Mekanisk energi: formel, energibevarelse og eksempler

Du står øverst på en rutsjebane, 20 meter over jorden. Nede ved bunden suser vognen afsted med næsten 20 m/s, altså omkring 70 km/t, selvom ingen motor har skubbet den undervejs. Det er mekanisk energi, der forklarer, hvor farten kommer fra, og den ide er en af de mest brugbare i hele fysik, fordi den lader dig regne på bevægelse uden at gå vejen om kræfter og acceleration.

Trikset er at holde regnskab. Højden er en opsparing, og den bliver løbende vekslet til fart. Så længe intet lækker til varme, står det samlede beløb uændret. Det er hele ideen, og du kan bygge den op fra bunden herunder, så du kan bruge den i opgaver på gymnasiet, til eksamen og i forsøgsrapporter.

Hvad er mekanisk energi?

Slip en bold på 2 kg fra 5 meters højde. Lige før du slipper, står den stille og har ingen bevægelsesenergi, men højden giver den \( 2 \cdot 9{,}82 \cdot 5 = 98{,}2 \) J i beliggenhedsenergi. Midt i faldet, 2 meter over jorden, er der kun \( 2 \cdot 9{,}82 \cdot 2 = 39{,}28 \) J tilbage i højden, og de resterende \( 98{,}2 - 39{,}28 = 58{,}92 \) J er blevet til fart. Lige før bolden rammer jorden, er al beliggenhedsenergien væk, og til gengæld har bolden 98,2 J i bevægelsesenergi. Tallene på de to poster ændrer sig hele tiden. Summen gør ikke.

Fysikken bruger flere navne for de samme to ting, og du møder dem alle i bøger og opgaver. Kinetisk energi hedder også bevægelsesenergi, og potentiel energi hedder også beliggenhedsenergi. Tilsammen udgør de den mekaniske energi. Ifølge Den Store Danskes opslag om energi har den rent mekaniske fysik netop to fundamentale energiformer: kinetisk energi ved bevægelse af masse og potentiel energi ved beliggenhed i et kraftfelt. Termisk energi, kemisk energi og elektrisk energi er andre energiformer og tæller ikke med i den mekaniske energi. Vil du forstå hver af de to dele for sig, kan du læse guiderne om kinetisk energi og potentiel energi. Det er samspillet mellem dem, der gør mekanisk energi så anvendelig.

Kinetisk og potentiel energi: de to poster i regnskabet

Hvorfor er det så meget værre at ramme en mur ved 100 km/t end ved 50 km/t? Fordi bevægelsesenergien vokser med farten i anden. En bil på 1000 kg, der kører 10 m/s (36 km/t), har \( \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10^2 = 50\,000 \) J. Dobbelt fart, 20 m/s, giver \( \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 200\,000 \) J. Fire gange så meget energi ved dobbelt så stor fart. Det er kvadratet på hastigheden, der laver forskellen, og det er den formel, du skal bruge, når du regner på kinetisk energi.

Potentiel energi virker modsat: den sidder i placeringen. Løfter du en rygsæk på 8 kg op på en hylde 1,5 m over gulvet, har rygsækken gemt \( 8 \cdot 9{,}82 \cdot 1{,}5 = 117{,}84 \) J. Intet bevæger sig, men energien er der og venter. Slipper du rygsækken, bliver den til fart. Tallet 9,82 er tyngdeaccelerationen g, og du kan læse mere om den i guiden til tyngdeacceleration. Højden h måler du fra et nulpunkt, som du selv vælger.

Bevarelse af mekanisk energi

Følg bolden på 2 kg i tre øjeblikke. Ved 5 m er Epot 98,2 J og Ekin 0 J. Ved 3 m er Epot 58,92 J og Ekin 39,28 J. Ved 0 m er Epot 0 J og Ekin 98,2 J. Læg tallene sammen i hver række, og du får 98,2 J hver gang. Energien skifter form, men den bliver ikke mindre. Det er bevarelse af mekanisk energi, og den gør dig i stand til at hoppe direkte fra start til slut uden mellemregninger.

