Tag et koordinatsystem og tegn en cirkel med centrum præcis i origo og radius præcis lig med 1. Det er det. Bag den enkle figur gemmer sig nøglen til at forstå sinus, cosinus og tangens for alle tænkelige vinkler, ikke blot dem i en retvinklet trekant. Det er enhedscirklen.
Uden enhedscirklen er sin(120°) et mysterium, fordi en 120°-vinkel ikke passer i en retvinklet trekant. Med enhedscirklen er det rutine: find retningspunktet, aflæs koordinaterne, og du har svaret. Her gennemgår vi alt fra definitionen til standardværdierne, inklusive radianer, sinus, cosinus og tangens. Se også vores sider om trigonometri og cirklens ligning for relaterede emner.
Hvad er enhedscirklen?
Nøglebegreb
Enhedscirklen
En enhedscirkel er en cirkel i et koordinatsystem med centrum i (0,0) og radius r = 1. Alle punkter (x, y) på enhedscirklen opfylder ligningen x² + y² = 1.
Eksempel: Punkterne (1, 0), (0, 1), (-1, 0) og (0, -1) ligger alle på enhedscirklen, fordi 1² + 0² = 1 for dem alle.
Ligningen for enhedscirklen stammer direkte fra Pythagoras' sætning. Har du et punkt P = (x, y) på cirklen, er afstanden fra P til centrum altid lig med 1, og det giver \( x^2 + y^2 = 1 \). Prøv med punktet \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \): da er \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \). Det punkt ligger på enhedscirklen. Hvert eneste punkt på cirklen opfylder netop denne ligning, og det er den, vi bygger hele trigonometrien på.
Enhedscirklen med centrum i (0,0) og radius 1
Vinkler og retningspunkter i enhedscirklen
Hvad sker der, hvis du drejer en linje fra origo og lader den stikke ud og ramme cirklen? Den linje danner en vinkel v med den positive del af x-aksen. Det sted, hvor linjen rammer cirklen, kalder vi retningspunktet for v, skrevet \( R_v \). Positive vinkler drejer mod uret fra x-aksen. Drejer du 90°, rammer du toppen (0, 1). Drejer du 180°, rammer du yderst til venstre (-1, 0).
Negative vinkler drejer med uret. En vinkel på \( -90^{\circ} \) giver det samme retningspunkt som \( 270^{\circ} \), nemlig (0, -1). Og en vinkel på \( 360^{\circ} \) giver præcis det samme retningspunkt som \( 0^{\circ} \), fordi man er kørt en hel omgang rundt. Det er det, der gør sinus og cosinus til periodiske funktioner: koordinaterne gentager sig for hver fuld omgang.
Eksempelopgave
Find retningspunkterne for vinklerne 0°, 90°, 180° og 270°.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
v = 0°
Ingen rotation fra x-aksen. Linjen peger direkte til højre og rammer cirklen i:
\[R_{0^{\circ}} = (1, 0)\] - 2
v = 90°
En kvart omgang mod uret. Linjen peger direkte op og rammer:
\[R_{90^{\circ}} = (0, 1)\] - 3
v = 180°
En halv omgang. Linjen peger til venstre og rammer:
\[R_{180^{\circ}} = (-1, 0)\] - 4
v = 270°
Tre kvart omgang mod uret (eller én kvart med uret). Linjen peger ned og rammer:
\[R_{270^{\circ}} = (0, -1)\]
Fra grader til radianer
Du har målt vinkler i grader siden mellemskolen. Men inden for gymnasiematematik møder du en anden vinkelenhed: radianer. Ideen er konkret: i stedet for at tælle grader måler du buelængden langs enhedscirklen fra (1, 0) hen til retningspunktet. Fordi radius er 1, er buelængden og vinklen i radianer det samme tal.
En hel omgang svarer til en buelængde på \( 2\pi \) (enhedscirklens omkreds). En hel omgang er også 360°. Det giver: \( 360^{\circ} = 2\pi \) radianer, og dermed \( 180^{\circ} = \pi \) radianer. Det er det eneste du behøver at huske, for alt andet kan udledes fra det.
