Acceleration: formel, enhed og eksempler i fysik

En sportsvogn kan gå fra 0 til 100 km/t på 7 sekunder, og en cykel kan næppe følge med. Men farten på 100 km/t er ikke det, der imponerer. Det er, hvor hurtigt farten vokser. Netop den ændring har fysikken et ord for: acceleration. Når du først har fået hold på den, hænger kinematik, Newtons love og frit fald pludselig sammen.

Mange forveksler acceleration med fart. Du kan køre 130 km/t på motorvejen uden at accelerere overhovedet, og en bold, der er helt stille øverst i sin bane, accelererer stadig. Her får du forklaringen, formlerne, de gennemregnede eksempler og de fejl, der koster point til prøven.

Hvad er acceleration?

Forestil dig, at du sidder i en bil, der holder stille ved rødt lys. Lyset skifter til grønt, og føreren giver gas. Efter 1 sekund viser speedometret 4 m/s, efter 2 sekunder 8 m/s og efter 3 sekunder 12 m/s. Farten stiger med præcis 4 m/s for hvert sekund, og de 4 m/s hvert sekund er bilens acceleration.

Hastighed og acceleration er to forskellige størrelser. Hastigheden fortæller, hvor hurtigt du bevæger dig lige nu. Accelerationen fortæller, hvordan hastigheden er på vej til at ændre sig. En sprinter i startblokken har hastigheden 0, men en stor acceleration i samme øjeblik, startskuddet lyder. En cyklist, der triller ned ad bakken med 8 m/s, kan have en acceleration på kun \( 0{,}5 \text{ m/s}^2 \).

I fysik er hastighed en vektor, så den ændrer sig både, når farten skifter, og når retningen gør. En bil, der kører 50 km/t gennem en rundkørsel, accelererer altså, fordi retningen hele tiden drejer. I denne guide holder vi os til bevægelse på en ret linje, som er det, du møder i folkeskolen og på fysik C og B. Husk bare, at acceleration ikke kun betyder at give gas. Bremser du, accelererer du også.

Prøv selv at mærke forskellen næste gang, du sidder i en bus. Når den kører jævnt med 60 km/t, mærker du næsten ingenting, selvom du bevæger dig hurtigt. Når chaufføren træder på bremsen, bliver du kastet fremad i sædet, selvom farten er lavere end før. Det, du mærker, er altså ikke farten, men accelerationen. Kroppen er bygget til at registrere ændringer i bevægelsen, ikke selve bevægelsen. Det er en god huskeregel, når du skal afgøre, om en opgave handler om hastighed eller acceleration.

Hvorfor hedder enheden meter pr. sekund i anden?

Enheden ser mærkelig ud første gang, men den følger direkte af formlen. Hastighed måles i m/s, og accelerationen er hastighedsændring pr. sekund. Du dividerer altså m/s med sekunder endnu en gang og får \( \frac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^2 \). Læs den som meter pr. sekund pr. sekund. Tallet \( 3 \text{ m/s}^2 \) betyder, at farten vokser med 3 m/s hvert eneste sekund.

Bilindustrien bruger sjældent \( \text{m/s}^2 \). Her angiver man i stedet, hvor mange sekunder bilen er om at nå fra 0 til 100 km/t, fordi det er lettere at mærke. Regner du baglæns, passer tallene sammen, som du ser i næste afsnit. Bemærk også, at enhedsomregning er en klassisk faldgrube: km/t skal omregnes til m/s, før du sætter tal ind, ellers bliver svaret forkert med en faktor 3,6.

Sådan beregner du acceleration

Tag sportsvognen fra indledningen. Den går fra stilstand til 100 km/t på 7 sekunder. Det første, du gør, er at rydde op i enhederne: 100 km/t er \( \frac{100}{3{,}6} \approx 27{,}78 \text{ m/s} \). Derefter dividerer du: \( \frac{27{,}78 \text{ m/s}}{7 \text{ s}} \approx 3{,}97 \text{ m/s}^2 \). Farten stiger altså næsten 4 m/s hvert sekund. Det er en middelværdi, for i virkeligheden skifter motoren gear, og accelerationen svinger undervejs.

1. 1

   Skriv det op, du ved

   Find starthastighed, sluthastighed og tid i opgaveteksten. Skriv dem med symbol og enhed.

2. 2

   Omregn til SI-enheder

   Hastighed skal være i m/s og tid i sekunder. Del km/t med 3,6 for at få m/s.

