Sinusrelationen: formel, bevis og eksempler

Sinusrelationen løser trekantopgaver, som Pythagoras ikke kan røre. Forestil dig, at du på en orienteringstur skal beregne afstanden til et skovhjørne: du kender én side langs en sti og to vinkler, men trekanten er hverken retvinklet eller nem. Med sinusrelationen er svaret to regnestep væk.

Sinusrelationen gælder for alle trekanter: spidsvinklede, stumpvinklede og retvinklede. Den kobler forholdet mellem sidelængder og sinus til de modstående vinkler og giver dig en direkte vej til det stykke, du mangler. På gymnasiet er det kernestof i matematik B, og det er en af de formler, der jævnligt dukker op til eksamen, både skriftligt og mundtligt.

Hvad er sinusrelationen?

Vælg navne til din trekant: siderne hedder a, b og c. Vinkel A sidder over for siden a, vinkel B over for b, og vinkel C over for c. Det er standard-notationen, og den er vigtig, fordi sinusrelationen altid parrer en side med sin modstående vinkel.

Formlen kan vendes, så det led du søger kommer i tælleren. Skal du finde siden a, isolerer du: \( a = \frac{b \cdot \sin(A)}{\sin(B)} \). Skal du finde en vinkel, isolerer du sinus og tager arcsin bagefter. Bemærk at formlen virker for alle trekanter, ikke kun retvinklede.

Bevis for sinusrelationen

Beviset bygger på en simpel observation: højden i en trekant kan udtrykkes på to måder, alt efter hvilken retvinklet deltrekant man betragter. Tag trekant ABC og tegn højden \( h_c \) fra hjørne C ned til grundlinjen c. Den deler trekanten i to retvinklede deltrekanter, og det er der, hemmeligheden gemmer sig.

1. 1

   Højden i venstre deltrekant

2. 2

   Højden i højre deltrekant

3. 3

   Sæt de to udtryk lig hinanden

4. 4

   Resultatet

For stumpvinklede trekanter falder højden uden for trekanten. Her bruges identiteten \( \sin(180^\circ - v) = \sin(v) \), og regningen holder stadig. Formlen er dermed gyldig for alle typer trekanter.

Find en sidelængde med sinusrelationen

Tag en konkret trekant: vinkel A = 40°, vinkel B = 70° og siden b = 10. Du skal finde siden a. Det er den klassiske AAS-situation: to vinkler er kendte, og den ene af de tilhørende modstående sider er kendt.

En god kontrol: i en trekant sidder den korteste side altid over for den mindste vinkel. Her er A = 40° < B = 70°, så a < b, og det stemmer: 6,84 < 10.

Find en vinkel med sinusrelationen

Hvad nu, hvis det er en vinkel, der mangler? Her er situationen lidt anderledes: du kender to sider og vinklen over for den ene. Trekanten har a = 7, b = 10 og vinkel B = 63°. Du vil finde vinkel A.

Det dobbelttydige tilfælde

Sinus har en særlig egenskab: \( \sin(v) = \sin(180^\circ - v) \). Det betyder, at to vinkler, en spids og en stump, kan have præcis den samme sinusværdi. Når lommeregneren giver dig \( \arcsin(0{,}6237) \approx 38{,}6^\circ \), er \( 180^\circ - 38{,}6^\circ = 141{,}4^\circ \) matematisk set ligeså gyldig, men kun én af dem passer til trekanten.

Konkret: du kender vinkel A = 32°, siden a = 5 og siden b = 8. Du beregner \( \sin(B) = \frac{8 \cdot \sin(32^\circ)}{5} \approx 0{,}849 \). Det giver to løsninger: \( B_1 = \arcsin(0{,}849) \approx 58{,}1^\circ \) og \( B_2 = 180^\circ - 58{,}1^\circ = 121{,}9^\circ \). Begge er gyldige, fordi \( 32^\circ + 58{,}1^\circ = 90{,}1^\circ < 180^\circ \) og \( 32^\circ + 121{,}9^\circ = 153{,}9^\circ < 180^\circ \).

Sinusrelationen eller cosinusrelationen?

De to formler supplerer hinanden og bruges tit i samme opgave. Spørgsmålet er: hvad kender du? Er det vinkler og sider over for hinanden, er sinusrelationen den hurtigste vej. Er det sider og den mellemliggende vinkel, skal du bruge cosinusrelationen.

En praktisk huskeregel: kender du flere vinkler end sider, start med sinusrelationen. Kender du flere sider end vinkler, start med cosinusrelationen. De to formler supplerer hinanden og bruges ofte i den samme opgave, fx til at finde alle stykker i en trekant, der blot er delvist oplyst.

Ifølge UVMs læseplan for matematik B er sinus- og cosinusrelationerne kernestof, som du forventes at beherske til eksamen. Det er derfor umagen værd at øve begge formler, forstå hvornår hver bruges, og ikke mindst kende det dobbelttydige tilfælde, som jævnligt optræder i eksamensopgaver.

Vil du forstå sammengangen i trigonometri? Læs vores komplette guide til trigonometri: sin, cos og tan eller vores artikel om trekantberegning. Brug for ekstra hjælp? Find en matematik-tutor hos Toptutors og få personlig lektiehjælp.