Omregningsformler
Fra grader til radianer: gang med π/180. Fra radianer til grader: gang med 180/π. Eksempel: 45° = 45 × π/180 = π/4 radianer.
| Grader | Radianer | Decimal (ca.) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 0,524 |
| 45° | π/4 | 0,785 |
| 60° | π/3 | 1,047 |
| 90° | π/2 | 1,571 |
| 180° | π | 3,142 |
| 270° | 3π/2 | 4,712 |
| 360° | 2π | 6,283 |
Sinus og cosinus via enhedscirklen
Tegn vinklen \( v = 60^{\circ} \) ind i enhedscirklen. Retningspunktet havner i koordinaterne \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \). Prøv \( v = 30^{\circ} \): retningspunktet er \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \). Koordinaterne er byttet om. Definitionerne på cosinus og sinus handler præcis om de to koordinater: cosinus er x-koordinaten og sinus er y-koordinaten.
Formel
Cosinus via enhedscirklen
Variable
| Symbol | Navn | Enhed |
|---|---|---|
| \(v\) | Retningsvinkel | grader eller radianer |
| \(R_v\) | Retningspunkt | punkt på enhedscirklen |
Formel
Sinus via enhedscirklen
Variable
| Symbol | Navn | Enhed |
|---|---|---|
| \(v\) | Retningsvinkel | grader eller radianer |
| \(R_v\) | Retningspunkt | punkt på enhedscirklen |
Med den definition giver cosinus og sinus mening for alle vinkler. For \( v = 120^{\circ} \) er retningspunktet \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \). Dermed er \( \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2} \) og \( \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Cosinus er negativ, fordi punktet er til venstre for y-aksen. Sinus er positiv, fordi punktet er over x-aksen. Den slags fortegnsskift er umulige at finde med den gamle trekantsdefinition.
Retningspunktet for v = 60°: koordinaterne er (cos 60°, sin 60°) = (½, √3/2)
Eksempelopgave
Find sin(30°) og cos(30°) ved hjælp af enhedscirklen.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Find retningspunktet for 30°
En retvinklet trekant med vinkler 30°, 60° og 90° har kateterne i forholdet 1:√3 og hypotenusen 2. Skalerer vi så hypotenusen er 1 (på enhedscirklen), får vi:
\[R_{30^{\circ}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)\] - 2
Aflæs cosinus (x-koordinaten)
Cosinus er x-koordinaten til retningspunktet.
\[\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\] - 3
Aflæs sinus (y-koordinaten)
Sinus er y-koordinaten til retningspunktet.
\[\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} = 0{,}5\]
Tangens via enhedscirklen
Linjestykket fra origo til retningspunktet \( R_v = (x, y) \) har hældningen \( \frac{y}{x} \). Den hældning er præcis det, tangens måler. Det er en konkret geometrisk fortolkning: tangens fortæller dig, hvor stejl linjen ud til retningspunktet er. For \( v = 45^{\circ} \) er x og y ens, så hældningen er 1. For vinkler tæt på \( 90^{\circ} \) går x mod 0 og linjen bliver stadig stejlere, tangens vokser mod uendelig.
Formel
Tangens via enhedscirklen
Variable
| Symbol | Navn | Enhed |
|---|---|---|
| \(v\) | Retningsvinkel | grader eller radianer |
| \(x\) | cos(v): x-koordinat for retningspunktet | tal |
| \(y\) | sin(v): y-koordinat for retningspunktet | tal |
Tangens er udefineret, når \( \cos(v) = 0 \), altså for \( v = 90^{\circ} \) og \( v = 270^{\circ} \) og alle vinkler der er et multiplum af \( 180^{\circ} \) derfra. Det giver mening: ved \( 90^{\circ} \) peger linjen direkte op og har ingen endelig hældning.
Eksempelopgave
Beregn tan(45°) ved hjælp af enhedscirklen.