3. 3

   Indsæt i formlen

   Træk starthastigheden fra sluthastigheden, og divider med tiden: a = (v − v₀) / t.

4. 4

   Tjek fortegn og enhed

   Positivt a betyder, at farten stiger i den valgte retning. Negativt a betyder, at den falder. Svaret skal have enheden m/s².

Positiv og negativ acceleration

Bilen, der giver gas, og bilen, der bremser, har begge acceleration. Forskellen ligger i fortegnet. Giver du gas i bevægelsens retning, er a positiv. Bremser du, peger accelerationen modsat bevægelsen, og a bliver negativ. Cyklisten ovenfor havde \( a = -2 \text{ m/s}^2 \).

Det negative fortegn er ikke en fejl, og det betyder ikke, at tallet er mindre værd. Det fortæller kun om retning. Når hastighed og acceleration har samme fortegn, vokser farten. Når de har modsat fortegn, falder farten. Nogle bøger bruger ordet retardation om en nedbremsning, men i en eksamensopgave er det sikreste at skrive et negativt a og forklare, hvad det betyder.

Grafen viser det samme visuelt. I et (t, v)-diagram er accelerationen hældningen på grafen. Den grønne linje stiger 2 m/s hvert sekund, så hældningen er \( 2 \). Den røde starter ved 12 m/s og falder 3 m/s hvert sekund, så hældningen er \( -3 \). En ret linje betyder konstant acceleration, og en krum linje betyder, at accelerationen skifter. Efter 4 sekunder rammer den røde linje nul. Fortsætter accelerationen, vender genstanden om og bevæger sig baglæns.

Konstant acceleration og de tre bevægelsesligninger

En bil kører 15 m/s, da føreren giver gas og accelererer med \( 2 \text{ m/s}^2 \) i 5 sekunder. Hvor hurtigt kører bilen til sidst, og hvor langt når den? Farten stiger 2 m/s hvert sekund, så der lægges 10 m/s oven i de 15. Bilen slutter på 25 m/s. Strækningen kan du ikke bare finde ved at gange 15 med 5, for farten vokser undervejs. Men gennemsnitsfarten er \( \frac{15 + 25}{2} = 20 \text{ m/s} \), så bilen når \( 20 \cdot 5 = 100 \text{ m} \).

Det, du lige har gjort, er netop ligningerne for konstant acceleration. Som Mike Vandal Auerbachs notesæt Mekanik viser, er strækningen arealet under (t, v)-grafen, og det areal giver strækningsformlen. Fra de to første ligninger kan du fjerne tiden og få en tredje, som er praktisk, når opgaven ikke oplyser, hvor lang tid bevægelsen varer.

Tjek dem mod bilen. Hastighedsformlen giver \( v = 15 + 2 \cdot 5 = 25 \text{ m/s} \). Strækningsformlen giver \( s = 15 \cdot 5 + \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 100 \text{ m} \). Den tidløse formel giver \( v^2 = 15^2 + 2 \cdot 2 \cdot 100 = 625 \), og \( \sqrt{625} = 25 \text{ m/s} \). Tre veje, samme svar. Formlerne gælder kun, når accelerationen er konstant, så brug dem ikke på en bevægelse, hvor kraften ændrer sig undervejs.

Acceleration og Newtons 2. lov

Hvorfor accelererer en tung lastbil langsommere end en lille bil, selv med den samme motorkraft? Fordi accelerationen afhænger af både kraft og masse. Sportsvognen fra før vejer 1200 kg og accelererer med \( 3{,}97 \text{ m/s}^2 \). Den samlede kraft, der skubber den fremad, er \( 1200 \cdot 3{,}97 \approx 4764 \text{ N} \), altså knap 4,8 kN. Giver du samme kraft til en lastbil på 12 000 kg, får den kun \( 0{,}4 \text{ m/s}^2 \), en tiendedel.

Når du måler kraften i newton, massen i kg og accelerationen i m/s², kan loven skrives som \( F = m \cdot a \), som Niels Bohr Institutet på Københavns Universitet forklarer det. Kraften er altid den resulterende kraft, altså summen af alle kræfter på genstanden. Du kan se alle tre love i vores guide til Newtons love. Samspillet er også en fast del af pensum: UVMs læreplan for fysik B på stx nævner Newtons love anvendt på bevægelser i én dimension som en del af kernestoffet.

