Idealgasligningen: pV = nRT, enheder og regneeksempler

Du fylder en ballon med luft og glemmer den i bilen en varm sommerdag. Da du kommer tilbage, er den hård som en bold, selvom ingen har pumpet mere luft i. Idealgasligningen forklarer, hvorfor: når temperaturen stiger, og gassen ikke kan komme nogen steder, stiger trykket.

Det samme sker i en spraydåse, i et cykeldæk og i lungerne på en dykker. Gasser opfører sig overraskende ens, uanset om det er ilt, kvælstof eller helium. Det betyder, at én enkelt formel kan beregne, hvor meget gas du har, hvor meget plads den fylder, og hvor hårdt den presser på væggene. Den formel skal du kunne bruge i kemi, og den er mindre uhyggelig, end den ser ud.

Hvad er idealgasligningen?

Ordet "ideal" er vigtigt. En ideal gas er en tænkt gas, hvor partiklerne er uden volumen og ikke påvirker hinanden, før de støder sammen. Sådan en gas findes ikke, men almindelige gasser ved stuetemperatur og normalt tryk kommer tæt på. Ifølge den danske Wikipedia-artikel om idealgasligningen blev loven første gang formuleret i 1834 af franskmanden Benoît Paul Émile Clapeyron. På gymnasiet regner du næsten altid, som om luft, ilt, hydrogen og kuldioxid er ideale. Det går fint.

Hvorfor virker ligningen for så forskellige gasser? Fordi den kun interesserer sig for, hvor mange partikler der er, og hvor hurtigt de flyver rundt, ikke for hvilken slags partikler det er. Et heliumatom og et kuldioxidmolekyle rammer væggen med samme gennemsnitlige bevægelsesenergi ved samme temperatur. Trykket kommer af alle de små stød mod væggen. Flere stød giver højere tryk, og hårdere stød giver også højere tryk.

De fem størrelser: tryk, volumen, stofmængde, temperatur og R

Tænk på et cykeldæk. Pumper du flere luftmolekyler ind, stiger trykket. Står cyklen i solen, stiger trykket også. Presser du dækket sammen, stiger trykket igen. Tre forskellige handlinger, samme effekt, og alle tre er med i ligningen. Venstresiden \( p \cdot V \) er trykket gange rummet, gassen har. Højresiden \( n \cdot R \cdot T \) er, hvor mange partikler der er, og hvor hurtigt de bevæger sig. De to sider er altid lige store.

Stofmængden n kender du fra mol og molarmasse. Har du brug for at øve overgangen fra gram til mol, kan du gøre det med en tutor i lektiehjælp i kemi. Pointen her er, at ligningen regner i mol og ikke i gram. Derfor skal du ofte et ekstra skridt omkring molarmassen, før du kan bruge den.

Enheder, Kelvin og gaskonstanten R

25 grader celsius og 25 kelvin lyder næsten ens, men det ene er en behagelig sommerdag, og det andet er koldere end noget sted i solsystemet, vi har målt. Temperaturen i idealgasligningen skal altid være i kelvin. Du omregner ved at lægge 273,15 til celsiusgraderne. Så bliver 25 °C til \( 25 + 273{,}15 = 298{,}15 \) K. Kelvinskalaen starter ved det absolutte nulpunkt, hvor partiklerne næsten står stille. Med celsius ville ligningen give nul tryk ved 0 °C, og det passer ikke med virkeligheden.

Gaskonstanten R har to almindelige værdier, fordi den følger de enheder, du vælger til tryk og volumen. Fysik bruger oftest pascal og kubikmeter. Kemi bruger oftest bar og liter. Begge tal er korrekte, du skal bare ikke blande dem.

Som Niels Bohr Institutet på Københavns Universitet påpeger, afhænger R af de enheder, man bruger til at måle p og V. Det er samme størrelse udtrykt på to måder: 1 bar er 100 000 Pa, og 1 L er 0,001 m³, så 8,314 J/(mol·K) bliver til 0,08314 L·bar/(mol·K).

Sådan regner du med idealgasligningen trin for trin

Du får en opgave: en ballon rummer 5,00 L gas ved 1,50 bar og 27 °C. Hvor mange mol er der? Du kender tryk, volumen og temperatur, så den manglende størrelse er n. Det er præcis den slags opgave, ligningen er skabt til, og fremgangsmåden er den samme hver gang.