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Find retningspunktet for 45°
For en vinkel på 45° er x- og y-koordinaterne lige store. Da punktet ligger på enhedscirklen, gælder 2x² = 1, så x = √2/2.
\[R_{45^{\circ}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\] - 2
Beregn tangens som y/x
Da y og x er ens, bliver forholdet 1.
\[\tan(45^{\circ}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1\]
Standardværdierne du skal kende
Fem vinkler dukker op igen og igen i gymnasieopgaverne: 0°, 30°, 45°, 60° og 90°. Kender du disse eksakte værdier, kan du løse langt de fleste standardopgaver uden lommeregner. Her er fremgangsmåden for 45°, så du ser, hvordan man afleder værdierne i stedet for blot at huske dem udenad.
| Vinkel (°) | Radianer | cos(v) | sin(v) | tan(v) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 ≈ 0,866 | ½ = 0,5 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | π/4 | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | π/3 | ½ = 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | udefineret |
Grundrelationen: cos²(v) + sin²(v) = 1
Kig på retningspunktet \( R_v = (\cos(v), \sin(v)) \). Afstanden fra origo til dette punkt er altid lig med 1, fordi det netop ligger på enhedscirklen med radius 1. Afstandsformlen (Pythagoras) siger: \( \sqrt{\cos^2(v) + \sin^2(v)} = 1 \). Opløfter vi begge sider i anden potens, får vi en identitet, der gælder for alle vinkler.
Formel
Grundrelationen (Pythagoras-identiteten)
Variable
| Symbol | Navn | Enhed |
|---|---|---|
| \(v\) | Vinkel | grader eller radianer |
Eksempelopgave
Vinklen v ligger i første kvadrant og sin(v) = 3/5. Find cos(v).
Vis løsningSkjul løsning
- 1
Indsæt sin(v) i grundrelationen
Da sin(v) = 3/5 indsætter vi i cos²(v) + sin²(v) = 1:
\[\cos^2(v) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1\] - 2
Isoler cos²(v)
Beregn (3/5)² = 9/25 og isoler cos²(v):
\[\cos^2(v) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\] - 3
Tag kvadratroden med korrekt fortegn
Da v er i første kvadrant, er cos(v) positiv:
\[\cos(v) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0{,}8\]
Sinus og cosinus som periodiske funktioner
Hvad sker der med \( \sin(v) \), når du drejer mere end én fuld omgang rundt? Efter præcis \( 360^{\circ} \) (dvs. \( 2\pi \) radianer) er du tilbage ved det samme retningspunkt, med de samme koordinater. Det betyder, at \( \sin(v + 360^{\circ}) = \sin(v) \) og \( \cos(v + 360^{\circ}) = \cos(v) \). Funktionerne er periodiske med periode \( 2\pi \).
Grafen for f(x) = sin(x) fra -2π til 2π
Cosinusgrafen ser nøjagtig ens ud, men er forskudt \( 90^{\circ} \) til venstre. Begge funktioner er defineret for alle reelle tal, og værdimængden er altid intervallet fra -1 til 1. Det er en direkte konsekvens af, at alle punkter på enhedscirklen har koordinater netop i det interval. Brug en matematiktutor til at arbejde konkret med opgaver på dette niveau.
Typiske fejl med enhedscirklen
Typiske fejl
Quiz
Test dig selv: Enhedscirklen
Svar på disse fire spørgsmål og se, om du har styr på enhedscirklen.
1. Hvad er koordinaterne til retningspunktet for v = 90°?
2. Hvad er 60° omregnet til radianer?
3. Hvad er grundrelationen for enhedscirklen?
4. For hvilken vinkel er tan(v) udefineret?
Ofte stillede spørgsmål om enhedscirklen
Hvad er enhedscirklen?
Hvad er forskellen på grader og radianer?
Hvad er et retningspunkt?
Hvilke standardværdier for sin og cos skal jeg kende?
Hvad er grundrelationen for enhedscirklen, og hvad bruges den til?
Har du brug for hjælp til enhedscirklen?
Vores matematiktutorer forklarer enhedscirklen, sinus, cosinus og radianer trin for trin. Mere end 1.000 certificerede tutorer, 4.7 stjerner på Trustpilot og gratis prøvetime uden binding fra 229 kr./time.