Areal af trekant: formler, eksempler og trin for trin

Et rektangel er let: længde gange bredde, færdig. Men hvad gør du, når du skal finde areal af trekant, fordi den trekantede gavl på et hus skal males, eller fordi en opgave giver dig tre tal, og du ikke ved, hvilke to af dem der skal ganges sammen? Svaret er kortere, end du tror: en trekant fylder præcis halvdelen af det rektangel, den kan passe ind i. Hele kunsten er at vide, hvilke to mål du skal bruge.

Forestil dig en gavl, der er 8 meter bred og 3 meter høj. Rektanglet omkring den ville være 8 gange 3, altså 24 kvadratmeter. Gavlen er halvdelen: 12 kvadratmeter. Det er hele ideen. Men trekanter kommer i mange udgaver, og nogle gange kender du slet ikke højden. Det kan der også regnes på. Hvis du vil have overblik over selve figuren, kan du læse vores guide til trekanter, og er der noget, der driller, står lektiehjælp i matematik klar med en tutor, der tager sig tid til dine spørgsmål.

Hvad er arealet af en trekant?

Tænk på arealet som antallet af små kvadrater på 1 cm gange 1 cm, du kan lægge ned i trekanten. Nogle af dem skal skæres over ved kanten, men tallet bliver det samme, når du regner det ud. Ifølge Lex.dk's artikel om trekanten beregnes arealet som halvdelen af en vilkårlig højde gange den tilhørende grundlinje. Læg mærke til ordene vilkårlig og tilhørende. Du må vælge, hvilken af de tre sider der skal være grundlinje, men højden skal så være den, der hører til netop den side.

I dansk matematik hedder arealet af en trekant typisk T og ikke A. Det er der en praktisk grund til: i trigonometri bruger man store bogstaver A, B og C om vinklerne, og så ville A betyde to ting på én gang. Du kan godt møde A i en lærebog, men T er det, der går igen i gymnasiet.

Hvorfor er arealet kun det halve?

Prøv det med papir. Tegn en trekant, klip den ud og klip en kopi til. Vend kopien på hovedet, drej den en halv omgang, og sæt den op ad originalen langs en af siderne. Nu har du et parallelogram, og det har samme grundlinje og samme højde som din trekant. Et parallelogram kan du omforme til et rektangel ved at flytte en lille trekant fra den ene ende til den anden, så arealet er grundlinje gange højde: \( g \cdot h \).

Parallelogrammet består af to ens trekanter. Hver af dem må derfor være halvdelen. Det er forklaringen på brøken \( \frac{1}{2} \) i formlen, og den gælder uanset trekantens form. Spidsvinklet, stumpvinklet, lang og smal: to kopier passer altid sammen til et parallelogram. Grafen herunder viser det med en trekant med grundlinje 6 og højde 4. Den farvede trekant har arealet \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \), og hele parallelogrammet har arealet 24.

Sådan finder du arealet af en trekant trin for trin

Du har bygget en trekantet vimpel til klasselokalet. Langs stangen måler den 40 cm, og fra stangen og vinkelret hen til spidsen er der 25 cm. Hvor meget stof skal der til? Du gør det samme hver gang, uanset om opgaven handler om vimpler, tagsten eller en trekant på et ark papir. Først finder du grundlinjen, så højden, og så sætter du ind.

1. 1

   Vælg en grundlinje

   Peg på en af trekantens sider. Det er din grundlinje g. Oftest er det den, der ligger nederst, men du må gerne vælge en anden.

2. 2

   Find den tilhørende højde

   Højden h er den korteste afstand fra det modstående hjørne ned til grundlinjen, målt i en ret vinkel. Den er ikke nødvendigvis en af trekantens sider.

3. 3

   Tjek enhederne

   Grundlinje og højde skal være i samme enhed. Hvis den ene er i meter og den anden i centimeter, omregner du først.

4. 4

   Sæt ind i formlen

   Gang g og h sammen, og del med 2. Skriv formlen op med bogstaver først, så sætter du tallene ind bagefter.

