Primtal: hvad er de, liste 1-100 og primtalsfaktorisering

Tag tallet 7. Prøv at dele det op i to faktorer, der begge er hele tal større end 1. Det kan du ikke, for 7 er et primtal. Det samme gælder 11, 13 og 17: ingen af dem kan skrives som et produkt af to hele tal, der begge er større end 1.

Primtal fascinerede allerede de gamle grækere, og de sikrer i dag din netbanks kryptering. Fra folkeskolens gangetabeller til kryptografiens dybder spiller primtal en central rolle, og de er langt mere interessante end de ser ud ved første øjekast.

Hvad er et primtal?

Kig på 12: det kan deles med 2, 3, 4 og 6, så 12 er et sammensat tal. Kig på 13: prøv at dividere med 2, 3, 4, 5, 6. Intet går op. Kun 1 og 13 virker. Altså er 13 et primtal.

En vigtig detalje: 2 er det eneste lige primtal. Alle andre lige tal kan divideres med 2 og er dermed sammensatte tal. Det er grunden til, at du kun behøver at kigge på ulige tal, når du leder efter primtal over 2.

Primtal fra 1 til 100

Der er præcis 25 primtal fra 1 til 100. De bliver sjældnere jo højere du kommer: mellem 1 og 10 er der fire primtal (2, 3, 5, 7), mens der mellem 90 og 100 kun er ét, nemlig 97.

Primtallenes fordeling er et matematisk mysterium, der stadig ikke er fuldtændigt løst. Ifløjge Danmarks Nationalleksikon har matematikere siden oldtiden forsøgt at kortlægge, hvorfor primtallene fordeler sig, som de gør.

Primtalsfaktorisering

Spørg dig selv: hvad er 60 egentlig lavet af? Du kan skrive det som 6 × 10, men 6 = 2 × 3 og 10 = 2 × 5. Så er 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Nu kan du ikke komme længere ned, for 2, 3 og 5 er alle primtal. Du har primtalsfaktoriseret 60, og resultatet skrives som \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \).

1. 1

   Prøv det mindste primtal, 2

   Er dit tal deleligt med 2? Hvis ja, divider med 2 og skriv 2 ned som en primfaktor. Gentag, så længe 2 går op.

2. 2

   Prøv 3, derefter 5, 7 osv.

   Når 2 ikke virker, prøv det næste primtal: 3. Derefter 5, 7, 11 og så videre i stigende rækkefølge.

3. 3

   Stop, når resultatet er et primtal

   Når resultatet af din division selv er et primtal, er du færdig. Det er din sidste primfaktor.

4. 4

   Tjek dit svar

   Gang alle dine primfaktorer sammen. Produktet skal give det oprindelige tal.

Primtalsfaktorisering er særlig nyttig, når du skal finde mindste fælles nævner med brøker. I guiden til brøker kan du se, hvordan primfaktorer hjælper dig med at forkorte og sammenligne brøker.

Eratosthenes' si: den smarte metode til at finde alle primtal

Sæt dig i situationen: du vil finde alle primtal op til 50. Du kan teste hvert tal individuelt, men Eratosthenes, en græsk matematiker og bibliotekar fra ca. 276-194 f.v.t., fandt en mere elegant vej for over 2.000 år siden.

1. 1

   Skriv alle tal fra 2 til dit valgte tal

   Lad os bruge 30 som eksempel. Skriv 2, 3, 4, 5 ... 30 på en liste.

2. 2

   Marker 2 og slet alle multipla af 2

   2 er et primtal. Slet alle tal, der er delelige med 2: 4, 6, 8, 10, 12...

3. 3

   Gå til næste umærkede tal, 3

   3 er et primtal. Slet alle multipla af 3, der stadig er på listen: 9, 15, 21, 27.

4. 4

   Fortsæt med 5, 7 og så videre

   Gentag for hvert næste umærkede tal. Alle tal, der ikke er slettet, er primtal.

Si'en er elegant, fordi den eliminerer tal systematisk i stedet for at teste hvert enkelt. Computere bruger stadig lignende metoder til at søge efter store primtal den dag i dag.

Er 1 et primtal?

Nej, 1 er ikke et primtal. Spørgsmålet er helt forståeligt: 1 kan jo kun divideres med 1 og sig selv, præcis som et primtal. Men definitionen kræver udtrykkeligt, at et primtal skal være STØRRE end 1.

Grunden er matematisk præcis. Aritmetikkens fundamentalsætning siger, at faktoriseringen af et tal er unik. Hvis 1 var et primtal, ville 6 kunne skrives som 2 × 3, men også som 1 × 2 × 3 og som 1 × 1 × 2 × 3. Unikheden forsvinder, og teorien bryder sammen.

Primtal i koden der beskytter dit password

Næste gang du logger ind på din netbank, kan du takke primtal. Moderne internetkryptering (RSA-kryptering) bygger på en simpel observation: det er let at gange to store primtal sammen, men næsten umuligt at gå den modsatte vej og finde de to primtal igen ud fra produktet.

Prøv det selv: 17 × 19 = 323. Men start med 323 og gæt dig til 17 og 19 uden at vide, hvad du leder efter. Med virkelige krypteringsnøgler er primtallene hundredvis af cifre lange. Som Danmarks Nationalleksikon beskriver, har store primtal afgørende anvendelser inden for kodningsteori og kryptologi.

Kæmper du med primtal, ligninger eller andre matematikemner? Toptutors har over 1.000 certificerede matematiktutorer klar til at hjælpe dig.