1. 1

   Skriv hvad du ved og hvad du søger

   Noter p, V, n og T. Tre af dem er givet, og den fjerde er det, du skal finde.

2. 2

   Omregn temperaturen til kelvin

   Læg 273,15 til celsiusgraderne. Afrund gerne til hele kelvin, når opgavens tal kun har få betydende cifre.

3. 3

   Vælg R, så den passer til dine enheder

   Bar og liter giver 0,08314. Pascal og kubikmeter giver 8,314. Omregn tryk og volumen, hvis de er givet i andre enheder.

4. 4

   Isolér den ukendte størrelse

   Omskriv ligningen, før du sætter tal ind. Så kan du se, om resultatet giver mening.

5. 5

   Sæt tal ind og tjek enheden

   Skriv resultatet med enhed og et passende antal betydende cifre. Spørg dig selv, om svaret er realistisk.

Hvad hvis opgaven er givet i SI-enheder? Så skifter du bare værktøj. Forestil dig 25,0 L luft, altså 0,0250 m³, ved 101 325 Pa og 20 °C. Nu skal du bruge R = 8,314 og regne alt andet i pascal og kubikmeter.

Sammenlign de to eksempler. Resultatet er næsten ens, selvom tallene ser helt forskellige ud, fordi begge opgaver beskriver en mængde luft, der er stor nok til at fylde en håndbøldunk. Når du har regnet nogle få opgaver, begynder du at føle størrelsesordenen. Ét mol gas fylder omkring 24 liter ved stuetemperatur, så et resultat på 0,001 mol eller 5000 mol i en almindelig ballon er et signal om, at en enhed er gået galt. Tjek derfor altid, om svaret er realistisk, før du går videre til næste del af opgaven.

Gaslovene gemt i idealgasligningen

Pump et cykeldæk op, og stempelpumpen bliver varm. Hold fingeren for luftåbningen, og stemplet bliver sværere at trykke ned, jo længere du kommer. Hvert af disse trick har fået sit eget navn, og idealgasligningen er i virkeligheden en samling af dem. Når to af størrelserne holdes fast, kan du se, hvordan de to andre hænger sammen.

Tag Boyles lov. En sprøjte med 1,0 L luft ved 1,0 bar presses sammen til 0,25 L, uden at temperaturen ændrer sig. Volumen bliver fire gange mindre, så trykket bliver fire gange større, nemlig 4,0 bar. Grafen herunder viser kurven: jo mindre volumen, jo stejlere stiger trykket. Ifølge Niels Bohr Institutets gennemgang af gaslovene supplerer Daltons lov de øvrige, så den også gælder for blandinger som atmosfærisk luft, hvor trykket er summen af ilten og kvælstoffets tryk.

Temperaturen er mere venlig. Her er sammenhængen en ret linje. Holder du trykket fast ved 1 bar og har 1 mol gas, giver ligningen \( V = \frac{R \cdot T}{p} = 0{,}08314 \cdot T \). Ved 273 K bliver det cirka 22,7 L, og ved 298 K cirka 24,8 L. Volumen vokser med samme stykke for hver kelvin, du varmer op.

Spraydåsen i varmen er et godt eksempel. Dåsen har et fast rumfang og en fast mængde gas, så det er Gay-Lussacs lov for tryk, der gælder. Det vil sige, at \( \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \).

Daltons lov bliver brugt, når du opsamler en gas over vand. Gassen er næsten altid blandet med vanddamp, og det målte tryk er summen af gassens eget tryk og vanddampens tryk. Du skal altid trække vanddampens tryk fra, før du sætter tallet ind i idealgasligningen. Ellers tror du, at du har mere gas, end du har.

Fra gas til mol: idealgasligningen i reaktionsregning

Hvis du smider et stykke magnesium i saltsyre, begynder det at boble. Boblerne er hydrogengas, og du kan fange dem i et måleglas. Men hvor meget gas skal du forvente? Det er her, idealgasligningen bliver en del af støkiometrien. Reaktionsskemaet fortæller dig, hvor mange mol gas der dannes, og idealgasligningen omsætter molene til liter. Du kan læse mere om at stille skemaet rigtigt op i vores guide til reaktionsskemaer, og om hvorfor metallerne reagerer med syre i guiden til syrer og baser.