5. 5

   Skriv svaret med enhed

   Arealet har altid en kvadratenhed, for eksempel cm². Et tal uden enhed er ikke et færdigt svar.

500 kvadratcentimeter er lidt mindre end et helt A4 ark. Omregner du til kvadratmeter, bliver det \( 0{,}05 \text{ m}^2 \), fordi én kvadratmeter indeholder 10.000 kvadratcentimeter. Det er den omregning, de fleste snubler over, og vi vender tilbage til den længere nede.

Højden er ikke altid en af siderne

Formlen er enkel. Det, der gør folk usikre, er ordet højde. Mange tænker, at højden er den side, der ser mest lodret ud, men den er noget andet: et linjestykke fra et hjørne, der rammer grundlinjen i en ret vinkel. I en retvinklet trekant er du heldig, for her står de to korte sider (kateterne) vinkelret på hinanden. Den ene katete er grundlinje, og den anden er højden. Har kateterne længderne 6 og 8, er arealet \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \).

I en spidsvinklet trekant ligger højden inde i trekanten, og du må tegne den selv som en hjælpestreg. Tegn en lodret streg fra toppen ned til grundlinjen, og mål længden. I en stumpvinklet trekant, hvor én vinkel er større end 90 grader, sker der noget, der overrasker: højden kan falde udenfor trekanten. Du er nødt til at forlænge grundlinjen med en stiplet linje og tegne højden ned på forlængelsen. Den er stadig højden, fordi den står vinkelret på linjen gennem grundlinjen.

Trekanten på grafen har grundlinjen 6 og højden 4, selvom højden ligger til venstre for trekanten. Arealet er \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \). Hvis du i stedet havde målt langs den lange skrå side, ville du have fået et forkert tal.

Retvinklet, ligebenet og ligesidet trekant

Du behøver ikke en ny formel til hver trekanttype. Det er den samme formel hver gang, og det er kun måden, du finder højden på, der ændrer sig. Det passer med, hvordan Undervisningsministeriets Fælles Mål for matematik beskriver området geometri og måling: du skal kunne anvende geometriske begreber og måle, ikke lære en ny regel for hver figur. Tabellen viser, hvad du skal kigge efter.

Tag en ligebenet trekant med grundlinje 10 cm og to ben på 13 cm. Ingen af siderne er højden, og opgaven oplyser den ikke. Men i en ligebenet trekant falder højden ned i midten af grundlinjen og deler trekanten i to ens retvinklede trekanter. Det giver dig en halv grundlinje på 5 cm og en hypotenuse på 13 cm, og så kan Pythagoras finde resten.

En ligesidet trekant er et særtilfælde af det samme trick. Hvis alle sider er 4 cm, deler højden grundlinjen i to stykker på 2 cm, og Pythagoras giver \( h = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} \approx 3{,}46 \). Arealet bliver \( \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3{,}46 \approx 6{,}93 \text{ cm}^2 \). Gør du det med bogstaver i stedet, falder der en kompakt formel ud, som du kan bruge direkte:

Med \( a = 4 \) får du \( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \text{ cm}^2 \). Samme svar, kortere vej.

Areal af trekant uden højde: to sider og en vinkel

Hvad gør du, hvis opgaven giver dig to sider og en vinkel, men ingen højde? Du kan ikke måle højden med en lineal, for trekanten findes kun som tal. Her hjælper sinus. Hvis siderne a og b mødes i vinklen C, så kan du tegne højden fra hjørnet på side a ned på grundlinjen b. I den lille retvinklede trekant, der opstår, er højden den modstående katete til vinkel C, og derfor gælder \( h = a \cdot \sin(C) \).

Sæt det udtryk ind på h's plads i den almindelige formel, og du har sinusformlen. Den kaldes ofte appelsinformlen, fordi "en halv a b sinus C" lyder som en halv appelsin, når du siger det hurtigt.

Husk to ting. Vinklen skal ligge mellem de to sider, du bruger. Og lommeregneren skal stå på grader, når vinklen er skrevet med gradtegn. Står den på radianer, får du et helt andet tal, uden at lommeregneren siger det.