Der er også en forbindelse til energi. Virker kraften over en strækning, vokser farten, og dermed vokser genstandens kinetiske energi. Det er præcis \( a \cdot s \)-leddet i den tidløse formel, der gemmer sig bag den sammenhæng: ganger du begge sider med \( \tfrac{1}{2} m \), får du \( \tfrac{1}{2} m v^2 = m a s = F s \) for en genstand, der starter i hvile.

Tyngdeacceleration og frit fald

Slip en sten fra en bro. Efter 1 sekund falder den med 9,82 m/s. Efter 2 sekunder er farten 19,64 m/s, og efter 3 sekunder knap 29,5 m/s. Stenen får altså 9,82 m/s mere fart for hvert sekund, uanset hvor tung den er. Den konstante acceleration kalder vi tyngdeaccelerationen og skriver \( g \).

Ifølge Niels Bohr Institutet kaldes accelerationen i tyngdefeltet traditionelt g, og her i landet er den \( 9{,}82 \text{ m/s}^2 \). Frit fald er derfor bare konstant acceleration med \( a = g \) og \( v_0 = 0 \). Stenen fra broen rammer vandet efter 3 sekunder, og så er faldhøjden \( s = \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}82 \cdot 3^2 \approx 44{,}2 \text{ m} \). Vil du dykke længere ned i emnet, finder du det i vores guide til tyngdeacceleration.

Husker du bolden, der er helt stille øverst i sin bane? Dér er hastigheden nul, men accelerationen er stadig \( 9{,}82 \text{ m/s}^2 \) nedad. Det er derfor, bolden vender om. Hastigheden passerer nul, men accelerationen forsvinder aldrig. I folkeskolen regner man ofte med \( g = 10 \text{ m/s}^2 \), mens du i gymnasiet bruger 9,82, medmindre opgaven siger andet.

Middelacceleration og øjeblikkelig acceleration

Sportsvognens \( 3{,}97 \text{ m/s}^2 \) er et gennemsnit over 7 sekunder. Holder du øje med speedometret sekund for sekund, ser du, at farten stiger hurtigt i første gear og langsommere, når bilen nærmer sig 100 km/t. Accelerationen er altså ikke den samme hele tiden. Middelaccelerationen fortæller, hvad der skete i alt. Den øjeblikkelige acceleration fortæller, hvad der sker lige nu.

Grafisk er forskellen enkel. Middelaccelerationen er hældningen på den rette linje mellem to punkter på (t, v)-grafen, en sekant. Den øjeblikkelige acceleration er hældningen på tangenten i ét punkt. Har du mødt differentialregning i matematik, kender du princippet: accelerationen er den afledte af hastigheden, \( a(t) = v'(t) \), og hastigheden er den afledte af stedfunktionen, \( v(t) = s'(t) \). Omvendt er hastigheden arealet under accelerationsgrafen, og stedet er arealet under hastighedsgrafen. På fysik C regner du næsten altid med middelværdier. På B og A bliver tangenter og afledte en fast del af værktøjskassen.

Acceleration i hverdagen: sikkerhedssele og g-kræfter

Hvorfor sidder der sikkerhedssele og airbags i en bil? Fordi det ikke kun er hastigheden, der gør ondt, men hvor hurtigt den ændres. Niels Bohr Institutet regner et eksempel igennem: En bil, der rammer en væg med 10 m/s og får køleren trykket 50 cm sammen, bremses med omkring \( 100 \text{ m/s}^2 \). Trykkes den kun 10 cm sammen, bliver accelerationen fem gange så stor. Tallene følger af den tidløse formel: \( 10^2 = 2 \cdot a \cdot 0{,}5 \) giver \( a = 100 \text{ m/s}^2 \).

Man sammenligner ofte med g. En acceleration på \( 100 \text{ m/s}^2 \) svarer til \( \frac{100}{9{,}82} \approx 10 \) g. For en person på 70 kg betyder det en kraft på \( 70 \cdot 100 = 7000 \text{ N} \), omtrent tyngden af 700 kg. Jo længere bremsestrækning, jo mindre acceleration og jo mindre kraft på kroppen. Det er hele ideen med bilens deformationszoner, som pakkes sammen under en kollision, og med sikkerhedsselen og airbaggen, der forlænger den tid, kroppen bremses over. Samme tankegang bruger en højdespringer, der lander i en tyk skumpude i stedet for på asfalten.

Typiske fejl med acceleration

Fejlene ved acceleration handler sjældent om, at du ikke kan regne. De handler om at tænke i de rigtige størrelser. Her er de fire, der går igen i opgaver og til prøver.