Du kan også gå den modsatte vej. Har du vejet en gasprøve og målt dens tryk, volumen og temperatur, kan du finde molarmassen og dermed gætte, hvilken gas det er. Det gør du ved at erstatte \( n \) med \( \frac{m}{M} \) og isolere M.

Ved samme tryk og temperatur fylder alle gasser lige meget pr. mol. Det er Avogadros pointe, og tallet er cirka 24,8 L/mol ved 25 °C og 1 bar. Derfor kan du sige, at 3 liter hydrogen reagerer med 1,5 liter ilt til 3 liter vanddamp, uden at regne i mol overhovedet.

Omskrivninger og molvolumen: hvor meget fylder ét mol gas?

Hvorfor svæver en heliumballon op i loftet, mens en ballon fyldt med din udåndingsluft falder til gulvet? Svaret ligger i massefylden, og den kan du regne ud med idealgasligningen. Luft har en molarmasse på cirka 29 g/mol. Ved 1,00 bar og 298 K fylder ét mol luft \( \frac{0{,}08314 \cdot 298}{1{,}00} \approx 24{,}8 \) L, så massefylden bliver \( \frac{29}{24{,}8} \approx 1{,}17 \) g/L. Helium har molarmassen 4,00 g/mol, og ét mol fylder lige så meget. Massefylden bliver kun omkring 0,16 g/L, og ballonen stiger. Samme volumen, men langt lettere partikler.

Massefylden kommer af, at du erstatter n med m/M og samler m/V på den ene side. Det samme trick giver dig alle de omskrivninger, du får brug for. Du skal ikke lære dem udenad. Isolér den størrelse, du leder efter, og tjek, at enhederne passer, før du regner.

Molvolumen er det volumen, ét mol gas fylder. Det varierer med tryk og temperatur, så opgaver opgiver næsten altid de betingelser, de gælder ved. Ved 0 °C og 1 bar er det cirka 22,7 L/mol. Ved 25 °C og 1 bar er det cirka 24,8 L/mol. Hvis din lærebog siger 22,4 L/mol, bruger den 1 atmosfære i stedet for 1 bar. Alle tre tal er rigtige, de gælder bare ved forskellige betingelser. Læs derfor altid opgavens temperatur og tryk, før du bruger et tal fra hukommelsen.

Fysik og kemi bruger samme ligning, men de vælger forskellige enheder. Fysikopgaver giver ofte tryk i pascal og volumen i kubikmeter, og så bruger du R = 8,314. Kemiopgaver giver oftere bar og liter. Hvis du læser både kemi og fysik, så øv dig i at skifte mellem de to, indtil det føles mekanisk. Det er den hurtigste vej til at undgå enhedsfejl til eksamen.

Når gassen ikke er ideal

Fyld en cykelpumpe med luft, luk for åbningen og pres stemplet helt i bund. Til sidst kan du ikke komprimere mere, og luften opfører sig slet ikke, som ligningen forudsiger. Ligningen er en model, og modeller har grænser. Den antager, at partiklerne er punktformede og ikke tiltrækker hinanden. Det er rimeligt ved lavt tryk og høj temperatur, hvor partiklerne er langt fra hinanden. Ved højt tryk og lav temperatur er det ikke.

Fysikeren Johannes van der Waals pegede i 1873 på to ting, som idealgasligningen overser. Partiklerne fylder noget selv, og de tiltrækker hinanden. Lex beskriver hans tilstandsligning som en kvalitativ beskrivelse af virkelige gasser, hvor to stofspecifikke konstanter korrigerer for kræfterne mellem partiklerne og for deres eget volumen. På gymnasiet behøver du ikke regne med van der Waals, men du skal vide, at idealgasligningen er en tilnærmelse, og at den bryder sammen ved meget høje tryk eller nær kondensationspunktet.

Typiske fejl med idealgasligningen

Opgaver om gasser går sjældent galt på grund af selve ligningen. De går galt i enhederne. Her er de fire fejl, der koster flest point.