Herons formel: areal af trekant, når du kun kender siderne

Du står i en have med et målebånd og skal finde arealet af et trekantet stykke jord. Siderne måler 5, 6 og 7 meter. Du har ingen vinkelmåler og ingen mulighed for at måle en højde, der står helt præcist vinkelret. Det er præcis den situation, Herons formel er lavet til. Den bruger kun de tre sidelængder, og du starter med at finde den halve omkreds s, altså summen af siderne delt med 2.

Kan du stole på en formel, der ser sådan ud? Prøv den på en trekant, hvor du allerede kender svaret. Med siderne 3, 4 og 5 er \( s = 6 \), og \( \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6 \). Det er præcis det samme som \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \). Formlen er opkaldt efter den oldgræske matematiker Heron, og Lex.dk's artikel om Herons formel beskriver, hvordan den udtrykker arealet alene ved sidelængderne. Hvis du er nysgerrig på historien, fortæller Wikipedias artikel om Herons formel om Herons bog Metrica fra omkring år 60, og om at kineserne uafhængigt af grækerne fandt en tilsvarende formel i 1247.

Hvilken formel skal du vælge?

Tre formler, ét spørgsmål. Ingen af dem er bedre end de andre. Det er oplysningerne i opgaven, der vælger for dig, og det er det første, du skal tjekke, før du rammer lommeregneren. Skriv, hvad du kender, og find så den række i tabellen, der passer.

Den 3-4-5 trekant, vi lige har brugt, giver 6 med alle tre metoder. Med højde og grundlinje: \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \). Med sinus og vinklen på 90 grader mellem de to korte sider: \( \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(90^\circ) = 6 \). Med Heron: 6. Det er en god vane at kontrollere en ny formel på en trekant, du kender svaret på, før du stoler på den i en opgave, hvor du ikke gør.

Enheder: fra cm² til m²

En trekant har grundlinjen 1,2 m og højden 80 cm. Hvis du regner \( \frac{1}{2} \cdot 1{,}2 \cdot 80 \), får du 48, men 48 hvad? Meter gange centimeter er ikke en enhed, der giver mening. Den slags fejl opstår, når to længder står i forskellige enheder. Løsningen er at gøre dem ens, før du regner.

Hvorfor 10.000 og ikke 100? Fordi en kvadratmeter er et kvadrat, der er 100 cm bredt og 100 cm langt. Der er altså \( 100 \cdot 100 = 10.000 \) små kvadrater i det. På samme måde er \( 1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2 \). Omregningsfaktoren for areal er altid kvadratet på omregningsfaktoren for længde.

Areal af trekant i hverdagen

Trekanter er overalt, hvor noget skal holdes stift eller spare plads: tagkonstruktioner, sejl, skilte, broer og pizzaskiver. Skal du male en gavl, der er 8 meter bred og 3 meter høj, er arealet 12 kvadratmeter. En spand maling, der dækker 10 kvadratmeter, rækker altså ikke hele vejen. Du skal regne, før du køber. Og når figuren bliver mere sammensat, kan du dele den i trekanter, rektangler og cirkeludsnit og lægge arealerne sammen. Mere om det sidste finder du i vores guide til cirkler.

Prøv selv med et hus. Et sadeltag har en gavl med bredde 6 meter og højde 2,5 meter fra bjælken til tagryggen. Arealet er \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2{,}5 = 7{,}5 \text{ m}^2 \). Skal der to gavle til, er det 15 kvadratmeter, og så ved du, hvor mange plader du skal købe. At tegne en skitse og sætte mål på er halvdelen af opgaven.

Areal af trekant i et koordinatsystem

Hvad hvis trekanten ikke er givet som længder, men som tre punkter på et kort? Så er du i gymnasiets verden, men ideen er den samme. Lad os tage punkterne A(1, 1), B(7, 1) og C(4, 5). Siden AB ligger vandret, så den kan være grundlinje, og dens længde er 7 minus 1, altså 6. Højden fra C er den lodrette afstand ned til linjen y = 1, og den er 5 minus 1, altså 4. Arealet er \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \).

