, og de to kan sagtens bruges efter hinanden i samme trekant.

Forskellen ligger i, hvad formlerne spørger efter. Sinusrelationen er bygget af forhold: Side delt med sinus til den modstående vinkel er det samme hele vejen rundt. Derfor skal du have mindst ét komplet par, en side og dens modstående vinkel, før du kan komme i gang. Cosinusrelationen er bygget af kvadrater og et produkt, og den spørger i stedet efter de to sider, der omslutter vinklen. Intet par er nødvendigt.

Begge relationer hører til kernestoffet. Undervisningsministeriets læreplan nævner sinus- og cosinusrelationerne sammen med beregning af sider, vinkler og areal i vilkårlige trekanter. Hvis du vil have mere styr på de forskellige trekantstyper, før du vælger formel, kan du læse guiden til trekanter. Fortsat tvivl om hele emnet? Så er der mere hjælp samlet på siden for matematik.

Et eksempel viser, hvordan valget føles i praksis. Opgaven siger: I trekant ABC er \( a = 7 \), \( b = 10 \) og \( B = 63^\circ \). Du kender en side og dens modstående vinkel, nemlig b og B, plus en ekstra side. Det er et klassisk sinus-tilfælde. Havde opgaven i stedet givet dig a, b og vinklen C mellem dem, var cosinusrelationen vejen frem. Tegn altid trekanten først, og streg de ting under, du kender. Så ser du mønstret, før du griber efter en formel.

Arealformlen: det næste skridt efter cosinusrelationen

Du har lige fundet alle tre vinkler i trekanten med siderne 6, 8 og 12. Hvad så med arealet? Her behøver du ikke højden. Hvis du kender to sider og vinklen mellem dem, kan du regne arealet direkte, og vinklen C ligger netop mellem siderne a og b.

Det kan virke som en omvej at bruge sinus midt i et kapitel om cosinus, men de to hører sammen. Begge bygger på samme tegning med en højde, og begge bruges i hver deres del af en trekantsberegning. Cosinusrelationen finder de manglende sider og vinkler. Arealformlen bruger derefter det, du har fundet, til at svare på spørgsmålet om, hvor stor trekanten egentlig er.

Læg mærke til, at sinus til den stumpe vinkel stadig er positiv: \( \sin(117{,}3^\circ) = 0{,}8886 \). Det er ingen tilfældighed, for \( \sin(v) = \sin(180^\circ - v) \), og det er derfor, arealformlen virker for alle trekantsvinkler uden fortegnsproblemer. Cosinus opfører sig modsat og skifter fortegn ved \( 90^\circ \). Husk forskellen: I en trekant er sinus altid positiv, mens cosinus godt kan være negativ.

Arealformlen og cosinusrelationen arbejder ofte sammen. I en opgave får du måske kun sidelængderne, finder en vinkel med cosinusrelationen og bruger den bagefter til arealet. Husk, at vinklen skal sidde mellem de to sider, du ganger. Bruger du en vinkel, der ligger overfor en af siderne, får du et forkert tal.

Formlen er i familie med den kendte regel om grundlinje gange højde delt med to. Højden er bare skjult: Den er \( b \cdot \sin(C) \), og når du sætter den ind, får du arealformlen. Sinus er med andre ord højden i forklædning. Det er også derfor, landmålere kan beregne en jordlod ud fra to afstande og en vinkel i stedet for at måle hele grunden op.

Typiske fejl i cosinusrelationen

Cosinusrelationen er kort, men der er flere steder, hvor regnestykket glider ud. De fleste fejl opstår, når du taster, ikke i teorien. Her er dem, der koster flest point.

Sådan træner du cosinusrelationen til eksamen

Start med at sortere opgaverne efter, hvad de giver dig. Lav tre bunker: to sider og vinklen imellem, tre sider, og alt andet. De to første bunker er cosinusrelationens område. Tag fem opgaver fra hver og regn dem uden at kigge i facit, indtil du kan genkende typen på få sekunder. Genkendelse er halvdelen af arbejdet, og resten er håndværk.

Brug dine hjælpemidler klogt. Til delprøven med hjælpemidler kan CAS-værktøjer løse trekanter for dig. Men du skal stadig opstille formlen, vise hvilke sider og vinkler der indgår, og forklare, hvorfor du valgte cosinus frem for sinus. Et rigtigt tal uden begrundelse giver ikke en fuld besvarelse.

Tag også beviset med i øvebunken. Kan du forklare, hvorfor formlen ser ud, som den gør, bliver du mindre afhængig af at huske den udenad. Og vil du have en at øve sammen med, kan en tutor gennemgå opgavetyperne med dig, til de sidder. Din første prøvetime er gratis, og der er ingen binding.