Pythagoras' sætning: formlen, beviset og opgaver

En tømrer, der skal tjekke om et hjørne er vinkelret, lægger et målebånd 3 meter langs den ene væg, 4 meter langs den anden og måler skrå over: 5 meter. Er resultatet præcis 5 meter, er hjørnet ret. Han behøver ingen gradmåler. Det er Pythagoras' sætning, der arbejder i baggrunden. I en retvinklet trekant med kateter \( a \) og \( b \) og hypotenuse \( c \) gælder nemlig altid, at \( a^2 + b^2 = c^2 \). Den formel er grundstenen i alt arbejde med retvinklede trekanter fra folkeskolens geometriopgaver til arkitekters tegninger.

I denne guide gennemgår vi formlen trin for trin. Du lærer, hvad katete og hypotenuse er, hvordan du beregner hypotenusen når du kender kateterne, og hvad du gør når det er katetens længde du mangler. Undervejs er der gennemgåede eksempler, et forståeligt bevis og en quiz, så du kan teste dig selv til sidst.

Hvad er en retvinklet trekant?

Tag en trekant med tre hjørner. Hvis én af vinklerne er præcis 90 grader, har du en retvinklet trekant. Den rette vinkel markeres i figurer med et lille kvadrat i hjørnet, så den er nem at kende. De to sider, der mødes i det rette hjørne, hedder kateter. Den tredje side, den der er modsat den rette vinkel, er trekantens længste side og hedder hypotenusen. Det er altid hypotenusen, du beregner med \( c \), og kateterne med \( a \) og \( b \).

Det er ligegyldigt, om du kalder den ene katete \( a \) og den anden \( b \) eller omvendt. Det ændrer ikke resultatet. Hypotenusen er derimod altid \( c \), og den er altid den længste. Husker du det, undgår du at sætte tallene forkert ind i formlen.

Pythagoras' sætning og formlen a² + b² = c²

Kender du to af siderne i en retvinklet trekant, kan du altid finde den tredje. Sætningen siger, at kvadraterne på de to kateter tilsammen er lig med kvadratet på hypotenusen. Skrevet som ligning ser det sådan ud:

Ifølge Lex.dk's artikel om Pythagoras' sætning af matematiker Torkil Heiede var princippet bag sætningen allerede kendt i Babylonien ca. 1800 år f.v.t. Pythagoras (ca. 580-500 f.v.t.) menes at have leveret det første formelle bevis. Sætningen bærer hans navn den dag i dag.

Sådan beregner du hypotenusen

Du har to kateter: \( a = 6 \) cm og \( b = 8 \) cm, og du vil finde hypotenusen \( c \). Sæt tallene ind i formlen: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \). Det giver \( 36 + 64 = 100 \), altså \( c^2 = 100 \). Tag kvadratroden: \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm. Fremgangsmåden er den samme, uanset hvilke tal du får.

1. 1

   Skriv formlen op

   Start med: a² + b² = c². Det holder styr på, hvad du ved, og hvad du søger.

2. 2

   Sæt de kendte kateter ind

   Erstat a og b med de to kateter, du kender. Husk: kateterne er siderne ved den rette vinkel, ikke hypotenusen.

3. 3

   Beregn og læg kvadraterne sammen

   Beregn a² og b² hver for sig, og læg dem sammen. Resultatet er c².

4. 4

   Tag kvadratroden og få c

   Hypotenusen c er kvadratroden af summen: c = √(a² + b²). Brug lommeregner til ikke-pæne tal.

Svaret \( c = 13 \) er et helt tal. Det er ikke tilfældigt: (5, 12, 13) er et pythagoræisk talsæt, ligesom (3, 4, 5). Du kan tjekke dit svar ved at sætte alle tre sidelængder ind igen og bekræfte, at lighedstegnet holder: \( 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 \).