Ligger ingen af siderne vandret eller lodret, kan du bruge en formel, der kun bruger koordinaterne. For punkterne \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) og \( (x_3, y_3) \) er arealet:

Sætter du A, B og C ind, får du \( \frac{1}{2} \left| 1(1-5) + 7(5-1) + 4(1-1) \right| = \frac{1}{2} \left| -4 + 28 + 0 \right| = 12 \). Samme svar som før. Lodrette streger om udtrykket betyder, at du tager den positive værdi, for et areal kan aldrig være negativt.

Fra trekant til andre figurer

En trekant virker som en lille og enkel figur, men den er byggeklodsen bag alle andre rette figurer. Et rektangel er to retvinklede trekanter. Et parallelogram er to ens trekanter, som du allerede har set. Og et trapez, en firkant med to parallelle sider, kan du dele i to trekanter med samme højde. Har trapezet de parallelle sider 6 og 10 og højden 4, er de to trekanter henholdsvis \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \) og \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \). Sammenlagt er arealet 32.

Skriver du det samme med bogstaver, får du trapezets arealformel, som du møder i 7. til 9. klasse:

Med tallene fra ovenfor: \( \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (6 + 10) = 32 \). Det betyder, at du ikke behøver at lime en ny formel fast i hukommelsen, hver gang du møder en ny figur. Kan du dele figuren i trekanter, kan du regne den ud. Det gælder også femkanter, sekskanter og de uregelmæssige grænser på et kort, hvor landmålere i århundreder har delt stykker jord op i trekanter.

Sådan tjekker du dit svar

Du har regnet et areal ud og fået 26 cm². Er det rigtigt? Der findes et hurtigt tjek, der fanger de fleste fejl. Tegn en rektangulær boks omkring trekanten, og regn boksens areal ud i hovedet. Trekanten fylder aldrig mere end boksen, og hvis grundlinjen og højden er trekantens mål, fylder den næsten præcis halvdelen. Er din trekant 7 cm bred og 8 cm høj, er boksen 56 cm², og svaret skal ligge i nærheden af 28. Et svar på 56 betyder, at du har glemt at halvere, og et svar på 15 betyder, at du har lagt sammen i stedet for at gange.

Til opgaver med mange trin hjælper det at skrive formlen med bogstaver først, sætte tal ind på næste linje og kun regne på den tredje. Du kan se din lærer eller censor følge dine tanker, og du kan selv finde fejlen, hvis svaret ser forkert ud. Hvis du alligevel står fast, er du ikke alene. Mange elever oplever, at geometri føles som en blanding af tegninger og formler, der ikke vil gå op. Hos vores certificerede tutors kan du få en prøvetime og se, om det hjælper. Der er ingen binding.

Areal og omkreds: to ting, der ofte blandes sammen

Tegn en trekant med siderne 5, 6 og 7 cm. Hvis du går rundt langs kanten med en snor, bruger du 5 plus 6 plus 7, altså 18 cm snor. Det er omkredsen. Hvis du i stedet vil male hele fladen indeni, har du brug for arealet, som vi før regnede til cirka 14,70 cm² med Herons formel. Samme trekant, to helt forskellige spørgsmål og to helt forskellige enheder.

Omkredsen måles i en længdeenhed som cm eller m, fordi den er en længde. Arealet måles i en kvadratenhed som cm² eller m², fordi den er en flade. Det er derfor, at et tal uden enhed aldrig er et godt svar. Den nemmeste måde at huske forskellen på er at spørge dig selv, om opgaven handler om en snor eller en maling. Snor er omkreds. Maling er areal.

Der er også en faldgrube, som kan snyde dig. To trekanter kan have samme omkreds og alligevel meget forskelligt areal. En lang, flad trekant med siderne 9, 9 og 1 har omkredsen 19, men er næsten uden højde, så arealet er lille. En trekant med siderne 6, 6 og 7 har også omkredsen 19 og en markant større højde. Du kan derfor aldrig regne arealet ud fra omkredsen alene. Du skal altid bruge mål, der siger noget om højden: selve højden, en vinkel eller alle tre sider.

Typiske fejl, når du finder arealet af en trekant