Grafen viser det visuelt: den røde linje stiger med højden, den grønne falder, og den stiplede linje for summen er flad. Men bevarelsen holder ikke altid. Den kræver, at der kun virker kræfter af en bestemt type. Ifølge Lex om konservative kræfter er en konservativ kraft en kraft, hvor det udførte arbejde kun afhænger af begyndelses- og slutstilling og ikke af den vej, legemet er ført. Tyngdekraften er et eksempel. Friktionskræfter er det ikke, fordi de blandt andet kan afhænge af hastigheden. Hvis der kun virker konservative kræfter, er den mekaniske energi konstant.

Sådan løser du en opgave med energibevarelse

Skal du finde farten i bunden af en rutsjebane med kurver og bakker, bliver kræfter og acceleration en ubehagelig vej, fordi hældningen skifter hele tiden. Energivejen er kort: du skal kun kende start og slut, aldrig det, der sker imellem. Ifølge UVMs vejledning til Fysik C er fysik obligatorisk på mindst C-niveau i det almene gymnasium, og energiopgaver hører til dem, du møder igen og igen. Med den samme fremgangsmåde kommer du igennem dem alle.

1. 1

   Vælg start, slut og nulpunkt

   Kald startpunktet A og slutpunktet B. Sæt nulpunktet for højden i det laveste punkt, så bliver h = 0 dér.

2. 2

   Opskriv energien i begge punkter

   Skriv Emek = m·g·h + ½·m·v² for A og for B. Er legemet i ro i et punkt, er v = 0 dér. Er det i nulpunktet, er h = 0.

3. 3

   Sæt de to udtryk lig med hinanden

   Skriv Emek,A = Emek,B. Massen står ofte på begge sider og kan forkortes væk.

4. 4

   Isolér det ukendte og tjek enhederne

   Løs for fart eller højde. Tjek, at fart er i m/s, højde i m og energi i J, og at svaret er rimeligt.

Læg mærke til, at vognens masse på 500 kg ikke havde nogen betydning for svaret. Den står i alle led og forkortes væk, hvis du skriver ligningen op i bogstaver. Det giver en genvej, når et legeme starter i ro og kun højden ændrer sig: farten afhænger kun af, hvor langt ned legemet er faldet.

Prøv genvejen på vognen: \( \sqrt{2 \cdot 9{,}82 \cdot 15} = \sqrt{294{,}6} \approx 17{,}2 \) m/s. Samme svar, tre linjer kortere. Genvejen virker kun, når alt starter i ro og der ikke er friktion, så brug den som kontrol og ikke som erstatning for fremgangsmåden ovenfor.

Skråplan, kurver og rutsjebaner: vejen er ligegyldig

To rutsjebaner er lige høje, 2 meter. Den ene er en stejl bane på 4 meter, den anden en lang, blid kurve på 10 meter. Hvilken giver mest fart i bunden? Mavefornemmelsen peger på den stejle, fordi den er mest voldsom. Energiregnskabet siger, at de er lige hurtige. Begge steder er faldhøjden 2 m, så uden friktion er \( v = \sqrt{2 \cdot 9{,}82 \cdot 2} \approx 6{,}3 \) m/s i bunden af dem begge.

Forklaringen ligger i de konservative kræfter. Tyngdekraftens arbejde afhænger kun af højdeforskellen og ikke af vejen. Den lange bane når bare bunden senere, fordi accelerationen er mindre undervejs. Det gør energimetoden stærk, når banen er indviklet: du kan helt droppe at beskrive kurven. Med friktion bliver billedet et andet, for så taber den lange bane mere energi, fordi gnidningen virker over en længere strækning.

Skal vognen tage et loop, er det samme regel, der fortæller, hvor højt starten mindst skal ligge. Den præcise betingelse kræver også, at du kender cirkelbevægelse, men energiregnskabet er altid første skridt.

Kast lodret op: hvor højt kommer bolden?