Sådan finder du en katete (omvendt Pythagoras)

Hvad nu hvis du kender hypotenusen og én katete, men ikke den anden? Det er en klassisk opgavetype. Svaret er, at du vender formlen om. Fra \( a^2 + b^2 = c^2 \) isolerer du den ukendte katete ved at trække det kendte led fra på begge sider:

Fremgangsmåden er altid den samme: træk den kendte katete i anden fra hypotenusen i anden, og tag kvadratroden. Det er præcis det samme som at løse en ligning med én ubekendt, og det kræver blot, at du holder styr på, hvilken side der er hypotenusen.

Bevis for Pythagoras' sætning

Sætningen er ikke bare en regel, nogen har fundet på. Der er en konkret forklaring på, hvorfor \( a^2 + b^2 \) altid er lig med \( c^2 \). Et af de smukkeste beviser bruger areal og kræver kun, at du kan beregne arealet af en trekant og et kvadrat.

1. 1

   Tegn et stort kvadrat med sidelængde (a + b)

   Arealet af det store kvadrat er (a + b)² = a² + 2ab + b².

2. 2

   Placer fire ens retvinklede trekanter i hjørnerne

   De fire trekanter har kateter a og b og hypotenuse c. Deres samlede areal er 4 x 1/2 x ab = 2ab.

3. 3

   Den resterende form i midten er et kvadrat med sidelengde c

   Formen i midten har sidelængde c og areal c². Den er et kvadrat, fordi alle dens vinkler er 90 grader.

4. 4

   Sæt arealerne lig med hinanden og forenkl

   Stort kvadrat = fire trekanter + midterste kvadrat. Så a² + 2ab + b² = 2ab + c². Træk 2ab fra begge sider, og du får: a² + b² = c².

Beviset kræver ingen avanceret matematik. Ifølge Videnskab.dk's gennemgang af Pythagoras' sætning er sætningen 'måske den vigtigste matematiske formel overhovedet'. Der er historisk dokumenteret over 370 forskellige beviser for den.

Den omvendte sætning: er trekanten retvinklet?

Du har en trekant med sidelængderne 8, 15 og 17. Er den retvinklet? Du kan faktisk tjekke det uden at måle en eneste vinkel. Den omvendte sætning siger, at en trekant er retvinklet, præcis når sidelængderne opfylder \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Dette trick bruges i praksis på byggepladser. En snor opdelt i forholdet 3:4:5 sikrer et vinkelret hjørne uden brug af instrumenter. Egypterne brugte det samme princip til at opføre pyramidernes præcise hjørner for tusindvis af år siden.

Pythagoræiske tripler

Normalt giver Pythagoras' sætning svaret som en rod, fx \( \sqrt{2} \) eller \( \sqrt{5} \). Men ind imellem passer tallene sig perfekt, og resultatet er et helt tal. Tre hele positive tal der opfylder \( a^2 + b^2 = c^2 \) kaldes et pythagoræisk talsæt eller en pythagoræisk triple. Det mest kendte er (3, 4, 5), men der findes mange andre, og de kan alle verificeres med formlen.

Pythagoras' sætning i hverdagen

En GPS beregner din position ved at måle afstanden til satellitter i flere retninger. Afstanden nordover og østover er de to kateter, og den direkte luftlinjeafstand er hypotenusen. Bevæger du dig 3 km mod øst og 4 km mod nord, er den korteste direkte afstand til startpunktet \( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \) km. Det er Pythagoras i en lomme-app.

Arkitekter og ingeniører bruger formlen til at kontrollere, at vægge og bjælker er vinkelrette. Skovmålere beregner træhøjder via vandrette afstande og kendte vinkler. I computergrafik bruges Pythagoras' formel til at beregne pixelafstanden mellem to punkter på en skærm, et beregning der sidder i kernen af alt fra billedbehandling til spilprogrammering.

Vil du lære mere om trekanter generelt, kan du læse vores guide til trekanter. Næste skridt efter Pythagoras er trigonometri, hvor du beregner vinkler og sidelængder i alle slags trekanter med sinus, cosinus og tangens. Har du brug for personlig hjælp, finder du en certificeret tutor på Toptutors' matematikside. Gratis prøvetime, ingen binding.