Du kaster en bold lodret op med 12 m/s. Hvor højt når den, før den vender om? Her behøver du hverken tid, bevægelsesligninger eller acceleration. I det højeste punkt står bolden et øjeblik helt stille, så al bevægelsesenergien er blevet til beliggenhedsenergi. Start og top er de to øjeblikke, du ved noget om, og så er opgaven reelt løst.

Massen forsvandt igen. En bold på 2 kg når samme højde som en på 0,20 kg, hvis de kastes med samme fart og luftmodstanden holdes ude. Det føles forkert, fordi du forventer, at noget tungt kommer lavere. Men den tunge bold har også mere bevægelsesenergi at give af, og de to ting ophæver hinanden. Når bolden falder ned igen, passerer den hånden med præcis 12 m/s, fordi energien i samme højde er den samme.

Når mekanisk energi ikke er bevaret

En cyklist på 80 kg (inklusive cykel) kører 8 m/s og trykker bremserne i bund. Før bremsningen har hun \( \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 8^2 = 2560 \) J i bevægelsesenergi. Bagefter står hun stille, og den mekaniske energi er nul. Hvor blev de 2560 J af? De varmede bremseklodserne og fælgene op. Energien forsvandt ikke. Den forlod bare den mekaniske regning.

I mekanikkompendiet fra Den Danske Fysikolympiade står det sådan, at ikke-konservative kræfter som gnidning formindsker systemets mekaniske energi og typisk omdanner den til varme, der går ud i omgivelserne. Da energien er bevaret, når systemet og omgivelserne ses samlet, kan du regne arbejdet fra gnidningen ud som ændringen i mekanisk energi. Fortegnet er negativt, fordi gnidningen tager energi fra bevægelsen.

Elastisk energi: fjedre og fjederpistoler

Højde er ikke den eneste måde at gemme energi på. Skubber du en kugle ind i en fjederpistol, og trykker fjederen 10 cm sammen, ligger der energi i fjederen, selvom pistolen ligger helt stille på bordet. Med en fjederkonstant på 200 N/m bliver det til \( \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}10^2 = 1 \) J. Dobbelt så meget sammentrykning giver fire gange så meget energi, fordi x indgår i anden potens, ligesom farten gør i bevægelsesenergien.

Når fjederen slippes, bliver 1 J til bevægelsesenergi i kuglen. Hvis kuglen vejer 20 g, altså 0,020 kg, og skydes vandret uden gnidning, giver det \( v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{0{,}020}} = \sqrt{100} = 10 \) m/s. Fjederkraften er en konservativ kraft, så den passer fint ind i energiregnskabet. Du lægger blot et tredje led til udtrykket for den mekaniske energi, når en fjeder er med i opgaven.

Mekanisk energi og arbejde: hvordan energien kommer ind og ud

Hvordan kommer energien overhovedet ind i regnskabet? Du løfter rygsækken op på hylden, og det koster dig noget. Det, du bruger, kalder fysikken arbejde. Løfter du de 8 kg op i 1,5 m, udfører du et arbejde på 117,84 J mod tyngdekraften, og præcis det beløb ligger i rygsækken bagefter som beliggenhedsenergi. Arbejde er altså ikke en ny slags energi, men en måde at flytte energi fra ét sted til et andet. Den Store Danske beskriver mekanisk arbejde som energi i transit, for eksempel når potentiel energi omsættes til kinetisk.

Formlen gælder, når kraften peger i bevægelsesretningen. Løfter du rygsækken med en kraft på 78,56 N, som er lige så stor som tyngdekraften \( 8 \cdot 9{,}82 \), over 1,5 m, bliver arbejdet \( 78{,}56 \cdot 1{,}5 = 117{,}84 \) J. Samme tal som før, og det er ingen tilfældighed. Når du bremser en cykel, udfører bremsekraften et negativt arbejde, og energien forlader bevægelsen. Når en motor accelererer en bil, udfører den et positivt arbejde, og bilens mekaniske energi vokser. Sammenhængen er enkel: arbejdet fra de kræfter, der ikke er konservative, er lig med ændringen i mekanisk energi. Det er den samme formel, du brugte på kassen på skråplanet.

Pendulet og rutsjebanen: mekanisk energi i praksis

Et pendul er mekanisk energi i sin reneste form. Træk loddet 20 cm op, og slip. I toppen af udsvinget står loddet et øjeblik stille, og al energien er beliggenhedsenergi. På vej ned veksles den til fart, og i det laveste punkt er farten størst: \( v = \sqrt{2 \cdot 9{,}82 \cdot 0{,}20} \approx 1{,}98 \) m/s. Så svinger loddet op på den anden side til næsten samme højde, hvor farten igen er nul. Energien pendler frem og tilbage mellem de to poster, og derfor hedder det et pendul.

Næsten samme højde, siger vi. Over tid svinger loddet lavere og lavere, fordi luftmodstand og gnidning i ophænget stjæler lidt energi ved hvert udsving. Det samme gælder rutsjebanen fra starten: den første top er altid den højeste, fordi vognen kun har den energi, den fik med fra starten, og ingen af de næste bakker kan være højere. Forsøg i fysiktimerne følger samme logik. Filmer du en bold i frit fald og aflæser højde og fart i hvert billede, kan du regne Epot og Ekin ud og se, at summen holder nogenlunde. Afvigelsen er luftmodstand og målefejl, og den er netop det interessante at skrive om i rapporten.

Mekanisk energi i en forsøgsrapport

Rapporten om mekanisk energi ligner de fleste andre i fysik, men den har et særligt trick: du måler ikke energien direkte. Du måler masse, højde og tid og regner energien ud bagefter. Filmer du en kugle i fald og bruger et videoanalyseprogram til at aflæse højde og position i hvert billede, får du en tabel med højde og fart for hvert tidspunkt. Fra tabellen regner du Epot og Ekin og lægger dem sammen i en tredje kolonne.

Den tredje kolonne bliver sjældent helt konstant. I en typisk måling falder Emek en smule gennem faldet, og det er ikke en fejl i din rapport. Det er luftmodstand og målefejl, og begge dele skal omtales. Plot de tre energier som funktion af tiden i samme diagram, og forklar, hvorfor Epot falder, Ekin stiger, og summen næsten ligger vandret. Konkluder til sidst, om den mekaniske energi var bevaret inden for måleusikkerheden, og hvad den lille afvigelse skyldes. Det giver en bedre rapport end en perfekt sum, som ingen tror på.

Energi forsvinder aldrig: mekanisk energi i det store billede

Når den mekaniske energi falder, er det fristende at sige, at energi forsvandt. Det passer ikke. Ifølge Wikipedias artikel om energibevarelse siger loven, at den samlede energi i et isoleret system er konstant, og at energi ikke kan skabes eller ødelægges, men blot omdannes til andre former. Mekanisk energi er altså kun én post i et større regnskab.

Tag cyklisten fra før. Hendes 2560 J endte som termisk energi i bremser og fælge. Tag et vandkraftværk: vandet i et højtliggende magasin har beliggenhedsenergi, der bliver til bevægelsesenergi i faldet, driver en turbine og ender som elektrisk energi i ledningerne. Hver gang skifter energien form, og hver gang er det den samme lov, der holder regnskabet. Skal du skrive en perspektivering i fysik, er det her, du kan flytte blikket fra formler til sammenhænge.

Kunne mekanisk energi bevares helt uden tab, ville et pendul svinge for evigt. Det gør det ikke, og det er en nyttig pointe. Alle forsøg på at bygge en maskine, der giver mere energi, end den får, har måttet opgive, fordi gnidning og varme altid tager deres del. Du kan bruge det som argument, hvis en opgave spørger, hvorfor energibevarelse sætter en grænse for, hvad teknologi kan. Vil du have nogen at regne opgaverne igennem med, kan du prøve en tutor i fysik med en prøvetime og helt uden binding.

Typiske fejl i opgaver om mekanisk energi

Mekanisk energi er ikke svær, men den har nogle faldgruber, der går igen i besvarelser. Fælles for dem er, at regnestykket ser rigtigt ud, og at man først opdager fejlen, når svaret føles forkert. En bold, der falder fra 5 m og lander med 49 m/s, burde få dig til at stoppe op.